周线：图2.4线：（b）笛卡儿坐系中用于为了在笛卡儿坐标系中表示式（2)，考虑示于图2.4.1b中的增量面。Aa的中心在要计算该处算子的点（z，3，2)处，调线山任±Ag/2和2士z/2处的直线段组成。对于取4y和z的一阶,得式(2)的n=分量是(cu)[4()()]14(a,9,2+)-A(,9,z-),g ?(3)这电前两项表示沿着垂直线段的积分，先在十之方向，然后在一之方向。注意在第二条边上的积分产生一负号,因为在那里A与ds的方向相反。在极限情况下，(3)式变成(cunlA),--(4)同样的步骤应用于法线在9和方向的元面积，产生旋度算子的三个“分量”culA-(o-2)i+(--) +(-)i.(5)事灾上，我们在计算式（2）时可以选择在任意方向有单位法线n的面。由于（5）式是一个量，它与n的点积必须给出与用式(2）直按计算得到的相同的结果。在附录2中这被证明是正确的由式(2.1.6)定义的del算子叉乘A的结果是旋度算了。这就是旋度算子的另一种标记的理由，curlA=VxA(6)这样，在笛卡儿坐标系中1XA=3/02/3g 3/0元(7)在习题中给出在圆柱坐标系与球坐标系中导出有相似形式的表达式的机会。其结果总结在本书未尼的表「中。.3
2.5斯托克斯积分定理在2.4节中，curlA被确认为矢最函数，它在面SL的积分能够简化成A在闭合周线C上的积分。这是通过把式(2.4.1）应用于增量面上来进行的。但是对于有限尺寸和任意形状的S和C，这一关系是否仍成立！第个周线内正力间推广到任意表面是从把面S细分成微分面元.1开始的，每一面元由周线C包用，如图2.5.1中td3所示，每一个微分周线的绕行方向与原来的周线的正方向一致。我们现在来证明图2.5.f.A.ds-Zf.A.ds(1)理元，每一个由与C有相同方向的周线包图。式中求和是对界定出而S细分而成的面元的所有周线进行的。因为对相邻的面元计算时线段沿着相反的方向，因此在式(1)的求和中，对分隔两个相邻面元周线的那些线段的线分加起来为零，只保留那些与原来的周线和重合的线段的线积分，从而式(1)得证。然后，把式(1)写成稍微不团的形式fA.ds-2/f.A.dsla(2)1--d我们现在可以求助于旋度的垂直于面元方向分量的定义式(2.4.2)，并用积分代替求和f,A.ds-1,(curiA),da(3)此表达式的另一种写法是利月旋度的欠趾特性与失量面元的定义,da-nda:(4)f。A.ds=J,vxA.da这就是斯托克斯积分定理。如果一矢量函数可以写成矢量A的旋度，则该陋数在面S上的识分可以简化为A在闭合周线C上的积分。2.6安培微分定律与法拉第微分定律借助于斯托克斯定理，现在可把安培积分定律式(1.4.1)表示成I.vxH.da=( J.da+leE.da0即根据式(2.5.4)，把式(1.4.1)中的周线积分用面积分代替。对时间而言，S面是固定的，所以式(1)中的时间导数可以放到积分号里面。因为S也是任意的,式(1)中的被积函数必须相等[xH-J+2gE(2) · 39