《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，下）各章习题与答案

1haaa【答C,=Cy+C)=NkInZ其中转动配分函数hoaTLapKT4sinh?2kTZ,-2(1+)p[号(+)]213.证明在玻尔兹曼统计中，嫡S可表示为S=-kZf.,Inf+常数，式中f,=%/是每10个量子态上的平均粒子数，常数=NklnN，N为系统的粒子数，求和遍及单粒子的所有量子态S。14：设一个双原子分子具有电偶极矩Po，在电场E中分子的转动能-poEcosの，其中θ为电偶极矩与电场的夹角，已知分子的数密EfPe+sin?021(度为n，求转动配分函数Z,和电极化强度P。21(kT)], P=mpo coth BE-_ KT(PoE)【答：Z,=-sinh(kTPE(hKTPE15.N个弱耦合的粒子服从玻尔兹曼分布，每个粒子可处于能量为-8,0,8（8>0)3个能级中的任何一个，设系统与温度为T的大热源接触，试计算：（1）T=0K时系统的熵；(2）系统熵的极大值Smax和极小值Smin；(3）美系统的配分函数Z和内能U.【答：（1）S=0；（2）Smax=Nkln3,Smmn=0；(3) Z=(1+2 cosh βe)//i, U=-2Nesinh Be,1+2coshg16.一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可有三个量子态，其能量分别是0,6和2。系统与温度为T的大热源接触，就下列诸情况写出系统的配分函数。（1）粒子可分辩，服从经典统计：（2）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计；（3）粒子服从费米一狄拉克统计：226

226 【答： 2 2 1 ln 4sinh 2 v r C C C Nk N Z V V V r kT T kT          = + = −          ，其中转动配分函数 ( ) ( ) 2 0,2,4, 2 1 exp 1 2 r l Z l l l I  =   = + − +      】 13．证明在玻尔兹曼统计中，熵 S 可表示为 ln s s s S k f f = − +  常数，式中 l s l a f  = 是每 个量子态上的平均粒子数，常数 = Nk N ln ，N 为系统的粒子数，求和遍及单粒子的所有量 子态 s。 14 ． 设 一 个 双原子分子具有电偶极矩 0 p ， 在 电 场 E 中 分 子 的 转 动 能 2 2 2 0 1 1 cos 2 sin r p p p E I        = + −     ，其中  为电偶极矩与电场的夹角，已知分子的数密 度为 n，求转动配分函数 Z r 和电极化强度 P。 【答： 2 0 0 0 0 0 2 sinh , coth r I kT kT p E p E Z P np p E kT kT p E       = = −             】 15．N 个弱耦合的粒子服从玻尔兹曼分布，每个粒子可处于能量为 −     , 0, ( 0) 3 个能级 中的任何一个，设系统与温度为 T 的大热源接触，试计算： （1） T=0K 时系统的熵； （2） 系统熵的极大值 max S 和极小值 min S ； （3） 系统的配分函数 Z 和内能 U. 【答：（1）S＝0；（2） max min S Nk S = = ln3 0 ， ； （3） (1 2cosh ) 2 sinh ! 1 2cosh N N Z U N     + = = − + ， 】 16．一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可有三个量子态，其能量分别是 0, 2   和 。系 统与温度为 T 的大热源接触，就下列诸情况写出系统的配分函数。 （1）粒子可分辩，服从经典统计； （2）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计； （3）粒子服从费米－狄拉克统计；

