32一元二次不等式及其解法 第1课时 教学过程 推进新课 师因此这个问题实际就是解不等式:x2-5x<0的问题这样的不等式就叫做一元二次不等式, 它的解法是我们下面要学习讨论的重点 什么叫做一元二次不等式? 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式,它的一般形式 是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)例如2x2-3x-2>0,3x2-6x<-2,-2x2+3<0等都是 元二次不等式 那么如何求解呢? 师在初中,我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法,以及一次函数的有关 知识,那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢? 思考:对一次函数y=2x-7,当x为何值时, y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0 它的对应值表与图象如下 由对应值表与图象(如上图)可知 当x=3.5时,y=0,即2x-7=0 当x<3.5时,y<0,即2x-7<0 当x>3.5时,y>0,即2x-7>0 师一般地,设直线y=a+b与x轴的交点是(x0,0),则有如下结果: (1)一元一次方程aX+b=0的解是x0 (2)①当a>0时,一元一次不等式ax+b>0的解集是{xx>x};一元一次不等式ax+b<0 的解集是{xx<x0} ②当a<0时,一元一次不等式ax+b>0的解集是{xx<x};一元一次不等式ax+b<0的解 集是{xx>xo} 师在解决上述问题的基础上分析,一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系 能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗? 生函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根,不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方) 部分对应的横坐标 >0
最新精品资料最新精品资料最新精品资料 3.2 一元二次不等式及其解法 第 1 课时 教学过程 推进新课 师 因此这个问题实际就是解不等式：x 2 -5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式， 它的解法是我们下面要学习讨论的重点. 什么叫做一元二次不等式？ 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式 是 ax 2+bx+c＞0 或 ax 2+bx+c＜0（a≠0）.例如 2x2 -3x-2＞0，3x2 -6x＜-2，-2x2+3＜0 等都是一 元二次不等式. 那么如何求解呢？ 师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关 知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？ 思考：对一次函数 y=2x-7，当 x 为何值时， y=0？当 x 为何值时，y＜0？当 x 为何值时，y＞0？ 它的对应值表与图象如下： x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 0 1 2 3 由对应值表与图象（如上图）可知： 当 x=3.5 时，y=0，即 2x-7=0； 当 x＜3.5 时，y＜0，即 2x-7＜0； 当 x＞3.5 时，y＞0，即 2x-7＞0. 师 一般地，设直线 y=ax+b 与 x 轴的交点是(x0，0),则有如下结果： （1）一元一次方程 ax+b=0 的解是 x0； （2）①当 a＞0 时，一元一次不等式 ax+b＞0 的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式 ax+b＜0 的解集是{x|x＜x0}. ②当 a＜0 时，一元一次不等式 ax+b＞0 的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式 ax+b＜0 的解 集是{x|x＞x0}. 师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？ 生 函数图象与 x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在 x 轴上方(下方) 部分对应的横坐标. a＞0 a＜0
一次函数 =ax+b(a40) 的图象 一元一次方程ax+b=0的解集 {xx=--} ix]x=- 元一次不等式ax+b>0的解集 {xx>、b b 元一次不等式ax+b<0的解集 {xx<、b {xk>、6 师在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系 利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图象上)我们可以快速准确地求出一元一次不等 式的解集,类似地,我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找 到其求解方法呢? 在初中学习二次函数时,我们曾解决过这样的问题:对二次函数y=x2-5x,当x为何值时 0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0?当时我们又是怎样解决的呢? 生当时我们是通过作出函数的图象,找出图象与ⅹ轴的交点,通过观察来解决的 二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下: 0 6 0 0 由对应值表与图象(如上图)可知: 当x=0或x=5时,y=0,即x2-5x=0 当0<x<5时,y<0,即x2-5x<0 当x<0或x>5时,y>0,即x2-5x>0 这就是说,若抛物线y=x2-5x与x轴的交点是(0,0)与(5,0 则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0,x2=5 一元二次不等式x2-5x<0的解集是{x0<x<5};一元二次不等式x2-5x>0的解集是{xx<0 或x>5} [教师精讲] 由一元二次不等式的一般形式知,任何一个一元二次不等式,最后都可以化为ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0(a>0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解与其相应的一元 二次方程的根及二次函数图象有关,即由抛物线与ⅹ轴的交点可以确定对应的一元二次方程 的解和对应的一元二次不等式的解集 如何讨论一元二次不等式的解集呢? 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设其判别式为△=b2-4ac,它的解按照△> 0,△=0,Δ<0分为三种情况,相应地,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置也分为三 种情况(如下图),因此,对相应的一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+b+c<0(a>0)的 解集我们也分这三种情况进行讨论
