§4泰勒公式与极值 定理 若O与O/在区域内连续, droy avox 3/02
§4泰勒公式与极值 2 2 2 2 . f f D x y y x f f x y y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 与 在区域 内连续， 则 若 定理：
§4泰勒公式与极值 复合函数的高阶偏导数: f(x,1),x=8(5,D)2y=从(5,)则 az a(020x,a(az oy asf as(Or as)as(oy as azax az ax + asax丿 as ax as as aou丿 as dy as( as
§4泰勒公式与极值 2 2 ( , ), ( , ), . z f x y x g s t y h s t ( , ) z z x z y s s x s s y s z x z x s x s x s s z y z y s y s y s s ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ = = = ⎠ = ⎝ 则 复合函数的高阶偏导数：
§4泰勒公式与极值 凸区域: V1,∈D→2+2B∈D (1,2≥0,1+2=1) 中值定理: 于凸开域DcF上连续,于内所有 内点都可微,则对f(a2b,Ca+hb+1)∈D 0∈(0,1.使得 (a+b+A)-f/(a,b) (a+Bb+0A)什+/(a+6hb+日A
§4泰勒公式与极值 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , . ( , 0, 1) P P D P P D λ λ λ λ λ λ ∀ ∈ ⇒ + ∈ ≥ + = 凸区域： 2 ( , ), ( , ) , (0,1), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y D R P a b Q a h b k D f a h b k f a b f a h b k h f a h b k f k θ θ θ θ θ ⊂ + + ∈ ∃ ∈ + + − = + + + + + 上连续,于内所有 内点都可微,则对 使得 于凸开域 中值定理：
§4泰勒公式与极值 泰勒定理: 厅()内有直到n+阶的连续偏导数, (+1+)∈(则存在相应的0∈(0,1使: (x+h+A)=f(x,1)++。f(x,1) or 2 h+kf(x,)+…叫+/-。.f(x a r a h一+k (n+1)!("ax"y 1(0x6+θh,+6A)
§4泰勒公式与极值 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 ( ) 1 ( , ) ( ), (0,1), ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 ( , ) ( , ) 2! ! 1 ( , ( 1)! n n U P n x h y k U P f x h y k f x y h k f x y x y h k f x y h k f x y x y n x y h k f x h y n x y f θ θ + + + + ∈ ∈ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + + = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + + + ⎜ ⎟ + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⋯ 于 内有直到 阶的连续偏导数, 则存在相应的 使: 泰勒定理： 0 +θk)
§4泰勒公式与极值 例.求(108)的近似值 极值:P∈U() 于取极大值:/()≤f() 于取极小值:/()≥f() 极值的必要条件: 若/()()存在且/()极值则f()=f()=0 (P为稳定点)
§4泰勒公式与极值 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ); ( ) ( ). f f P U P P f P f P P f P f P ∈ ≤ ≥ 取极大值: 取 于 于 极小值: 极值： 0 0 0 0 0 0 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 x y x y f P f P f P f P f P P 若 且 极值 则 = = . （ ） 存在 为稳定点 极值的必要条件： 3.96 例 .求 (1.08) . 的近似值