（4）粒子服从玻色一爱因斯坦统计。【答：(1) Z=(1+e- +e-2P) :(2) Z=(1+e-P +e-2P)°:2!(3)Z=e-B+e-2E+e-3;(4)Z=1+e-B+2e-2e+e-3+e-4β)17.一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可占据能级ε，=n6,n=0,1,2中的任何一个，最低能级8=0是双重简并的。系统与温度为T的大热源接触，就下列诸情况写出系统的配分函数和能量。（1）粒子服从费米一狄拉克统计；（2）粒子服从玻色一爱因斯坦统计：（3）粒子不可分辩，服从经典统计；【答：（1）Z=1+2e-B+2e-2附+e-3βE2t40f187(2)Z=3+2e-B+3e-2β+e-3βE+e-4β,E=2+6e-院+3e-2+4e-3Be)e-附1(2+5e- +3e-2P +2e-3)e-m )(3)Z=4+4e-+5e-2p+2e-3+e4e,E=2Z18.一拉链有N节，只能从一端打开，即只有前面的s-1个节相继打开后，第s节才能打开。每节闭合时能量为0，打开时能量为ε。这是一种表示两股不交缠DNA分子的简单模型。试求：（1）拉链的配分函数；（2）求当N很大，>kT时开节的平均数，T为拉链的温度。(N+1)e/1-exp/kT1【答：（1）Z=：（2）当N很大，>kT时=e/kr-11-exp(-/kT19.n维宇宙。在我们这个三维宇宙中由热力学与统计物理得到下列熟知的结果：（1）黑体辐射的能量密度以T形式依赖于温度T，其中α=4：（2）在固体的德拜模型中，低温下的比热容以TB形式依赖于温度T，其中β=3（3）单原子分子理想气体的定压比热容与定容比热容的比值=5%试导出在n维宇宙中相应的指数α,β和各是多少？[答： (1)α=n+1: (2) β=n; (3) ="+2]n227

227 （4）粒子服从玻色－爱因斯坦统计。 【答：（1） ( ) 2 2 Z e e 1 − −   = + + ；（2） ( ) 2 1 2 1 2! Z e e − −   = + + ； （3） 2 3 Z e e e − − −    = + + ；（4） 2 3 4 Z e e e e 1 2 − − − −     = + + + + 】 17．一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可占据能级 , 0,1, 2 n   = = n n 中的任何一个， 最低能级 0  = 0 是双重简并的。系统与温度为 T 的大热源接触，就下列诸情况写出系统的 配分函数和能量。 （1）粒子服从费米－狄拉克统计； （2）粒子服从玻色－爱因斯坦统计； （3）粒子不可分辩，服从经典统计； 【答：（1） ( ) 2 3 2 Z e e e E e e e 1 2 2 , 2 4 3 Z − − − − − −        = + + + = + + ； （2） ( ) 2 3 4 2 3 Z e e e e E e e e e 3 2 3 , 2 6 3 4 Z − − − − − − − −          = + + + + = + + + ； （3） ( ) 2 3 4 2 3 2 Z e e e e E e e e e 4 4 5 2 , 2 5 3 2 Z − − − − − − − −          = + + + + = + + + 】 18．一拉链有 N 节，只能从一端打开，即只有前面的 s −1 个节相继打开后，第 s 节才能打 开。每节闭合时能量为 0，打开时能量为  。这是一种表示两股不交缠 DNA 分子的简单模 型。试求： （1）拉链的配分函数； （2）求当 N 很大，   kT 时开节的平均数，T 为拉链的温度。 【答：（1） ( ) ( ) 1 1 exp 1 exp N kT Z kT     + − −    = − − ；（2）当 N 很大， 1 1 kT kT s e    = − 时 】 19．n 维宇宙。在我们这个三维宇宙中由热力学与统计物理得到下列熟知的结果： （1）黑体辐射的能量密度以 T  形式依赖于温度 T，其中  = 4 ； （2）在固体的德拜模型中，低温下的比热容以 T  形式依赖于温度 T，其中  = 3 ； （3）单原子分子理想气体的定压比热容与定容比热容的比值 5 3  = 。 试导出在 n 维宇宙中相应的指数    , 和 各是多少？ 【答：（1）  = +n 1 ；（2）  = n ；（3） n 2 n  + = 】

