§52利用留数计算实积分 思路:f(x)x 则/(+(=()=2m2e/的) ①f(x)在实轴上无奇点 ②在4上元奇点
§5.2利用留数计算实积分 思路： ( ) ò b a f x dx ( ) ( ) ( ) å ( ) ò ò ò = + = = n k k l l a b f x dx f z dz f z dz i f b 1 2 res 1 则 p 1 l a l b ①f(x)在实轴上无奇点 ②f(z)在 l 1上无奇点
③f()易算 f(xax 无穷积分 f(在实轴上无奇点,Imz>0中有奇点b k=1,2,,n;￥当1→o,:f(=)→0 则。/(x)=2m2>es( Im 2>0 证:考虑 则手()=()+(=2
③òl1 f (z )dz 易算 一、无穷积分 ( ) : ò ¥ - ¥ f x dx ( ) bk f z 在实轴上无奇点 , Im z > 0中有奇点 k = 1,2,K , n;当 z ® ¥, z × f (z) ® 0 ( ) ( ) 1 Im 0 2 res = > ¥ ò- ¥ = å z n k k 则 f x dx pi f b 证:考虑 ( ) ( ) ( ) ( ) l n k k c R l R f z dz f x dx f z dz i f b ò ò ò R å= - = + = 1 则 2p res
当R→a:」f(x)+m=2∑rs( Im 2>0 又[[=( ≤max(z·f(=) R 0 R ∫f()=2n2rs/(b Im 2>0 例 d x +x2+1
( ) ( ) 1 Im 0 : lim 2 res = > ® ¥ ¥ ® ¥ ò- ¥ + ò = å z n k k R c R f x dx i f b R 当 p ( ) ( ) ò ò = × R R c c z dz 又 f z dz z f z £ max ( × ( ))× ¾ ¾¾ ® 0 z ® ¥ R R z f z p ( ) ( ) 1 Im 0 2 res = > ¥ \ ò- ¥ = å z n k b k f x dx p i f ò ¥ - ¥ + + dx x x x 1 : 4 2 2 例
f(=)= +2z2+1-z 分母:+2+1=(+22+1)-:2=(=2+1) +z+11z2-z+1)=0 1±√1-41 ±i √3 上半平面 √3
( ) 4 2 2 2 4 2 2 1 z 2 z 1 z z z z z f z + + - = + + = ( ) ( ) 2 2 4 2 4 2 2 2 分母 : z + z + 1 = z + 2 z + 1 - z = z + 1 - z ( 1)( 1) 0 2 2 令 = z + z + z - z + = 2 3 2 1 2 1 1 4 1, 2 z = - ± i - ± - = 2 3 2 1 , 2 3 2 1 3,4 1,3 z = ± i 上半平面 z = ± + i
f(2)= 2→00 +z2+1 1+ √3 √3 兀lres +ref+ 2Til liml z→21 +lir (-21)(2-2)(2-2(2-=)
( ) 0 1 1 1 1 1 2 4 4 2 2 ¾¾ ®¾ + + = + + × × = z®¥ z z z z z z z z f z ú ú û ù ê ê ë é ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ \ = - + 2 3 2 1 res 2 3 2 1 I 2pi resf i f i ( ) ( )( )( )( ) ú û ù ê ë é - - - - - êë é = ® 1 2 3 4 2 1 1 2 lim z z z z z z z z z i z z z z p ( ) ( )( )( )( ) ú û ù ê ë é - - - - + - ® 1 2 3 4 2 3 1 lim z z z z z z z z z z z z z