西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着K。的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：8%=e=ctgβ×100%，当8%≤18%时解得:β≤61.37在根轨迹图上画两条与实轴夹角为β=60°的直线，与根轨迹交于A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益K。，进而求得开环放大系数K。设A点坐标为：一α+jの，则：0jo(1)=tg60°=/3β相角条件为：β+βz+β,=元0A00120°+tg+tg=元(2)4-06-011
11 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于： % = 100%, − ctg e 当 %18% 时解得： 61.37 这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计 算。 Kg 在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨 迹交于A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标，可 以确定这时的根轨迹增益 ，进而求得开环放大系数K。 = 60 Kg −6 − 4 0 A 3 2 1 − j 设A点坐标为：− + j ，则： = 60 = 3 tg （1） 相角条件为：1 + 2 + 3 = = − + − + − − 4 6 120 1 1 t g t g （2） 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学EEANIAOTONGUNIVEEST4.5控制系统的根轨迹分析法由(1)，(2)式解得:α =1.2,の=2.1共轭主导极点为：Si,2=-1.2± j2.1。3+10s2+24s+K.=0也可令s=x+/3xi代入特征方程实部方程-8x3-20x2+24x+K=0x = -1.2, s =-1.2±2.1j解得：虚部方程20/3x2+24/3x=0K。= 43.776KII(t,s+ 1)i=1的形式表示时，K称为开环放开环传递函数以G(s)=II(T,s + 1)大系数。j=1K.IIZg显然K与K.的关系为:K式中P,不计为0极点。IIpj43.7761.824所以，开环放大系数：K=4x6由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：S3=-7.6。该极点是共轭复极点实部的6倍多。12
12 由(1)，(2)式解得： =1.2, = 2.1 共轭主导极点为： s1,2 = −1.2 j2.1 。 = = + + = n j j m i i k T s K s G s 1 1 ( 1) ( 1) ( ) 开环传递函数以 的形式表示时，K称为开环放 大系数。 显然 K与Kg 的关系为： ，式中 不计为0极点。 = j g i p K z K j p 所以，开环放大系数： 1.824 4 6 43.776 = K = 由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点 为： s3 = −7.6。该极点是共轭复极点实部的6倍多。 解得： Kg = 43.776 x = −1.2，s = −1.2 2.1 j 20 3 24 3 0 8 20 24 0 2 3 2 + = − − + + = x x 实部方程 x x x Kg 虚部方程 也可令 s = x + 3xj 代入特征方程 10 24 0 3 2 s + s + s + Kg = 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学EE'ANJIAOTONGUNIVEESITT4.5控制系统的根轨迹分析法例：单位反馈系统的开环传递函数为KgG(s)=(s +1)°(s+ 4)21.画出根轨迹2.能否通过选择K满足最大超调量8%5%的要求？3.能否通过选择K。满足调节时间t≤2秒的要求？4.能否通过选择K。满足位置误差系数K≥10的要求？解：1.画根轨迹①实轴无根轨迹②渐近线=-2.5，0=±45°，±135°③与虚轴交点の=±2，K=10013
13 例：单位反馈系统的开环传递函数为 2 2 ( 1) ( 4) ( ) + + = s s K G s g k ⒈画出根轨迹 ⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ ⒊能否通过选择Kg满足调节时间t s≤2秒的要求？ ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？ 解：⒈画根轨迹 ①实轴无根轨迹 ②渐近线 =−2.5，=±45° , ±135° ③与虚轴交点=±2，Kgp=100 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学LE'ANJLROONGUNIYERSTY4.5控制系统的根轨迹分析法43210-1-2-3-4-8-70-612-5-2-1-4-314
14 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITT4.5控制系统的根轨迹分析法2.能否通过选择K。满足最大超调量8%≤5%的要求？当取阻尼角为45°的主导极点时，8%≤5%的要求。由根轨迹可见阻尼角为45°的线与根轨迹相交，可求得主导极点为S=一0.8+0.8i，另一对极点为S=一4.2+0.8相差5.25倍，满足主导极点的要求。3.能否通过选择K。满足调节时间t2秒的要求？要求t≤2秒，即要求3/82，s1.5。由根轨迹可知主导极点的实部81，所以不能通过选择K满足t≤2秒的要求4.能否通过选择K。满足位置误差系数K≥10的要求？KgpK, = lim G,(s)= 6.2516S=0所以不能通过选择K.满足K,≥10的要求。15
15 ⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ 当取阻尼角为45°的主导极点时， δ%≤5%的要求。 由根轨迹可见阻尼角为45°的线与根轨迹相交，可求得主 导极点为s=－0.8+0.8j，另一对极点为s=－4.2+0.8j 相差5.25倍，满足主导极点的要求。 ⒊能否通过选择Kg满足调节时间t s≤2秒的要求？ ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？ 要求t s≤2秒，即要求3/2， .5。由根轨迹可知主导极点 的实部，所以不能通过选择Kg满足t s≤2秒的要求。 所以不能通过选择Kg满足Kp≥10的要求。 6.25 16 lim ( ) 0 = = = = gp k s p K K G s 4.5 控制系统的根轨迹分析法