桉照一阶导数的极限形式.有 n)=f(n(x)=lim f(n-(x+Ax)-fmn-(x) △x->0 △x 和 m X-x
按照一阶导数的极限形式, 有 x f x x f x y f x n n x n n + − = = − − → ( ) ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 ( ) ( ) 0 0 ( 1) ( 1) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 x x f x f x y f x n n x x n x x n − − = = − − → = 和
个函数的导函数不一定再可导.也不一定连 续.如果函数f(x)在区间Ⅰ上有直到n阶的导数 f()(x),且f((x)仍是连续的(此时低于n阶的导 数均连续),则称f(x)在区间I上n阶连续可号 记为f(x)∈C"(I)或f(x)∈C"n 如果f(x)在区间Ⅰ上的任意阶的高阶导数均存 在且连续,则称函数f(x)是无穷次连续可导的,记为 f(x)∈C()或∫(x)∈C
一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n) (x) , 且 f (n) ( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 ( ) (I) ( ) . n n f x C 或 f x C 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为 ( ) (I) ( ) . f x C 或 f x C
例1求幂函数y=x",n∈Z的高阶导数 解y=(x")=nxn1 (y)=(nx)=n(n-1)x =(y")=m(n-1)(n-2)x”3 y)=(y1-)y=m(n-1)(n-2)…(m-k+1)x (1≤k≤n)
1 ( ) − = = n n y x nx 1 2 ( ) ( ) ( 1) − − = = = − n n y y nx n n x 3 ( ) ( 1)( 2) − = = − − n y y n n n x ………………………… k k n k y y n n n n k x − − = ( ) = ( −1)( − 2) ( − +1) ( ) ( 1) 求幂函数 , 的高阶导数. + y = x n Z n (1 k n) 解 例1
注意,当k=n时 7(-1)(n-2)…3·2·1=n! 从而,当k≥n+1时,(x"))=0 综上所述 (x")()=m(n-1)…(n-k+1)xnk(1≤k≤n) (x")()=0 (k≥n+1)
注意, 当 k = n 时 ( ) ( 1)( 2) 3 2 1 ! ( ) x n n n n n n = − − = 综上所述： , 1 , ( ) 0. ( ) + = n k 从而 当 k n 时 x n k n k x n n n k x − ( ) = ( −1) ( − +1) ( ) (1 k n) ( ) 0 ( ) = n k x ( k n +1)
例2￥=(+p)甲即音新 解当1<k<n时 (ax+b)”) n(n-1)-(n-k+1(ax+6)m-k.ak 当k≥n+1时, ,(k) y 0
( ) ( ) (( ) ) k n k y = ax + b 求 ( ) 的高阶导数. n y = ax + b 当 1 k n 时, n k k = n n − n − k + ax +b a − ( 1)( 1)( ) 当 k n +1 时, 0 ( ) = k y 解例2