一次函数 y=ax+b(a≠0) 的图象 一元一次方程 ax+b=0 的解集 {x|x= a b − } {x|x= a b − } 一元一次不等式 ax+b＞0 的解集 {x|x＞ a b − } {x|x＜ a b − } 一元一次不等式 ax+b＜0 的解集 {x|x＜ a b − } {x|x＞ a b − } 师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系. 利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等 式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找 到其求解方法呢？ 在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数 y=x2 -5x，当 x 为何值时， y=0？当 x 为何值时，y＜0？当 x 为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？ 生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与 x 轴的交点，通过观察来解决的. 二次函数 y=x2 -5x 的对应值表与图象如下： x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 由对应值表与图象（如上图）可知： 当 x=0 或 x=5 时，y=0，即 x 2 -5x=0； 当 0＜x＜5 时，y＜0，即 x 2 -5x＜0； 当 x＜0 或 x＞5 时，y＞0，即 x 2 -5x＞0. 这就是说，若抛物线 y=x 2 -5x 与 x 轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程 x 2 -5x=0 的解就是 x1=0，x2=5. 一元二次不等式 x 2 -5x＜0 的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式 x 2 -5x＞0 的解集是{x|x＜0 或 x＞5}. ［教师精讲］ 由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为 ax 2+bx+c＞0 或 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元 二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程 的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？ 我们知道，对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为 Δ=b 2 -4ac，它的解按照 Δ＞ 0,Δ=0，Δ＜0 分为三种情况，相应地，抛物线 y=ax 2+bx+c(a＞0)与 x 轴的相关位置也分为三 种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式 ax 2+bx+c＞0 或 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的 解集我们也分这三种情况进行讨论
xnO (1)若△>0,此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点(图(1),即方程ax 2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实根x,x2(x1<x),则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解 集是{xx<x1,或x>x2};不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是{xx1<x<x2} (2)若△=0,此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴只有一个交点〔图(2),即方程 ax2+b+-0(a>0有两个相等的实根x=x=b,则不等式ax+b+c>0(a>0)的解集是 xx≠-};不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是 (3)若△<0,此时抛物线y=ax2+bx+ca>0)与x轴没有交点(图(3),即方程ax2+bx+c=0a 0)无实根,则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是R:不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解 集是 △=b24ac △=0 △<0 二次函数 =ax2+bx+c(a>0)的 图象 XNo ax2+bx+c=0的根 b±√=△ XI-X 的解集{xx<x1或x>x2} b xx≠ ax2+bx+c<0的解集{xx<x<x 对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式,可以先把二次项系数化成正数,再求解 [知识拓展] 【例1】解不等式2x2-5x-3>0 生解:因为△>0.25x3=0的解是X=2X2=3所以不等式的解集是对-2,或x> 【例2】解不等式-3x2+15x>12 生解:整理化简得3x2-15x+12<0.因为Δ>0,方程3x2-15x+12=0的解是x1=1,x=4,所以 不等式的解集是{x1<x<4} 【例3】解不等式4x2+4x+1>0 生解:因为△=0,方程4x2+4x+1=0的解是x1=x2=-所以不等式的解集是{xx≠ 【例4】解不等式-x2+2x-3>0 生解:整理化简,得x2-2x+3<0.因为Δ<0,方程x2-2x+3=0无实数解,所以不等式的解 集是必
