2单调有界准则 如果数列x满足条件 x1≤x2…≤xn≤xn+1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn1≥…,单调减少 工工工 准则|单调有界数列必有极限 几何解释 x ,xr. M n°n+1 上页
x 1 x x2 x3 xn xn+1 2.单调有界准则 如果数列x n满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M
例2证明数列xn=3+√3+…+3(n重根 ±式)的极限存在 证显然xn>xn,∴{xn}是单调递增的; 又∵x1=3<3,假定x4<3,xk+1=3+xk<3+3<3 牛:}是有界的;回mx存在 工工工 .x1=3+x,xn+1=3+x, lim xd+=lim(3+xn), n→0 A2=3+A,解得A1不1-小3 1+、13 2(舍去) 1+√13 ∴imxn n→0 2 上页
例 2) . 3 3 3 ( 式 的极限存在 证明数列 xn = + + + n重根 证 , 显然 xn+1 xn 是单调递增的 ; xn 3 3, 又 x1 = 3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk 3 + 3 3, 是有界的; xn lim 存在. n n x → 3 , xn+1 = + xn 3 , 2 xn+1 = + xn lim lim(3 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去 ) . 2 1 13 lim + = → n n x
庄二、两个重要极限 B sIn um 0D)4 x→0x 设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x< 作单位圆的切线,得△ACO 扇形O4B的圆心角为x,△OAB的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC, 上页
A C 二、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 = → x x x ) 2 , , (0 设单位圆 O 圆心角AOB = x x 于是有sin x = BD, x = 弧AB, tan x = AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD