§42T函数 一定义:在数学分析中函数定义为 T(x) ∫e d,x>0(1) 将x换成z r()=eb.Re>0() 这积分又成为第二类欧拉(Eer)积分
§4.2 Γ函数 这积分又成为第二类欧 拉 积分 将 换成 一 定义 在数学分析中 函数定义为 ( ) ( ) , Re 0(2) ( ) , 0(1) . : 0 1 0 1 Euler z e t dt z x z x e t dt x t z t x ò ò ¥ - - ¥ - - G = > G = > G
二基本性质 1.T(1)=13) 2.T(z+1)=2r(24) 3.rn+1)=nlN=0.125) 4. T(zT(Z+1)=T/sin z T(6) 5.r(12)=v(7)
二.基本性质 5. (1/2) π (7) 4. (z) (z 1) π/ sin π(6) 3. (n 1) n! N 0,1,2 ..(5) 2. (z 1) 2 (z)(4) 1. (1) 1(3) G = G G + = G + = = ¼ G + = G G = z
6(2)=22r(2)r(2+1/2 证:由()r()je 由(2):T(x2+1)=et,Re -e t lo+e"=ldt=2T(=), Re :>0(4 取z=n反复应用(3) r(n+1)=nI(n)=n(n-1)(n (n-1)(n-2)…[n-(n-1)r(1) m!(5)
!(5) ( 1)( 2) [ ( 1)] (1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) (3) | 2 ( ), Re 0(4) (2) : ( 1) , Re 1 : (1) : (1) 1 | 1 6. (2 ) 2 π (2) (2 1 / 2) 0 1 0 0 0 0 2 1 -1/2 n n n n n n n n n n n n z n e t z e t dt z z z e t dt z e dt e z t z t z t z t t z = = - - × × × - - G G + = G = - G - = = - + = G > G + = > - G = = - = G = G G + ò ò ò ¥ - ¥ - - ¥ - - ¥ ¥ - - 取 反复应用 由 证 由
当0<x<1 由0)r(x(1-x)=| e't""sds 3=t+们 +n 令5=+n=→1n 1+1 则2:0→∞,0:0→∞ 又 1(525m)a5 05,m)ts)2高(+m
2 1 s η t η s ξ t ς -1 0 0 ( ) 0 0 1 (1 ) | | | (t,s) ( , ) | | ( , ) (t,s) | ξ : 0 ;η:0 η) 1 η η ξ t η 1 η t ξ t t/η ξ ,η / 1 ( / ) (1): ( ) (1 ) 1 0 1 h x h x x h + = = ¶ ¶ = ¶ ¶ ®¥ ®¥ ï ï î ï ï í ì + × = + = × = + = + = Þ = G G - = < < - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¥ ¥ - + ¥ - - ¥ - - òò ò ò 又 则 令 由 当 t s t s dsdt t e t s x x e t dt e s ds x t s x t x s x o
由换元公式 r(-n2+51nd dnds (1+n)n mdn ds + n Snx兀
p p h h h x h x h h h h x xh x h h h x x x x e d d e d d x x e d d x x x sin 1 (1 ) 1 | ( , ) (t, s) | 1 ( ) (1 ) : 0 0 1 0 0 0 0 = + = + = ¶ ¶ × + G G - = ò ò ò ò ò ò ¥ ¥ - - ¥ ¥ - ¥ ¥ - 由换元公式