定理2（充分条件）若函数z=f化，)的偏导数，三 ∂x'∂y 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 *证：A2=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△yJ +[f(x,y+△y)-f(x,y] f(x+0Ax,y+Ay)Ax+fy(x,y+02Ay)Ay 0<0,02<1) =[f(x,y)+a]Ax +[fy(x,y)+B]Ay a=0. △y>0 0 △y-→0 机动 上页 下页返回结束
= [ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) y z x z , *证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1 ) 1 2 f x y x = [ x ( , ) + ] f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y + [ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim 0 0 0 = → → y x lim 0, 0 0 = → → y x
△z= fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay+aAx+BAy lim a=0,lim B=0 △x→>0 △y->0 △y-→0 注意到 K9斗a.德有 △=fx(x,y)Ax+f(x,)Ay+o(p） 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 结
z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) + x + y 所以函数 + x + y 在点 可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim 0 0 0 = → → y x lim 0, 0 0 = → → y x 注意到 , 故有 + o( )
推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数=f(x,y,)的全微分为 du= ++Ou= 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 Ou du= Ox ∂y 记作dsu dyu d-u dxu,dyu,d:u称为偏微分.故有下述叠加原理 du=dxu+d,u+d-u 下页返回结束
+ x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d + uz d 的全微分为 + y y u z z u 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u u u x y z d ,d ,d
例1.计算函数z=ey在点(2,1)处的全微分 解： 6 _=yexy 0z O =xexy 0y 2e- ay(2,1 ∴.dz =e2dx+2e2dy=e2(dx+2dy) (2,1) 例2.计算函数u=x+sin)+e”的全微分 解：du=1dx+(cos+zey)dy+yedz
例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: = x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z = = 例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos )d 2 2 1 + = y z , xy ye xy xe y z z e 机动 目录 上页 下页 返回 结束