§2正项级数 应用之二:根式判别法 正项级数∑3M,,则 (1)≤(<1(n≥M)→∑收敛 )n21(n≥M)→∑4发散 正项级数∑v满足:myn=(,则 (1)<时,∑vn收敛 (2)C>时,∑发散
§2 正项级数 (2) 1 ( ) . (1) 1 ( ) ; , 0 0 0 发散 收敛 正项级数 ， ，则 应用之二：根式判别法 应用之二：根式判别法 应用之二：根式判别法 应用之二：根式判别法 ∑ ∑ ∑ ≥ ≥ ⇒ ≤ < ≥ ⇒ ∃ n n n n n n n u n N u u n N u u N ℓ ℓ (2) 1 . (1) 1 ; lim 时， 发散 时， 收敛 正项级数 满足： ，则 ∑ ∑ ∑ > < = → ∞ n n n n n n u u u u ℓ ℓ ℓ
§2正项级数 应用之三:积分判别法 设/为+)上非负减函数,则正项级数 ∑/(m与反常积分(d同敛散 例讨论下列级数的敛散性 ()∑ n(In n)" ∑
(1) ; (2) . . 1 (ln ) 1 ∑ p ∑ p n n n 例 讨论下列级数的敛散性 讨论下列级数的敛散性 讨论下列级数的敛散性 讨论下列级数的敛散性 §2 正项级数 ( ) ( )d . [1, ) 1 与反常积分 同敛散 设 为 上非负减函数，则正项 上非负减函数，则正项 上非负减函数，则正项 上非负减函数，则正项级数 应用之三：积分判别法 应用之三：积分判别法 应用之三：积分判别法 应用之三：积分判别法 ∑ ∫ +∞ +∞ f n f x x f
§3一般项级数 交错级数: 4-l2+3-l4…+(-1)”n+…(n>0,n=12…) eiz别法若交错级数∑l满足 (1){n}单调递减; (2)lim u,=0 1→ 则∑收敛 推论:若交错级数满足 Leibnitz法的条件,则 R
. (2)lim 0. (1){ } Leibnitz 则 收敛 单调递减； 别法：若交错级数 满足 ∑ ∑ = →∞ n n n n n u u u u ( 1) ( 0, 1,2, ) 1 u1 −u2 + u3 −u4⋯+ − n+ un +⋯ un > n = ⋯ 交错级数： §3 一般项级数 | | . Leibnitz Rn ≤ u n+1 推论：若交错级数满足 推论：若交错级数满足 推论：若交错级数满足 推论：若交错级数满足 法的条件，则
§3一般项级数 ∑u绝对收敛:∑|n收敛 ∑4条件收敛:∑收敛但∑2发散 定理:绝对收敛的级数一定收敛 例讨论级数的收敛性: )∑吃;(2)∑(-1)
| | . | | . 条件收敛： 收敛但 发散 绝对收敛： 收敛 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n n n n n u u u u u §3 一般项级数 ∑ ∑ − − n n n n 1 ; (2) ( 1) ! (1) . α 1 例讨论级数的收敛性： 定理：绝对收敛的级数一定 绝对收敛的级数一定 绝对收敛的级数一定 绝对收敛的级数一定 收敛
§3一般项级数 阿贝尔变换: 15" ak=+2+…+vk(k=1,2,…,m) ∑6 -1 k=1 h+1 kk
( ) . ( 1,2, , ) , ( 1,2, , ), 1 1 1 1 1 2 ∑ ∑ − = + = ⇒ = − − = + + + = = n k n n k k k n i i i k k i i v v v v k n v i n ε ε σ ε ε σ σ ε ⋯ ⋯ ⋯ 阿贝尔变换： §3 一般项级数