§1级数的收敛性 性质定理: 级数∑∑收敛→∑(cn+如)=mn+公△ 2去掉增加 级数的 敛散性及其和 3对收敛 项任意加括号 级数的敛散性 及其和
§1 级数的收敛性 . 3. . 2. , 1. ( ) . 及其和 对收敛 项任意加括号 级数的敛散性 敛散性及其和 去掉 增加 级数的 级数 ， 收敛 性质定理： ∑ n ∑ n ⇒ ∑ n + n = ∑ n + ∑ n u v cu dv c u d v
§2正项级数 正项级数:∑v,(n>0) 正项级数∑么收敛台{}有上界 比较判别法 正项级数∑与∑满足:n≤(m≥M),则 ∑收敛→∑v收敛;∑发散→∑v发散 例讨论级数∑的收敛性
§2 正项级数 . ( ), 0 收敛 收敛； 发散 发散 正项级数 与 满足： 则 比较判别法： ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ⇒ ⇒ ≤ ≥ n n n n n n n n v u u v u v u v n N ∑ ( > 0) 正项级数： u n u n 正项级数 收敛 { }有上界. ∑u n ⇔ S n . . 1 1 例 讨论级数∑ n 2 +n+ 的收敛性
§2正项级数 比较判别法的极限形式: 正项级数∑n与∑v满足:im2=C,则 (1)0<<+时,∑v与∑同敛散; (2)C=0时,∑v收敛→∑v收敛 (3)C=+∞时,∑发散→∑1发散 例讨论∑12与∑sin的收敛性
§2 正项级数 (3) . (2) 0 ; (1)0 lim , 时， 发散 发散 时， 收敛 收敛 时， 与 同敛散 ； 正项级数 与 满足： 则 比较判别法的极限形式 比较判别法的极限形式 比较判别法的极限形式 比较判别法的极限形式 ： ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = +∞ ⇒ = ⇒ < < +∞ = →∞ n n n n n n n n n n n v u v u u v v u u v ℓ ℓ ℓ ℓ . sin . 1 2 例讨论 ∑ n 1 −n 与∑ n的收敛性
§2正项级数 应用之一:比式判别法 正项级数∑n,3M,g∈(0),则 ≤y(nM)→∑vn收敛 m21(m≥M)→∑发散
§2 正项级数 1 ( ) . ( ) ; , (0,1), 0 1 0 1 0 发散 收敛 正项级数 ， 则 应用之一：比式判别法 应用之一：比式判别法 应用之一：比式判别法 应用之一：比式判别法 ∑ ∑ ∑ ≥ ≥ ⇒ ≤ ≥ ⇒ ∃ ∈ + + n n n n n n n n N u u u q n N u u u u N q
§2正项级数 正项级数∑满足:im11=9,则 (1)9<时,∑vn收敛; (2)1或9=+∞时,∑v发散 例(1)+等+3+… 258…[2+3(n-1) 159.[1+4(n-1) ∑m(x>0
§2 正项级数 (2) 1 . (1) 1 ; lim 1 或 时， 发散 时， 收敛 正项级数 满足： ，则 ∑ ∑ ∑ > = +∞ < = + →∞ n n n n n n q q u q u q u u u (2) ( 0). . (1) ; 1 1 5 9 [1 4( 1)] 2 5 8 [2 3( 1)] 1 5 9 2 5 8 1 5 2 5 1 2 ∑ > + + + + + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ nx x n n 例 ⋯ ⋯ ⋯ n ⋯