元二次不等式及其解法 第一课时一元二次不等式及其解法 卫本为本抓基 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P76~78,思考并完成以下问题 (1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式? (2)如何求解一元二次不等式? (3)三个“二次”指的是哪三个“二次”?它们之间有何关系? 1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等 式,即形如ax2+bx+c>0≥0)或ax2+bx+c<0≤0其中a≠0的不等式叫做一元二次不 等式 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为 这个一元二次不等式的解集 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表 判别式A=b2-4ac 团=0 次函数y=ax2+bx c(a>0)的图象 元二次方程ax2+有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 bx+c=0(a>0)的根 x2) XI-x2- a2+bx+c>0(a>0) xx<x或xx 的解集
一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法 (1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？ (2)如何求解一元二次不等式？ (3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？ [新知初探] 1．一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等 式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不 等式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为 这个一元二次不等式的解集． 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 的解集 {x|x<x1 或 x>x2} x|x≠－ b 2a R 预习课本 P76～78，思考并完成以下问题
十bx xk<x<x2 的解集 小试身乎 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式() (2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解 (3若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x,x2(x<x),则一元二次不等式ax2+bx +c<0的解集为{xx1<x<x2() (4)不等式x2-2x+3>0的解集为R() 解析:(1)错误。当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式 (2)错误.因为m>0,所以不等式ax32+1>0恒成立,即原不等式的解集为R (3)错误,当>0时,ax2+bx+c<0的解集为{xx1<x<x2},否则不成立 (4)正确.因为』=(-2}-12<0,所以不等式x2-2x+3>0的解集为R 答案:(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.不等式x(2-x)>0的解集为() x>0} B.{xx<2} C.{xx>2或x<0} 解析;选D原不等式化为x(x-2)<0,故0<x<2. 3.不等式x2-2x-5>2x的解集是( A.{xx≥5或x≤-1} B.{xx>5或x<-1} C.{x-1<x<s} D.{x-1≤x≤5} 解析:选B由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0, 因为x2-4x-5=0的两根为-1,5 故x2-4x-5>0的解集为{xx<-1或x>5} 4.不等式-3x2+5x-4>0的解集为 解析:原不等式变形为3x2-5x+4<0 因为』=(-5)2-4×3×4=-23<0, 所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0的解集为a 答案:a 学用结合·通技法 果堂讲练设计,举一能通类题 匚型」元次不等式解法
Δ＝b 2－4ac ax2＋bx ＋c<0(a>0) 的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式( ) (2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解( ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式 ax2＋bx ＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}( ) (4)不等式 x 2－2x＋3>0 的解集为 R( ) 解析：(1)错误．当 m＝0 时，是一元一次不等式；当 m≠0 时，它是一元二次不等式． (2)错误．因为 a>0，所以不等式 ax2＋1>0 恒成立，即原不等式的解集为 R. (3)错误．当 a>0 时，ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立． (4)正确．因为 Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式 x 2－2x＋3>0 的解集为 R. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．不等式 x(2－x)＞0 的解集为( ) A．{x|x＞0} B．{x|x＜2} C．{x|x＞2 或 x＜0} D．{x|0＜x＜2} 解析：选 D 原不等式化为 x(x－2)＜0，故 0＜x＜2. 3．不等式 x 2－2x－5>2x 的解集是( ) A．{x|x≥5 或 x≤－1} B．{x|x>5 或 x<－1} C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5} 解析：选 B 由 x 2－2x－5>2x，得 x 2－4x－5>0， 因为 x 2－4x－5＝0 的两根为－1,5， 故 x 2－4x－5>0 的解集为{x|x<－1 或 x>5}． 4．不等式－3x 2＋5x－4>0 的解集为________． 解析：原不等式变形为 3x 2－5x＋4<0. 因为 Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0， 所以由函数 y＝3x 2－5x＋4 的图象可知，3x 2－5x＋4<0 的解集为∅. 答案：∅ 一元二次不等式解法