20.液体自由表面上的表面张力波具有色散关系の2=αk，式中の与k分别是液体表面p波的圆频率与波数，与βp分别为液体的表面张力系数与密度，这一关系对波长大于原子间距的那些波成立。试计算热激发表面波对比热的贡献，并讨论它的低温极限。已知积分=1.685dx=1台Joex-1a(T)%_ B_%A(p%T18元N,0=9一，其中B=【答：CAST0%a-13元（g3()TkTa(T)=Bkdx(h)Joer-ihopAk(→00,C~1.31→0在低温时，T→0时，Xp=kT(h元（。）21.一系统由N个质量为m的近独立粒子组成，在高温下达到热平衡，经典统计适用，粒子绕其平衡位置作一维运动，就下列情况求系统的热容量：（1）恢复力和位移x成正比：（2）恢复力和位移x的立方成正比：不必具体计算积分，利用维里定理即可算出结果。3【答：（1）C=Nk；（2）Cy-NkJ422.容积为V的容器内有温度为T、压强为P、分子数为N的理想气体，分子的能量可表示为1(p+p,+p)+8)E,=2m其中6表示分子的内部能级。（1）求自由能F=-kTInZ.Z为气体的配分函数，以显式表示F对N,V.T的依赖关系：（2）现考虑另一个容器，体积为V，，温度也为T，含有相同个数的同种气体分子，压强为P2，求两个容器内气体的总（用V,V2,T,N表示);（3）两个容器连接起来，使气体无功混合，求气体的焰变。特别检验在V,=V，（即pi=P）时你的答案是否有意义。V.3,(2元mkT【答：（1F=-NkT>In+Inz. +1/-lnhN2228

228 20．液体自由表面上的表面张力波具有色散关系 3  2 k  = ，式中 与k 分别是液体表面 波的圆频率与波数，   与 分别为液体的表面张力系数与密度，这一关系对波长大于原子间 距的那些波成立。试计算热激发表面波对比热的贡献，并讨论它的低温极限。已知积分 ( ) 4 3 7 0 3 1 1 7 1.685 3 1 x l x dx e l   = =  = −   【答： ( ) 7 3 4 3 7 3 1 D D kT B C a T T T e   = − − ，其中 2 3 1 3 4 2 8 , 3 D A N B A              = =             ， ( ) 4 4 3 3 0 1 D kT x k x a T Bk dx e    =     −  ； 在低温时， 2 4 3 3 4 3 0 , , 1.31 0 D D Ak k T x C T kT         → = →   →         时 】 21．一系统由 N 个质量为 m 的近独立粒子组成，在高温下达到热平衡，经典统计适用，粒 子绕其平衡位置作一维运动，就下列情况求系统的热容量： （1）恢复力和位移 x 成正比； （2）恢复力和位移 x 的立方成正比； 不必具体计算积分，利用维里定理即可算出结果。 【答：（1） C Nk V = ；（2） 3 4 C Nk V = 】 22．容积为 V1 的容器内有温度为 T、压强为 1 p 、分子数为 N 的理想气体，分子的能量可表 示为 ( ) 1 2 2 2 2 E p p p i x y z i m = + + +  其中 i  表示分子的内部能级。 （1）求自由能 F kT Z Z = − ln , 为气体的配分函数，以显式表示 F 对 N V T , , 的依赖关系； （2）现考虑另一个容器，体积为 V2 ，温度也为 T，含有相同个数的同种气体分子，压强为 2 p ，求两个容器内气体的总熵（用 1 2 V V T N , , , 表示）； （3）两个容器连接起来，使气体无功混合，求气体的熵变。特别检验在 V V 1 2 = （即 1 2 p p = ） 时你的答案是否有意义。 【答：（1） 2 0 0 3 2 ln ln ln 1 , 2 i i V mkT F NkT z z e N h      − = − + + + =          ；