（1）若 Δ＞0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a＞0)与 x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程 ax 2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根 x1，x2（x1＜x2）,则不等式 ax 2+bx+c＞0（a＞0）的解 集是{x|x＜x1，或 x＞x2}；不等式 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}. （2）若 Δ=0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a＞0)与 x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程 ax 2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根 x1=x2= a b 2 − ,则不等式 ax 2+bx+c＞0（a＞0）的解集是 {x|x≠ a b 2 − }；不等式 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的解集是. (3)若 Δ＜0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a＞0)与 x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程 ax 2+bx+c=0(a ＞0)无实根，则不等式 ax 2+bx+c＞0（a＞0）的解集是 R；不等式 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的解 集是. Δ=b 2 -4ac[来源:www.sh ulihua .n et] Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 二次函数 y=ax 2+bx+c(a＞0)的 图象 ax 2+bx+c=0 的根 a b x 2 1.2 − = x1=x2= a b 2 − ax 2+bx+c＞0 的解集 {x|x＜x1 或 x＞x2} {x|x≠ a b 2 − } R ax 2+bx+c＜0 的解集 {x|x1＜x＜x2} 对于二次项系数是负数（即 a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. ［知识拓展］ 【例 1】 解不等式 2x 2 -5x-3＞0. 生 解：因为 Δ＞0，2x2 -5x-3=0 的解是 x1=- 2 1 ,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜ 2 1 − ，或 x＞ 3}. 【例 2】 解不等式-3x 2+15x＞12. 生 解：整理化简得 3x 2 -15x+12＜0.因为 Δ＞0，方程 3x2 -15x+12=0 的解是 x 1=1,x2=4，所以 不等式的解集是{x|1＜x＜4}. 【例 3】 解不等式 4x 2+4x+1＞0. 生 解：因为 Δ=0，方程 4x 2+4x+1=0 的解是 x1=x 2= 2 1 − .所以不等式的解集是{x|x≠ 2 1 − }. 【例 4】 解不等式-x 2 +2x-3＞0. 生 解：整理化简，得 x 2 -2x+3＜0.因为 Δ＜0，方程 x 2 -2x+3=0 无实数解，所以不等式的解 集是
师由上述讨论及例题,可归纳出解一元二次不等式的程序吗? 生归纳如下: (1)将二次项系数化为“+”:y=ax2+bx+c>0(或<0(a>0 (2)计算判别式Δ,分析不等式的解的情况: 或x> ①△>0时,求根x1<x若y<0则x<x<x2 若y>0,则x≠x的一切实数; ②△=0时,求根x1=x2=x0,{若y<0,则x∈② 若y=0,则x=x ③△0时.方程无解,>0则∈尺 若y≤0,则x∈ (3)写出解集 师说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来,请同学们将 判断框和处理框中的空格填充完整 [学生活动过程] 将原不等式化成一般形式 求方程ax+bxc=0程a 的两个根x1、x 没有实数 4=x9>[原不等式解集为R 原不等式的解集为原不等式的解集为 xx<x或x>x2 [方法引导] 上述过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用与新课程的理念 该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用,激起学生学习的兴趣与勇于探索的精 课堂小结 1.一元二次不等式:含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不 等式,它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0) 2求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序 布置作业
师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下： （1）将二次项系数化为“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0). （2）计算判别式 Δ，分析不等式的解的情况： ①Δ＞0 时，求根 x1＜x2， 0, . 0, ; 1 2 1 2 y x x x y x x x x 若 ＜ 则 ＜ ＜ 若 ＞ 则 或 ＞ ②Δ=0 时，求根 x 1=x 2=x 0， = = 0, . 0, ; 0, ; 0 0 y x x y x y x x 若 则 若 ＜ 则 若 ＞ 则 的一切实数 ③Δ＜0 时，方程无解， 0, . 0, ; y x y x R 若 则 若 ＞ 则 （3）写出解集. 师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将 判断框和处理框中的空格填充完整. ［学生活动过程］ ［方法引导］ 上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念. 该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精 神. 课堂小结 1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不 等式，它的一般形式是 ax 2+bx+c＞0 或 ax 2+bx+c＜0（a≠0）. 2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序. 布置作业
