典例]解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0 解方程x2+(1-axa=0的解为x=-1,x=a,函数y=x2+(1-a)x-a的图象 开口向上,则当a<-1时,原不等式解集为{xa<x<-1} 当a=一1时,原不等式解集为 当a>-1时,原不等式解集为{-1<x<l} 类题通店 解含参数的一元二次不等式时的注意点 (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根备用公式,则应对判别式A进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论 活学活用 设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0 解:(1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x2,即原不等式的解集为{xx>2} (2)当a≠0时,方程ax2+(1-2x-2=0的两根分别为2和、! ①当∝<一时,解不等式得一<x<2,即原不等式的解集为 <x<2} ②当a=一时,不等式无解,即原不等式的解集为8; ③当-<a<0时,解不等式得2<<-,即原不等式的解集为x2< ④当m>0时,解不等式得x<一或x>2,即原不等式的解集 或x>2 多练提能,熟巧1 课后层级训练,步步提升能力 层级一学业水平达标 1.不等式6x2+x-2≤0的解集为() ≤x≤ Bxx≤一或≥ Dxx≤ 解析:选A因为6x2+x-2≤0分(2x-1)(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为 设-1,则关于x的不等式小-0的解集为()
[典例] 解关于 x 的不等式 x 2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程 x 2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数 y＝x 2＋(1－a)x－a 的图象 开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 解含参数的一元二次不等式时的注意点 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． [活学活用] 设 a∈R，解关于 x 的不等式 ax2＋(1－2a)x－2>0. 解：(1)当 a＝0 时， 不等式可化为 x－2>0，解得 x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}． (2)当 a≠0 时，方程 ax2＋(1－2a)x－2＝0 的两根分别为 2 和－1 a . ①当 a<－ 1 2 时，解不等式得－1 a <x<2，即原不等式的解集为 x － 1 a <x<2 ； ②当 a＝－ 1 2 时，不等式无解，即原不等式的解集为∅； ③当－1 2 <a<0 时，解不等式得 2<x<－ 1 a ，即原不等式的解集为 x 2<x<－ 1 a ； ④当 a>0 时，解不等式得 x<－ 1 a 或 x>2，即原不等式的解集为 x x<－ 1 a 或x>2 . 层级一 学业水平达标 1．不等式 6x 2＋x－2≤0 的解集为( ) A. x － 2 3 ≤x≤ 1 2 B. x x≤－ 2 3 或x≥ 1 2 C. x x≥ 1 2 D. x x≤－ 2 3 解析：选 A 因为 6x 2＋x－2≤0⇔(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为 x － 2 3 ≤x≤ 1 2 . 2．设 a<－1，则关于 x 的不等式 a(x－a) x－ 1 a <0 的解集为( )
或 B. xlr>a =或 解析折:选A:-1,:a--)0x-(-D0又 l,>a,∴x 或x<a 3.在R上定义运算⊙:Ob=ab+2a+b,则满足x(x-2)0的实数x的取值范围 为() (0,2) (-2,1) (-∞,-2)U(1,+∞) 解析:选B由a⊙b=ab+2a+b,得x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0, 所以一2<x<1 4已知一元二次不等式/0的解集-0或。号,则10的解集为 A.{x<-1或xlg2} B.{x-1<xg2} C. xbr>-lg 2 D. rkr<-Ig 2) 解析:选D八(x)<0的解集为x|x<0或x>2 所以)>0的解集为1|0<x ∴0<10<xg、,即x<-lg2. 5.函数=6-的定义域为() A.I-7,1 B.(-7,1) C.(-∞,一7U,+∞) (-∞,-7U(1,+∞) 解析:选B由7-6x-x2>0,得x2+6x-7<0,即(x+7(x-1)<0,所以-7<x<1,故 选B 6.不等式-x2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 解析:先把原不等式可化为x2+3x-4<0,再把左式分解因式得(x-1)(x+4)<0,所以 不等式的解集为(-4,1) 答案:(-4,1) 7.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0的图象与x轴的两个交点为(-1,0)和(30),则不等 式ax2+bx+c<0的解集是
A. x x<a或x> 1 a B．{x|x>a} C. x x>a或x< 1 a D. x x< 1 a 解析：选 A ∵a<－1，∴a(x－a)· x－ 1 a <0⇔(x－a)· x－ 1 a >0.又 a<－1，∴ 1 a >a，∴x> 1 a 或 x<a. 3．在 R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足 x⊙(x－2)<0 的实数 x 的取值范围 为( ) A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 解析：选 B 由 a⊙b＝ab＋2a＋b，得 x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x 2＋x－2<0， 所以－2<x<1. 4．已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 x x<0或x> 1 2 ，则 f(10x )>0 的解集为( ) A．{x|x<－1 或 x>lg 2} B．{x|－1<x<lg 2} C．{x|x>－lg 2} D．{x|x<－lg 2} 解析：选 D f(x)<0 的解集为 x x<0或x> 1 2 ， 所以 f(x)>0 的解集为 x 0<x< 1 2 ， ∴0<10x< 1 2 ∴x<lg 1 2 ，即 x<－lg 2. 5．函数 y＝ 1 7－6x－x 2 的定义域为( ) A．[－7,1] B．(－7,1) C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞) 解析：选 B 由 7－6x－x 2>0，得 x 2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故 选 B. 6．不等式－x 2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：先把原不等式可化为 x 2＋3x－4<0，再把左式分解因式得(x－1)(x＋4)<0，所以 不等式的解集为(－4,1)． 答案：(－4,1) 7．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与 x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等 式 ax2＋bx＋c<0 的解集是________．