第三章不等式 3一元二次不等式及其解法 第3课时一元二次不等式解法(习题课) 高效演练知能提升 A级基础巩固 、选择题 1.不等式x-1)x+2≥0的解集是() {xx>1} B.{xx≥1} C.{xx≥1或x=-2}D.{xx≤-2或x=1} 解析:x-1)x+2≥0, x-1≥0, 所以 或x=-2 x+2≥0 →x≥1或x=-2,故选C 答案:C 2.若集合A={xax2-ax+1<}=o,则实数a的值的集合是 A.{a10<a<4 B.{a0≤ax4} C.{a|0<a≤4} {a0≤a≤4} 解析:因为ax2-ax+1<0无解,当a=0的显然正确; a>0 a>0 当a≠0时,则 =0≤a≤4. A≤0 4a≤0 综上知,0≤a≤4选D 答案:
第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第 3 课时 一元二次不等式解法（习题课） A 级 基础巩固 一、选择题 1．不等式(x－1) x＋2≥0 的解集是( ) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1 或 x＝－2} D．{x|x≤－2 或 x＝1} 解析：(x－1) x＋2≥0， 所以 x－1≥0， x＋2≥0 或 x＝－2， ⇒x≥1 或 x＝－2，故选 C. 答案：C 2．若集合 A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的值的集合是 ( ) A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4} 解析：因为 ax2－ax＋1<0 无解，当 a＝0 的显然正确； 当 a≠0 时，则 a>0， Δ≤0 ⇒ a>0， a 2－4a≤0 ⇒0≤a≤4. 综上知，0≤a≤4.选 D. 答案：D
3 3.已知集合M=x19,N体≤-3,则集合≥ 等于() A.M∩N B. MUN C. CR(MOM) D. CR(MUN 解析:因为M={x-3x<1},N={x≤-3}, 所以MUN={xx<1},故CR(MUM={≥1},选D 答案:D 4.已知一元二次不等式/x)<0的解集为x|x<-1或x>2,则 f(10)>0的解集为() A. xkr<-1 Ex>lg2) B. xl-1<x<lg 2) C.{xx>-l2} D.{xx<-g2} 解析折:由题意知,元二次不等式/>0的解集为-15 而109)>0,所以-1<10<,解得x<g,即x<-g2. 答案 5.对任意a∈|-1,1,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒 大于零,则x的取值范围是() B.x<1或x>3 D.x<1或x2 解析:x)=x2+(a-4x+4-2m>0,a∈[-1,1恒成立→(x-2)a +x2-4x+4>0,a∈-1,1恒成立
3．已知集合 M＝ x x＋3 x－1 <0 ，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1} 等于( ) A．M∩N B．M∪N C．∁R(M∩N) D．∁R(M∪N) 解析：因为 M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤－3}， 所以 M∪N＝{x|x<1}，故∁R(M∪N)＝{x|x≥1}，选 D. 答案：D 4．已知一元二次不等式 f(x)＜0 的解集为 x x＜－1或x＞ 1 2 ，则 f(10x )＞0 的解集为( ) A．{x|x＜－1 或 x＞lg 2} B．{x|－1＜x＜lg 2} C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2} 解析：由题意知，一元二次不等式 f(x)＞0 的解集为 x －1＜x＜ 1 2 . 而 f(10x )＞0，所以－1＜10x＜ 1 2 ，解得 x＜lg 1 2 ，即 x＜－lg 2. 答案：D 5．对任意 a∈[－1，1]，函数 f(x)＝x 2＋(a－4)x＋4－2a 的值恒 大于零，则 x 的取值范围是( ) A．1<x<3 B．x<1 或 x>3 C．1<x<2 D．x<1 或 x>2 解析：f(x)＝x 2＋(a－4)x＋4－2a>0，a∈[－1，1]恒成立⇒(x－2)a ＋x 2－4x＋4>0，a∈[－1，1]恒成立．
(x-2)×(-1)+x2-4x+4>0 所以 (x-2)×1+x2-4x+4>0, 解得3<x或x<1.选B. 答案:B 、填空题 6.若不等式a2-1)x2-(a-1x-1<0的解集为R,则实数a的 取值范围是 答案:-,1 ar-1 7.已知关于x的不等式 +r0的解集是(-, 1)U +∞,则 2 ax 解析:由于不等式0的解集是( x+1 2 故-应是ax-1=0的根,所以a=-2 答案:-2 8.关于x的方程+x+m-1=0有一个正实数根和一个负实数 根,则实数m的取值范围是 解析:着方程》+x+m-1=0有一个正实根和一个负实根,则 0 m<0, 有 或 m-1<0,m-1>0. 所以0<m<1或
