§2复合函数微分法 例 1设z=ln(2+), 求 2.=(x,1),x=rcos0,y=/sinO,证明 2 l.+一l=l2.+ 3.2=u+sint, u=e, v=cost, kz(0) 4y=x2求地(0
§2 复合函数微分法 2 2 2 2 2 2 2 2 , . 2. ( , ), cos , s ln in , 1 . 3. sin , , cos , ( ). 4. , , ) ) ( , . ( , x x r y y x y t x z z u u x y x r y r u u u u r z uv t u e v t t z u v u y x y t e v x y θ θ θ + = = = + = + = + = = ′ = ′ = + = = + 证 1.设 求 明 求z 求 例：
§2复合函数微分法 阶全微分形式不变性: 1.二=(x,1),x,y为自变量→=ah+h ax aj 2.二=(x,y)2x=8(5,1),y=从(S,1)→ 2 dk==ds+=dt as at dr+o dy
§2 复合函数微分法 ( , ), , . 2. ( , ), ( , ) ( , ), . x z z z f x y x y dz dx dy x y z f x y z z ds dt s g s t y h s t dz t z z dx dy x y ∂ ∂ = ⇒ = + ∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + = = = = = ∂ ∂ ⋯ 1. 为自变量 一阶全微分形式不变性：
§2复合函数微分法 例 z=esin(x+1),求 ax ay
§2 复合函数微分法 sin( ), , , . xy z z z e x y dz x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 求 例：
83方向导数与梯度 方向导数 C为由f出发的单位向量,P=f+1C f( p=lim f(0+1()-f() 1>0 f 例 =(.0),求(B),()
§3 方向导数与梯度 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . t P P P t f P t f P f P t → + = + + − ℓ = ℓ ℓ ℓ 为由 出发的单位向量, 方向导数： 0 0 = (1,0), ( ), ( ). f P f P ℓ ℓ − ℓ 求 例
83方向导数与梯度 定理: e=(cosa, cos B, cosy ), )./于B可微,则 f1(10)=/(0)cosa+/,(0)cosB+/(0)cosy 推论: ∫可微,则/()=-()
§3 方向导数与梯度 0 0 0 0 0 (cos ,cos ,cos ), ( ) ( )cos ( )cos ( )cos . x y z f P f P f P f P f P α β γ α β γ = ℓ = + + ℓ 于 可微,则 定理： 0 0 0 f P f P f P ( ) ( ) . 于 可微,则 −ℓ ℓ = − 推论：