典例]解下列不等式 (1)2x2+5x-3<0 (3)4x2+4x+1>0; (4)-x2+6x-10>0 解|(1)=490,方程2+5-3=0的两根为x=-3,x=, 作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示, 由图可得原不等式的解集为-3xs (2)原不等式等价于32-6+2≥0=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x 作出画数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为 (3)∵=0,∴方程4x2+4+1=0有两个相等的实根x1=x2=一作出函 数y=4x2+4x+1的图象如图所示 由图可得原不等式的解集为 x∈R (4)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵4=-4<0, 方程x2-6x+10=0无实根,∴原不等式的解集为a 通店 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集
[典例] 解下列不等式： (1)2x 2＋5x－3<0； (2)－3x 2＋6x≤2； (3)4x 2＋4x＋1>0； (4)－x 2＋6x－10>0. [解] (1)Δ＝49>0，方程 2x 2＋5x－3＝0 的两根为 x1＝－3，x2＝ 1 2 ， 作出函数 y＝2x 2＋5x－3 的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为 x －3<x< 1 2 . (2)原不等式等价于 3x 2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程 3x 2－6x＋2＝0，得 x1＝ 3－ 3 3 ， x2＝ 3＋ 3 3 ， 作出函数 y＝3x 2－ 6x＋2 的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为 x x≤ 3－ 3 3 或x≥ 3＋ 3 3 . (3)∵Δ＝0，∴方程 4x 2＋4x＋1＝0 有两个相等的实根 x1＝x2＝－ 1 2 .作出函 数 y＝4x 2＋4x＋1 的图象如图所示． 由图可得原不等式的解集为 x x≠－ 1 2 ，x∈R . (4)原不等式可化为 x 2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程 x 2－6x＋10＝0 无实根，∴原不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
活学活用 已知集合M={x2-3x-28≤0},N={cx2-x-6>0},则M∩N为() A.{x-4≤x<-2或3<x≤7} B.{x-4<x≤-2或3≤x<7} C.{x≤-2或x>3} D.{xk<-2或x≥3} 解析:选A∵M={xx2-3x-28≤0} {x-4≤x≤7, N={xp2-x-6>0={x<-2或x>3} ∴MnN={x-4≤x<-2或3<x≤7} 题型 三个“二次”关系的应用 典例(著不等式a+M+20的解集科同二则+的值为 A.14 D,-14 已知一元二次不等式计++0的解集为-2<<吉少求不等式+以+1 >0的解集 解析](1)由巳知得, +kx+2=0的解为-1,1 解得 a+b=-14. 谷案]D 解:因为以+p+0的解集为-2<x3,所以x=-2与x=是方程x px+q=0的两个实数根, 由根与系数的关系得 解得 所以不等式42+px+1>0即为6+6+1>0,整理得-x-6<0,解得-2<
[活学活用] 已知集合 M＝{x|x 2－3x－28≤0}，N＝{x|x 2－x－6＞0}，则 M∩N 为( ) A．{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2 或 3≤x＜7} C．{x|x≤－2 或 x＞3} D．{x|x＜－2 或 x≥3} 解析：选 A ∵M＝{x|x 2－3x－28≤0} ＝{x|－4≤x≤7}， N＝{x|x 2－x－6＞0}＝{x|x＜－2 或 x＞3}， ∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7}. 三个“二次”关系的应用 [典例] (1)若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是 x － 1 2 <x< 1 3 ，则 a＋b 的值为( ) A．14 B．－10 C．10 D．－14 (2)已知一元二次不等式 x 2＋px＋q＜0 的解集为 x － 1 2 ＜x＜ 1 3 ，求不等式 qx2＋px＋1 ＞0 的解集． [解析] (1)由已知得， ax2＋bx＋2＝0 的解为－1 2 ， 1 3 ，且 a<0. ∴ － b a ＝－ 1 2 ＋ 1 3 ， 2 a ＝ － 1 2 × 1 3 ， 解得 a＝－12， b＝－2， ∴a＋b＝－14. [答案] D (2)解：因为 x 2＋px＋q＜0 的解集为 x － 1 2 ＜x＜ 1 3 ，所以 x1＝－ 1 2 与 x2＝ 1 3 是方程 x 2 ＋px＋q＝0 的两个实数根， 由根与系数的关系得 1 3 － 1 2 ＝－p， 1 3 × － 1 2 ＝q， 解得 p＝ 1 6 ， q＝－ 1 6 . 所以不等式 qx2＋px＋1＞0 即为－1 6 x 2＋ 1 6 x＋1＞0，整理得 x 2－x－6＜0，解得－2＜x ＜3
即不等式qx2+px+1>0的解集为{x-2<x<3} r通 (1)一元二次不等式an2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程aR+bx+c =0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在X轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0 的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的 三者之间相互依存、相互转化 |活学活用 1.若不等式几x)=ax2-x-c>0的解集为(-2,1),则函数y=fx)的图象为() B 21O2 解析:选B因为不等式的解集为(一21),所以a<0,排除C、D,又与坐标軸交点的 横坐标为一21,故选B. 2.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x12<x<3},求不等式cx2-bx+a>0的解集. 2+3= 解:由题意知 2×3= 即c=6a, 代入不等式cx2-bx+a>0, 得6ax2+5ax+a0(a<0 即6x2+5x+1<0,解得-x 所以所求不等式的解集为-x 题型三 解含参数的一元二次不等式
即不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集为{x|－2＜x＜3}． (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 的根，也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、相互转化． [活学活用] 1．若不等式 f(x)＝ax2－x－c>0 的解集为(－2,1)，则函数 y＝f(x)的图象为( ) 解析：选 B 因为不等式的解集为(－2,1)，所以 a<0，排除 C、D，又与坐标轴交点的 横坐标为－2,1，故选 B. 2．已知不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}，求不等式 cx2－bx＋a>0 的解集． 解：由题意知 2＋3＝－ b a ， 2×3＝ c a ， a<0， 即 b＝－5a， c＝6a， a<0. 代入不等式 cx2－bx＋a>0， 得 6ax2＋5ax＋a>0(a<0)． 即 6x 2＋5x＋1<0，解得－1 2 <x<－ 1 3 ， 所以所求不等式的解集为 x － 1 2 <x<－ 1 3 . 解含参数的一元二次不等式