例多项式P(x)=a0x”+a1x”1+…+an1x+an 的高阶导数 解 y'=aonx"+a,(n-1)x+.+an-I y (n-1)x”2+a1(n-1)(n-2)x”3+…+2 ●●●●●●●●●●●●●0●●●● (n) (+J) 1(以+5 0
多项式 的高阶导数. n n n n Pn x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( ) 2 3 1 2 0 '' ( 1) ( 1)( 2) 2 − − − = − + − − + + n n n y a n n x a n n x a ……………… ! 0 ( ) y a n n = 0 ( 1) ( 2) = = = y n+ y n+ 解 1 2 1 1 0 ' ( 1) − − − = + − + + n n n y a nx a n x a 例3
对多项式而言 每求一次导数,多项式的次数降低一次 n次多项式的n阶导数为一常数 大于多项式次数的任何阶数的导数均为0
对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0
例4 求 的各阶导数 解 (n y=ex的任何阶导数仍为 (e2)m)=ex(n∈N)
求 y = e x 的各阶导数. 解 x y = e y = e x 的任何阶导数仍为e x x n x e = e ( ) ( ) (n N) x x y = (y ) = (e ) = e n x y = e ( ) 例4
例5求y=aF的各阶导数 解 y=()=(a In a)=a(hn a y=a(n a k 运用数学归纳法可得 x(n) a(lna)"(n∈z)
求 y = a x 的各阶导数. 解 y a a x ' = ln 运用数学归纳法可得 ( ) (ln ) ( ) ( ) + a = a a n Z x n x n 2 y'' (y ) (a ln a) a (ln a) x x = = = k x k y a (ln a) ( ) = 例5