Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai,2003 证:(只证√f()→0的情形)若f的平均时、频位置是u和,则ef(t+u)相应的平 均时、频位置都是0。因此我们设u=5=0.由F(f(t)=iuf(u)与 Plancherel公式,以及 由 Schwarz不等式 oro=2*/()r dt s f(uo) du in tf(t)f(tdt)2 ≥mU厂U((0)+r()f(0)d2 MU(()2 If[ 2( f()2) j2 [∫(f(t)|)a2 1/4. 为得到等式,在第三步应用 Schwarz不等式时,必须等号成立。因而∈C使得 f'(t)=-2btf(t) 由此得 此时在后面的不等式中也获得等式 下面的定理表明我们不能构造在时一频二域内同时有紧支集的函数。更一般地有 定理7:设f()≠0有紧支集,则f(u)不能在任一区间上为0。类似地,若f(u)≠0有紧支 集,则f()不能在任一区间上为0 证:仅证前一结论。设∫有含于b,列的紧支集,则 f(t) f(o 若f(1)=0,vt∈[e,d,在=生处求m次导数,得 0=/)b=0 又对任t∈R,展开eu(-t0),得 f(t)=2 bf(w)ei ,f(u) 这与∫≠0矛盾
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 6 证：（只证√ tf(t) → 0的情形）若f 的平均时、频位置是u和ξ，则e −iξtf(t + u)相应的平 均时、频位置都是0。因此我们设u = ξ=0. 由F(f 0 (t)) = iω ˆf(ω)与Plancherel公式, 以及 由Schwarz不等式 σ 2 t σ 2 ω = 1 2πkfk 4 R |tf(t)| 2 dt R ¯ ¯ ¯ ω ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 kfk 4 R |tf(t)| 2 dt R |f 0 (t)| 2 dt ≥ 1 kfk 4 ( R ¯ ¯ ¯tf0 (t)f(t) ¯ ¯ ¯ dt) 2 ≥ 1 kfk 4 [ R t 2 [f 0 (t)f(t) + f 0 (t)f(t)dt] 2 = 1 kfk 4 [ R t 2 (|f(t)| 2 ) 0 ]dt] 2 = 1 kfk 4 [ R t 2 (|f(t)| 2 ) 0 dt] 2 = 1 4kfk 4 [ R (|f(t)| 2 )dt] 2 = 1/4. 为得到等式，在第三步应用Schwarz不等式时，必须等号成立。因而∃b ∈ C使得 f 0 (t) = −2btf(t). 由此得 f(t) = ae−bt2 , a ∈ C. 此时在后面的不等式中也获得等式. 下面的定理表明我们不能构造在时一频二域内同时有紧支集的函数。更一般地有 定理7: 设f(t) 6= 0有紧支集，则 ˆf(ω)不能在任一区间上为0。类似地，若 ˆf(ω) 6= 0有紧支 集，则f(t)不能在任一区间上为0。 证：仅证前一结论。设 ˆf有含于[−b, b]的紧支集，则 f(t) = 1 2π Z b −b ˆf(ω)e iωtdω. 若f(t) = 0, ∀t ∈ [c, d]，在t0 = c+d 2 处求m次导数，得 f (m) (t) = 1 2π Z b −b ˆf(ω)(iω) me iωt0 dω = 0 又对任t ∈ R，展开e iω(t−t0)，得 f(t) = 1 2π R b −b ˆf(ω)e iω(t−t0) e iωt0 dω = 1 2π P m [i(t−t0)]m m! R b −b ˆf(ω)ω me iωt0 dω = 0 这与f 6= 0矛盾
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 线性时不变系统与滤波 考虑状态空间X与Y。线性系统对应于一个线性算子L Y f(t)→g(t)=(Lf)(). 此系统是时不变的,如果对任意to,有 f(t-to)→9(t-to) 可以证明,对于线性时不变系统,存在函数h,使得 g(t)=(h*f)(t)= h(t-u)f(u) 从而,我们有 9(w)=h(w)f(w) 这样,线性时不变系统是在频率域上对输入的一种过滤 根据函数h(u)在频率空间u的能量分布,我们给出 定义:若函数h(ω)的能量分别集中在低频,高频或中间频段,我们分别称它为低通,高通 或带通滤波器 例:h(ω)=x-sω)为低通滤波器。并且它是理想低通滤波器,这是因为它完全地保留低 频成份且除去高频成份 现考虑由理想低通滤波器所产生的 Gibbs现象 设f=f*h为由理想低通滤波器h=x-4滤波后的信号 当∫∈L2(R)时,有f→f在D2().这是因为f=fx(-,且由 Plancherel公式有 If -fel f(u)-f∈(u)|2 f(u)P2d→0 2J-∞ 2丌J 当 当f在to不连续时,f在to处产生Gibs振荡。我们仅考虑已下的模型 f(t)=f(t)+Ju(t-to 其中f()在to连续,u(t)=1,当t≥0,或0,其它。也即f在to处的跳跃为J。 相应的f(t)为 f∈(t)=f*he(t)+Ju*he 第一项在to的邻域内收敛于∫a(t)。对第二项,我们有 命题( Gibbs):对v∈>0,有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 7 线性时不变系统与滤波 考虑状态空间X与Y 。线性系统对应于一个线性算子L L : X → Y f(t) → g(t) = (Lf)(t). 此系统是时不变的，如果对任意t0，有 f(t − t0) → g(t − t0). 可以证明，对于线性时不变系统，存在函数h，使得 g(t) = (h ∗ f)(t) = Z +∞ −∞ h(t − u)f(u)du. 从而，我们有 gˆ(ω) = hˆ(ω) ˆf(ω). 这样，线性时不变系统是在频率域上对输入的一种过滤。 根据函数hˆ(ω)在频率空间ω的能量分布，我们给出 定义： 若函数hˆ(ω)的能量分别集中在低频，高频或中间频段，我们分别称它为低通，高通 或带通滤波器。 例： hˆ(ω) = χ[−ξ,ξ](ω)为低通滤波器。并且它是理想低通滤波器，这是因为它完全地保留低 频成份且除去高频成份。 现考虑由理想低通滤波器所产生的Gibbs现象。 设fξ = f ∗ hξ为由理想低通滤波器hbξ = χ[−ξ,ξ]滤波后的信号。 当f ∈ L 2 (R)时，有fξ → f在L 2 (R). 这是因为 ˆfξ = ˆf · χ[−ξ,ξ] , 且由Plancherel公式有 |f − fξ| 2 = 1 2π Z +∞ −∞ | ˆf(ω) − fbξ(ω)| 2 = 1 2π Z |ω|>ξ | ˆf(ω)| 2 dω → 0 当ξ → ∞。 当f在t0不连续时，fξ在t0处产生Gibbs振荡。我们仅考虑已下的模型： f(t) = fc(t) + Ju(t − t0) 其中fc(t)在t0连续，u(t) = 1，当t ≥ 0，或0, 其它。也即f在t0处的跳跃为J。 相应的fξ(t)为 fξ(t) = fc ∗ hξ(t) + Ju ∗ hξ 第一项在t0的邻域内收敛于fc(t)。对第二项，我们有 命题（Gibbs）: 对∀² > 0, 有