IVV,(2元mkTalnzo(2) S=S, +S, =2Nk3ln=lnzIn+sSoK2Naβ2=2Nkln，V=V时，AS=01(3)AS=S-S=2Nkln2JVV22/P/P223.（1）质量为m的N个粒子组成的理想气体，体积为V，温度为T，设粒子是不可分辩的。用经典近似下的配分函数求化学势μ：（2）质量为m的N个粒子被面积为A的表面吸收，形成温度为T的二维气体，粒子的能p2量为6=-%，其中p=（prp),为束缚能，计算该气体的化学势μ；2m（3）温度为T时，被吸附的粒子和环境的气体达到平衡，这意味着它们的化学势之间有一关系，利用这一关系求单位面积吸附的平均粒子数n，设环境气体的压强为p。(2元mkT）V3ln1:(2) μ = -k7[n+In(2元mk)2【答：（1)μ=-kTIn-inh?"N"h?N2KTh?N'p（3）平衡时山=μ，n：AkT(2元mkT24.考虑由两个不同原子组成的双原子分子理想气体，分子对通过质心并垂直于两原子轴的转动惯量为1。对于下述两种极限情况考虑转动对比热容和摩尔的贡献。(1) kT》/(2) kT</，计算不为零的最低阶的贡献。[答: (1) C, = Nk, S = Nk in 21kT +1+1h?2le/=3Nk%z→01h4e-/ur, S = 3Nk1+(2)C=3NkIkTIkT(IkT)的粒子组成的理想气体，体积为V，粒子的态矢量为i,j,α)，其中i25.由N个自旋为-21是主量子数，j是轨道角动量量子数，α是自旋量子数，可取土+亡·粒子的能级，只依赖于量子数i，因而能级是简并的，简并度为の。假设每个态最多只能有一个粒子占据，并且i1和i，j，不能同时被占据，试导出处于平衡态时能级6，上的和都相同的量子态i,j，22/229

229 （2） 1 2 0 1 2 0 0 0 2 3 2 5 ln 2 ln ln , ln 2 2 V V mkT z S S S Nk s s z N h           = + = + + + = −            ； （3） 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ln 2 ln 2 2 V V p p S S S Nk Nk VV p p + +  = − = =  ，当 1 2 V V S =  = 时， 0 】 23．（1）质量为 m 的 N 个粒子组成的理想气体，体积为 V，温度为 T，设粒子是不可分辩 的。用经典近似下的配分函数求化学势  ； （2）质量为 m 的 N 个粒子被面积为 A 的表面吸收，形成温度为 T 的二维气体，粒子的能 量为 2 0 2 p m   = − ，其中 ( ) 0 , , x y p p p =  为束缚能，计算该气体的化学势  ； （3）温度为 T 时，被吸附的粒子和环境的气体达到平衡，这意味着它们的化学势之间有一 关系，利用这一关系求单位面积吸附的平均粒子数 n，设环境气体的压强为 p。 【答：（1） 3 2 3 2 ln ln 2 V mkT kT N h       = − +         ；（2） 0 2 2 2 ln ln A mkT kT N h kT        = − + +          （3）平衡时 0 1 2 2 3 2 , 2 N p h kT n e A kT mkT        = = =     】 24．考虑由两个不同原子组成的双原子分子理想气体，分子对通过质心并垂直于两原子轴的 转动惯量为 I。对于下述两种极限情况考虑转动对比热容和摩尔熵的贡献。 （1） 2 kT I ； （2） 2 kT I ，计算不为零的最低阶的贡献。 【答：（1） 2 2 , ln 1 V IkT C Nk S Nk   = = +     ； （2） ( ) 4 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 0 IkT IkT IkT C Nk e S Nk e Nk e V IkT IkT IkT − − −   = = +  →     ， 】 25．由 N 个自旋为 1 2 的粒子组成的理想气体，体积为 V，粒子的态矢量为 i j , , ，其中 i 是主量子数，j 是轨道角动量量子数，  是自旋量子数，可取 1 2  。粒子的能级 i  只依赖于 量子数 i，因而能级是简并的，简并度为 i 。假设每个态最多只能有一个粒子占据，并且 i 和 j 都相同的量子态 1 1 , , , , 2 2 i j i j 和 − 不能同时被占据，试导出处于平衡态时能级 i  上的