1.完成第90页的练习 2.完成第90页习题3.2第1题 板书设计 元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 多媒体演示区 元二次不等式概念 元二次不等式解题步骤 例题 32一元二次不等式的解法 第2课时 教学过程 推进新课 师因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7110>0的问题因为△>0,方程x2+9x-7110=0 有两个实数根,即x1≈-8894x≈799然后,画出二次函数y=x2+9x-7110,由图象得不等式 的解集为{x<8894或x>79.94} 在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为7994km/h 师【例2】一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数 量ⅹ(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系:y=2x2+220x若这家工厂希望在一个 星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车? 生设在一星期内大约应该生产ⅹ辆摩托车根据题意,能得到2x2+220x>6000移项、整理 得x2-110x+3000<0 [教师精讲] 因为△=100>0,所以方程x2-10x+30000有两个实数根x1=50x2=60,然后,画出二次函数 y=x2-10x+3000由图象得不等式的解集为{x50<x<60}因为只能取整数值,所以,当这条 摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时,这家工厂能够获得 6000元以上的收益 知识拓展] 【例3】解不等式(x-1)(x+4)<0 思路一:利用前节的方法求解 思路二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号, x-1>0,[x-1<0 原不等式的解集是下面两个不等式组 的解集的并集,即 x+4<0|x+4>0 x-1>0 x-1<0 U =U{x-4<x<1}={x-4<x<1}.书写时可按下列格式 x+4<0 x+4>0 x-1>0 解:∵(x-1)(x+4)<0分 或 x∈或-4<x<1-4<x<1, 4<0|x+4>0 原不等式的解集是{x-4<x<1} 思路三:由于不等式的解与相应方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表 示出来即可求出不等式的解集 解:①求根:令(x-1)x+4)=0,解得x(从小到大排列)分别为4,1,这两根将x轴分为三
1.完成第 90 页的练习. 2.完成第 90 页习题 3.2 第 1 题. 板书设计 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 多媒体演示区 一元二次不等式概念 一元二次不等式解题步骤 例题 3.2 一元二次不等式的解法 第 2 课时 教学过程 推进新课 师 因此这个问题实际就是解不等式 x 2+9x-7 110＞0 的问题.因为 Δ＞0,方程 x 2+9x-7 110=0 有两个实数根，即 x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，画出二次函数 y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式 的解集为{x|x＜-88.94 或 x＞79.94}. 在这个实际问题中 x＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94 km/h. 师 【例 2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数 量 x（辆）与创造的价值 y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个 星期内利用这条流水线创收 6 000 元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 生 设在一星期内大约应该生产 x 辆摩托车.根据题意，能得到-2x2+220x＞6 000.移项、整理 得 x 2 -110x+3 000＜0. ［教师精讲］ 因为 Δ=100＞0，所以方程 x 2 -110x+3 000=0 有两个实数根 x1=50,x2=60,然后，画出二次函数 y=x 2 -110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条 摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51 到 59 辆之间时，这家工厂能够获得 6 000 元以上的收益. ［知识拓展］ 【例 3】 解不等式(x-1)(x +4)＜0. 思路一：利用前节的方法求解. 思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号， ∴原不等式的解 集是下面 两个不等式 组 + − 4 0 1 0, ＜ ＞ x x 与 + − 4 0 1 0 ＞ ＜ x x 的解集的并集，即 + − 4 0 1 0 ＜ ＞ x x x = + − 4 0 1 0 ＞ ＜ x x U x ∪{x|-4＜x＜1}={x|-4＜x＜1}.书写时可按下列格式： 解：∵(x-1)(x+4)＜0 + − 4 0 1 0 ＜ ＞ x x 或 + − 4 0 1 0 ＞ ＜ x x x∈ 或-4＜x＜1 -4＜x＜1， ∴原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}. 思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表 示出来即可求出不等式的解集. 解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得 x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将 x 轴分为三