所以 （x－2）×（－1）＋x 2－4x＋4>0， （x－2）×1＋x 2－4x＋4>0， 解得 3<x 或 x<1.选 B. 答案：B 二、填空题 6．若不等式(a 2－1)x 2－(a－1)x－1<0 的解集为 R，则实数 a 的 取值范围是________． 答案： － 3 5 ，1 7 ． 已知 关 于 x 的不 等式ax－1 x＋1 <0 的 解集 是 (－ ∞， － 1)∪ － 1 2 ，＋∞ ，则 a＝________． 解析：由于不等式 ax－1 x＋1 <0 的解集是(－∞，－1)∪ － 1 2 ，＋∞ ， 故－1 2 应是 ax－1＝0 的根，所以 a＝－2. 答案：－2 8．关于 x 的方程x 2 m ＋x＋m－1＝0 有一个正实数根和一个负实数 根，则实数 m 的取值范围是________． 解析：若方程x 2 m ＋x＋m－1＝0 有一个正实根和一个负实根，则 有 m＞0， m－1＜0， 或 m＜0， m－1＞0. 所以 0＜m＜1 或∅
答案:(0,1) 、解答题 9.已知一元二次不等式m-2x2+2(m-2)x+4>0的解集为R 求m的取值范围. 解:因为y=(m-2)x2+2(m-2)x+4为二次函数,所以m≠2 因为二次函数的值恒大于零,即m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解 集为R. m-2>0 m>2 所以 A<0 4(m-2)2-16(m-2)<0 m>2 解得: 2<m<6. 所以m的取值范围为{m2<m<6} 10.已知几x)=-3x2+a(6-a)x+3,解关于a的不等式f(1)≥0. 解:(1)=-3+(6-a)+3=m(6-a),因为f(1)≥0,所以a(6 a)≥0,a(a-6)≤0, 方程a(a-6)=0有两个不等实根a1=0,a2=6, 由y=a(a-6的图象,得不等式(1)≥0的解集为{a0≤a≤6} B级能力提升 1.若实数a,日为方程x2-2m+m+6=0的两根,则(a-1)2 (-1)2的最小值为() A.8B.14C.-14n49
答案：(0，1) 三、解答题 9．已知一元二次不等式(m－2)x 2＋2(m－2)x＋4＞0 的解集为 R. 求 m 的取值范围． 解：因为 y＝(m－2)x 2＋2(m－2)x＋4 为二次函数，所以 m≠2. 因为二次函数的值恒大于零，即(m－2)x 2＋2(m－2)x＋4＞0 的解 集为 R. 所以 m－2＞0， Δ＜0， 即 m＞2， 4（m－2）2－16（m－2）＜0， 解得： m＞2， 2＜m＜6. 所以 m 的取值范围为{m|2＜m＜6}． 10．已知 f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x＋3，解关于 a 的不等式 f(1)≥0. 解：f(1)＝－3＋a(6－a)＋3＝a(6－a)，因为 f(1)≥0，所以 a(6－ a)≥0，a(a－6)≤0， 方程 a(a－6)＝0 有两个不等实根 a1＝0，a2＝6， 由 y＝a(a－6)的图象，得不等式 f(1)≥0 的解集为{a|0≤a≤6}． B 级 能力提升 1．若实数 α，β为方程 x 2－2mx＋m＋6＝0 的两根，则(α－1)2 ＋(β－1)2的最小值为( ) A．8 B．14 C．－14 D．－ 49 4
解析:因为△=(-2m2-4(m+6)≥0, 所以m2-m-6≥0,所以m≥3或m≤-2 (a-1)2+(-1)2=a2+P-2(a+/)+2=(a+p)2-2B-2(a+B) 3249 +2=(2m)2-2(m+6)-2(2m)+2=4m2-6m-10=4m 因 为m≥3或m-2,所以当m=3时,(a-1)2+(-1)2取最小值8 答案:A 2.有纯农药液一桶,倒出8升后用水补满,然后又倒出4升后 再用水补满,此时桶中的农药不超过容积的28%,则桶的容积的取 值范围是 解析:设桶的容积为x升,那么第一次倒出8升纯农药液后,桶 内还有x-8)(x>8升纯农药液,用水补满后,桶内纯农药液的浓度 -8 4(x-8) 为第〓次又倒出4升药液,则倒出的纯农药液为 升 此时桶内有纯农药液x-8 4(x-8) 4(x-8) 依题意,得x-8- ≤28% x 由于x>0,因而原不等式化简为9x2-150x+400≤0, 即(3x-10)(3x-40)≤0 解得3≤x 40 3 40 又x>8,所以8<x≤ 3
解析：因为 Δ＝(－2m) 2－4(m＋6)≥0， 所以 m2－m－6≥0，所以 m≥3 或 m≤－2. (α－1)2＋(β－1)2＝α 2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β) 2－2αβ－2(α＋β) ＋2＝(2m) 2－2(m＋6)－2(2m)＋2＝4m2－6m－10＝4 m－ 3 4 2 － 49 4 ，因 为 m≥3 或 m≤－2，所以当 m＝3 时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值 8. 答案：A 2．有纯农药液一桶，倒出 8 升后用水补满，然后又倒出 4 升后 再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的 28%，则桶的容积的取 值范围是________． 解析：设桶的容积为 x 升，那么第一次倒出 8 升纯农药液后，桶 内还有(x－8)(x＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度 为 x－8 x .第二次又倒出 4 升药液，则倒出的纯农药液为 4（x－8） x 升， 此时桶内有纯农药液 x－8－ 4（x－8） x 升． 依题意，得 x－8－ 4（x－8） x ≤28%·x. 由于 x＞0，因而原不等式化简为 9x 2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 解得10 3 ≤x≤ 40 3 . 又 x＞8，所以 8＜x≤ 40 3