粒子数a,。O,【答：a,=ea+βei +226.一个一维链由n(n》1)个节组成，当节和链平行时，节的长度为a，当节和链垂直时，长度为零，每个节只有这两个非简并的状态，平衡时链的长度为nx。（1）用x表示链的摘；（2）设铰点可以自由活动，求温度T、张力F与长度x之间的关系：（3）在什么情况下，你的结论将给出胡克定律？naexp(Fn!/kT【答：（1）S=kln（2）nx(n/a) (n- na)1+exp(FakL/kT(3) 高温时 Fa表灯,F-(一-4),式中L=m,L-学1na?一，试证27.设一介质的折射率n依赖于辐射频率v，辐射的波数为q=n(v)-=n(v)明这种色散介质中的普朗克热辐射定律为u(v,T)= 8zn'(0)h din[n()(%cdlnv28.由于热激发，在固体中存在着色散关系为の=Ag"的波动，其中の为圆频率，q为波数，A和n为常数。证明在低温下这种波对固体的热容量贡献正比于T%。（提示：仿照德拜模型求固体热容量的方法。29.仿照三维德拜模型，讨论一维和二维固体的热容量。,C2=6NkD,(),式中D,()=【答：C=3NkD](e-iaT(n=1,2),0=ho为德拜温度】k30.N个原子有规则地排列成理想晶体，如果从点阵上取下n个原子(1<n≤N）填到点阵间隙处，它就变成了带有n个夫仑克尔（Frenkel）型缺陷的非理想晶体。原子可进入的间隙位置的个数N'和N具有相同的量级，原子在点阵上和间隙位置上的能量分别为s,和s2，以W=62-61>0表示从点阵上移走一个原子填到间隙位置所需的能量。230

230 粒子数 i a 。 【答： 2 i i i a e    + = + 】 26．一个一维链由 n n( 1) 个节组成，当节和链平行时，节的长度为 a ，当节和链垂直时， 长度为零，每个节只有这两个非简并的状态，平衡时链的长度为 nx。 （1）用 x 表示链的熵； （2）设铰点可以自由活动，求温度 T、张力 F 与长度 x 之间的关系； （3）在什么情况下，你的结论将给出胡克定律？ 【答：（1） ( ) ( ) ! ln ! ! n S k nx nx n a a = − ；（2） ( ) ( ) exp 1 exp Fa na kT nx Fa kT = + ； （3）高温时 ( 0 0 ) 2 4 , , , 2 kT na Fa kT F L L L nx L na  − = = 式中 】 27．设一介质的折射率 n 依赖于辐射频率  ，辐射的波数为 ( ) ( ) 2 q n n c c   = =   ，试证 明这种色散介质中的普朗克热辐射定律为 ( ) ( ) ( ) 1 3 3 3 8 ln , 1 ln h kT n h d n u T e c d         −       = −     28．由于热激发，在固体中存在着色散关系为 n  = Aq 的波动，其中  为圆频率，q 为波数， A 和 n 为常数。证明在低温下这种波对固体的热容量贡献正比于 3 n T 。 （提示：仿照德拜模型求固体热容量的方法。） 29．仿照三维德拜模型，讨论一维和二维固体的热容量。 【答： 1 1 2 2 3 , 6 C NkD C NkD V V T T       = =         ，式中 ( ) ( ) 1 2 0 1 1 n y x n n y y e D x dy x e + = −  ， ( 1, 2 , ) D n k  =  = 为德拜温度】 30．N 个原子有规则地排列成理想晶体，如果从点阵上取下 n 个原子 (1  n N) 填到点阵 间隙处，它就变成了带有 n 个夫仑克尔（Frenkel）型缺陷的非理想晶体。原子可进入的间隙 位置的个数 N 和 N 具有相同的量级，原子在点阵上和间隙位置上的能量分别为 1 2   和 ，以 2 1 w = −    0 表示从点阵上移走一个原子填到间隙位置所需的能量