(8)d/d=(x+1)2+(4y+1)2+8y+1 解：可见d/dk=(x+4y+1)2+2,故令u=x+4y+1,从而 du/dk=1+y/d=1+4(2+2)=42+9,即du/dk=4u2+9,分 离变量得3d(2u)/(4r2+9)=6dk,，积分得：arctan(2u/3)=6x+c, 代回原变量整理得通解arctan(2x+8y+2)/3)=6x+c。 (9)d/d=(2x3+3y2+x)/3x2y+2y3-y) 解：将原方程化为 dy2)/d(x2)=[2(x2-1)+3y2+1]/[3x2-1)+2y2+1]。 从而可令u=x2-1,v=y2+1,原方程化为齐次方程 /du=(2u+3v)3u+2v),令v=nv,对u求导得， d/du=w+udhw/du=(3w+2)(2w+3)。即得变量分离方程 uhw/du=2(1-w2)(2w+3)。分离变量得 [1/w+1)-5/(w-1)hw=4du/u, 积分得： In w+1-5In|w-1=4Inlul+c, 代回原变量整理得通解 (y2-x2+2)5=c(x2+y2)。(注：对应于w=1的特解包含在通解 中) 3.用常数变易公式求解下列（可化为）线性方程或Bernoulli方程 的通解或初值问题： (1)dy/dx=y+sinx 解：取线性齐次方程y/dx-y=0的一个特解h(x)=exp(x),应 6
6 （8） 2 2 dy dx x y xy / ( 1) (4 1) 8 1 = + + + + + 解：可见 2 dy dx x y / ( 4 1) 2 = + + + ，故令 u x y = + + 4 1 ，从而 2 2 du dx dy dx u u / 1 / 1 4( 2) 4 9 = + = + + = + ，即 2 du dx u / 4 9 = + ，分 离变量得 2 3 (2 ) /(4 9) 6 d u u dx + = ，积分得： arctan(2 / 3) 6 u x c = + ， 代回原变量整理得通解 arctan((2 8 2) / 3) 6 x y x c + + = + 。 （9） 3 2 2 3 dy dx x xy x x y y y / (2 3 ) /(3 2 ) = + + + − 解：将原方程化为 2 2 2 2 2 2 d y d x x y x y ( ) / ( ) [2( 1) 3( 1)]/[3( 1) 2( 1)] = − + + − + + 。 从而可令 2 u x = −1 ， 2 v y = +1 ，原方程化为齐次方程 dv du u v u v / (2 3 )(3 2 ) = + + ， 令 v uw = ， 对 u 求 导 得 ， dv du w udw du w w / / (3 2)(2 3) = + = + + 。即得变量分离方程 2 udw du w w / 2(1 )(2 3) = − + 。分离变量得 [1/( 1) 5/( 1)] 4 / w w dw du u + − − = ， 积分得： ln | 1| 5ln | 1| 4ln | | w w u c + − − = + ， 代回原变量整理得通解 2 2 5 2 2 ( 2) ( ) y x c x y − + = + 。（注：对应于 w =1 的特解包含在通解 中） 3. 用常数变易公式求解下列 （可化为）线性方程或 Bernoulli 方程 的通解或初值问题： （1） dy dx y x / sin = + 解：取线性齐次方程 dy dx y / 0 − = 的一个特解 h x x ( ) exp( ) = ，应
用常数变易公式得： y=exp(x)[c+[sinxexp(-x)dx]=cexp(x)-(sinx+cosx)/2 (2)dy/dx-ny/x=x"exp(x) 解：y=x"(c+exp(x。 (3)d/d+(1-2x)y/x2-1=0 解：取对应的齐次方程的一个特解h(x)=x2xp(I/x),应用常 数变易公式得 y=x2 exp(1/x)[c+exp(-1/x)d(-1/x)]=x'[cexp(1/x)+1]. (4)/k-y=2xexp(2x),y(0)=1 解：通解为y=exp(x)+2(x-l)exp(2x),初值问题的解为 y=3exp(x)+2(x-1)exp(2x). (5)y/dk+2y/(x+1)=(x+1)3 解：是Bernoulli方程，当y≠0时，先将它化为线性方程 dy2)/d=2xy2-2x3 应用常数变易公式得通解：y2=cexp(x2)+x2+1, 还有特解y=0(不包含在通解中)。 (6)dy/d=1/(xy+x3y) 解：将自变量与因变量交换得Bemoulli方程少=y+xy, dx 将它化为线性方程： d(x2)/d=-2x2-2y3, 从而应用常数变易公式得通解：x2=cexp(-y2)+1-y2。 (7)d/d=(x4+y3)1xy2)
7 用常数变易公式得： y x c x x dx c x x x = + − = − + exp( )[ sin exp( ) ] exp( ) (sin cos )/ 2 。 （2） / / exp( ) n dy dx ny x x x − = 解： ( exp( )) n y x c x = + 。 （3） 2 dy dx x y x / (1 2 ) / 1 0 + − − = 解：取对应的齐次方程的一个特解 2 h x x x ( ) exp(1/ ) = ，应用常 数变易公式得 2 2 y x x c x d x x c x = + − − = + exp(1/ )[ exp( 1/ ) ( 1/ )] [ exp(1/ ) 1] 。 （4） dy dx y x x / 2 exp(2 ) − = ， y(0) 1 = 解：通解为 y x x x = + − exp( ) 2( 1)exp(2 ) ，初值问题的解为 y x x x = + − 3exp( ) 2( 1)exp(2 )。 （5） 3 dy dx y x x / 2 /( 1) ( 1) + + = + 解：是 Bernoulli 方程，当 y 0 时，先将它化为线性方程 2 2 3 d y dx xy x ( ) / 2 2 − − = − 应用常数变易公式得通解： 2 2 2 y c x x exp( ) 1 − = + + ， 还有特解 y = 0 （不包含在通解中）。 (6) 3 3 dy dx xy x y / 1/( ) = + 解：将自变量与因变量交换得 Bernoulli 方程 dy 3 3 xy x y dx = + ， 将它化为线性方程 ： 2 2 3 d x dy yx y ( ) / 2 2 − − = − − ， 从而应用常数变易公式得通解： 2 2 2 x c y y exp( ) 1 − = − + − 。 (7) 4 3 2 dy dx x y xy / ( ) /( ) = +