1-coS x 2 sin m x→>0snxx→>0Sin2x 2 sin 2 X 2 0 sinx 2 COSX =O(sin2x)(x->0) SIn x m sin xx (x>0) x→>0x
= − → x x x 2 0 sin 1 cos (3) lim 2 1 sin 2 2sin lim 2 2 2 2 0 = = → x x x x x 1 cos O(sin ) ( 0) − x = 2 x x → 1 sin (4) lim 0 = → x x x sin x ~ x (x → 0) x x x 2 2 0 sin 2 2sin lim →
例2证明a-1~xa(x→>0,a>0 C 即要证lim x0 hn a 令y=a-1,则x→>0时,y→>0,且 x=og1(1+y)=1+y) a 有何翅法? 故lim m x>0x hn s0 In(1+y y→>0 In(1+y) 从而a-1~xha(x->0)
a −1~ x ln a (x →0 , a 0) 证明 x 1 ln 1 lim 0 = − → x a a x x 即要证 = −1, x 令 y a a y x y a ln ln(1 ) log (1 ) + = + = = − → x a a x x ln 1 lim 0 故 a −1~ x ln a (x →0) 从而 x 则 x → 0 时, y → 0 , 且 = → ln(1+ ) lim 0 y y y 1 ln(1 ) 1 lim 1 0 = + → y y y 有何想法？ 例2 证
由该例的证明过程得到 in(1+x)~x(x→>0)
ln(1 ) ~ ( 0). , + x x x → 由该例的证明过程 得到
I-cOSx 1 例 因为lm x->0 所以1-cosx=O(x2)(x→>0) 还有1-c0sx~x2(x→>0) 2
, 2 1 cos 1 lim 2 0 = − → x x x 因为 所以 1− cos x = O( x 2 ) ( x → 0 ) . ( 0) 2 1 1 cos ~ 还有 − x x 2 x → 例3