83方向导数与梯度 例 0<y< <X<+O 0 other C为任意方向,求/(0,0)
§3 方向导数与梯度 2 1, 0 , ( , ) 0, (0,0). y x x f x y other f ⎧ < < −∞ < < +∞ = ⎨ ⎩ ℓ ℓ为任意方向, 求 例
83方向导数与梯度 梯度 w/()=(/(b),f(,() 定理: 5()=grad / (P) cose 其中,θ为梯度向量与方向C之夹角
§3 方向导数与梯度 0 0 0 0 ( ) ( ( ), ( ), ( )). x y z grad f P f P f P f P = 梯度： 0 0 f P grad f P ( ) ( ) cos . θ θ = ⋅ ℓ 其中, 为梯度向量与方向ℓ之夹角. 定理：
83方向导数与梯度 推论 当/于f可微时/厅于f沿梯度方向 是/变化最快的方向 例 f(x,y,2)=12+yz3,求/在f(2,-1,1) 处的梯度及模
§3 方向导数与梯度 0 0 f P f P f 当 于 可微时, 于 沿梯度方向 是 变化最快的方向. 推论： 2 3 0 ( , , ) , (2, 1,1) . f x y z xy yz f P = + − 求 在 处的梯度及模 例
s4泰勒公式与极值 高阶偏导数: 2 02/a(a 3/( 1 O1 8/0(0 82/0(0 aOay、ar avox ax ay 例:求/(x,1)=x212-3y3-m+1 的四个二阶偏导数
§4 泰勒公式与极值 2 2 2 2 2 2 ; ; ; . xx yy xy yx f f f f f f x x x y y y f f f f f f x y y x y x x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 高阶偏导数： 3 2 3 求 f x y x y xy xy ( , ) 3 1 = − − + 的四个二阶偏导数. 例：
§4泰勒公式与极值 例:求下列函数的四个二阶偏导数 观察混合偏导数是否相等 32 1.f(x,y)=x 3x3-x1+1; 2.f(r,y)=e cos bj
§4泰勒公式与极值 3 2 3 1. ( , ) 3 1 2. ( , ) cos . ax f x y x y xy xy f x y e by = − − + = 求下列函数的四个二阶偏导数， 观察混合偏导数是否相等. ； 例：