例713求参数为p的0-1分布的最大似然估计 解 P{X=0}=1p P(x=m}=p(1-p)l吗(m=0,1) P{X=1}=p X=x}=p(1)xm→I(x,x2…,xn;p)=IIp(1-p)2 =p(-p)mhnL=C∑x)p+(m-∑x)m(1-P) dInL ∑x1n∑ 0m(1-p∑x+p(m-∑x)=0 dp 、￠ 1-p 解得p=∑Xm最大似然估计为 i=1 p X=X n
例7.1.3 求参数为p的0-1分布的最大似然估计. 解. P{X=0}=1-p P{X=1}=p P{X=m}=pm(1-p)1-m (m=0,1) P{X=x}=px (1-p)1-x = − − n i 1 x 1 x i i p (1 p) ( x )ln p (n x )ln(1 p) n i 1 i n i 1 i + − − = = − = = = − n i 1 i n i 1 i x n x p (1 p) 0 1 p n x p x n i 1 i n i 1 i = − − + = = (1 p) x p(n x ) 0 n i 1 i n i 1 − i + − = = = L(x1 ,x2 ,...,xn ;p) = lnL = = dp dlnL 解得 = = n i 1 Xi n 1 p 最大似然估计为 X X n 1 p n i 1 = i = =
例714XN(H2求参数μ,G2的最大似然估计 解: X-↓ f(x, H, 0 2 √2 tO 2兀d2 L(x,x2y…2x;H,o2)=∏ 2 2∑ 2兀 2兀2 In L= nIn( )-。2∑(x1-p) n 2x22 ln2d2-2∑(x1-) 2 aIn L du ∑(x-p)2=0 ∑X aIn L n 2d22a ∑(x-) -42-= n
例7.1.4.X~N(μ,σ2 ),求参数μ,σ2的最大似然估计. 解: 2 2 2 (x ) 2 e 2 1 f(x, , ) − − = 2 2 2 (x ) 2 e 2 1 − − = = − − n i 1 2 (x ) 2 2 2 i e 2 1 L(x ,x ,...,x ;, ) = 2 1 2 n = = − − n i 1 2 i 2 (x ) 2 1 n 2 ) e 2 1 ( lnL = − − = n i 1 2 2 i 2 (x ) 2 1 ) 2 1 nln( − = − − = n i 1 2 2 i 2 (x ) 2 1 ln 2 2 n (x ) 0 1 n i 1 2 2 i − = − = (x ) 0 2 1 2 n n i 1 2 2 4 i − = + − = = lnL = 2 lnL X X n 1 n i 1 = i = = = = = − = − n i 1 2 i n i 1 2 i 2 (x X) n 1 (x ) n 1
例715设X服从0,入区间上的均匀分布参数 入>0,求的最大似然估计 解:由题意得:X~f(x;4)=1 0其它 L( 丸) 其它 dIn L n d入 +=0无解基本方法失效 应用最大似然估计基本思想:L越大,样本观察值越可能出现 考虑L的取值,要使L取值最大应最小,0≤x1,x2y…,xn≤A 取λ=mnx(x1,x2y…,xn)此时,取值最大, 所以,所求最大似然估计为儿=mx(x,x2,xn)
例7.1.5.设X服从[0,λ]区间上的均匀分布,参数 λ>0,求λ的最大似然估计. 解:由题意得: = 0 其 它 0 x 1 X ~ f(x; ) L(x1 ,x2 ,...,xn ;) = 0 其 它 0 x ,x ,...,x 1 n 1 2 n = d dlnL 0 n n 1 = − + 无解.基本方法失效. 考虑L的取值,要使L取值最大,λ应最小, 0 x1 ,x2 ,...,xn 取 max(x ,x ,...,x ) = 1 2 n 此时,L取值最大, 所以,所求最大似然估计为 max(x ,x ,...,x ) = 1 2 n 应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现
例7.1.6设总体X~f(x)= 6+1)20<x<1,>-1 ,其他 其中θ是未知参数X1,…,Xn是来自总体的一个容量为n 的sr.s,求日的最大似然估计 解:由题意得: L ) (+1)x0<x<1i=12,n 19299n 其它 当0<X;<1(i=1,2,n)时 InL= In(0+1)"lx: l =nIn(0+1)+02Inx dInL n d09+1 ∑mnx1=0 e=-1 所求最大似然估计为 ∑lm
例7.1.6设总体X～ + − = 0 ,其 他 ( 1)x ,0 x 1, 1 f(x) 其中 是未知参数. 是来自总体的一个容量为 n 的s.r.s,求 的最大似然估计. 1 Xn X , , 解:由题意得: L(x1 ,x2 ,...,xn ;) = 当 0 xi 1 (i = 1,2,...,n) 时， lnL = ln( 1) [ x ] n i 1 i n = + = = + + n i 1 i nln( 1) ln x = d dlnL ln x 0 1 n n i 1 + i = + = 所求最大似然估计为 = = − − n i 1 Xi ln n 1 + = = 0 其 它 ( 1)x 0 xi 1,i 1,2,...,n n i 1 i
注意:同一个未知参数的矩估计量和 最大似然估计量不一定一样(如正态分布的 完全一样,而均匀分布的就不一样)
同一个未知参数的矩估计量和 最大似然估计量不一定一样(如正态分布的 完全一样,而均匀分布的就不一样). 注意: