第三章不等式 32一元二次不等式及其解法 32一元二次不等式及其解法(第2课时) 学案设计+++++++++++++++++++++++++++++·(设计者:苏洪瞢) 学习目标 1巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系进一步熟悉一元二次不等式的 解法 2会解含参数的一元二次不等式 3能应用一元二次不等式解决简单问题 合作学习 设计问题创设情境 题组一:再现型题组 解答下列各题: (1)已知二次函数(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解 元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是 (2)若关于x的不等式x2+2x+m>0的解集为R则实数m的取值范围是 (3)已知a<0,则关于x的不等式(xa)(x+a)<0的解集为 (4)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x1x<2},则a+b 、信息交流揭示规律 问题1:二次函数f(x)=ax2+bx+ca0)、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次不等 ax2+bx+c>0(a≠0)之间有怎样的关系? 问题2通过前面的学习思考确定一元二次不等式的解集的因素有哪些? 三、运用规律,解决问题 题组二提高型题组 【例1】已知关于x的不等式ax2+x+2>0 (1)若该不等式对任意实数x恒成立求实数a的取值范围; (2)若该不等式的解集为{x-1<x<l},求实数t的值
第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 3.2 一元二次不等式及其解法(第 2 课时) 学习目标 1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟悉一元二次不等式的 解法. 2.会解含参数的一元二次不等式. 3.能应用一元二次不等式解决简单问题. 合作学习 一、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 解答下列各题: (1)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 是 ;一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 . (2)若关于 x 的不等式 x 2+2x+m>0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是 . (3)已知 a<0,则关于 x 的不等式(x-a)(x+a)<0 的解集为 . (4)若关于 x 的不等式 x 2+ax+b<0 的解集为{x|1<x<2},则 a+b= . 二、信息交流,揭示规律 问题 1:二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次不等 式 ax2+bx+c>0(a≠0)之间有怎样的关系? 问题 2:通过前面的学习思考:确定一元二次不等式的解集的因素有哪些? 三、运用规律,解决问题 题组二:提高型题组 【例 1】已知关于 x 的不等式 ax2+x+2>0. (1)若该不等式对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若该不等式的解集为{x|-1<x<t},求实数 t 的值
【例2】已知a>0,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0 【例3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkmh有如下的关 系 在一次交通事故中测得这种车的刹车距离大于395m,那么这辆汽车刹车前的速度是多 少?(精确到0.01km/h) 四、变式训练深化提高 题组三:反馈型题组 变式训练1:若不等式ax2+x+2>0对任意的x∈(-1,2)恒成立求实数a的取值范围 变式训练2若将例2中的条件“a>0换为a∈R”,再去求解 五、反思小结观点提炼 问题3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想? 参考答案 、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 (1)0,4{x0<x<4} (2)(1,+∞) (3)(a,a) 、信息交流,揭示规律 问题1:规律一一元二次方程和一元二次不等式都可以看做是相应二次函数的特殊情形 元二次方程的解是相应二次函数的函数值等于零时自变量的取值也就是二次函数图象与 轴交点的横坐标而一元二次不等式的解集是相应的二次函数的函数值大于零时,自变量的 取值集合,也就是函数图象在x轴上方的部分对应的横坐标的取值集合. 元二次不等式解集的情形与一元二次不等式的根的个数的情形相对应当一元二次不 等式ax2+bx+c>0(a40)的解集为{xx<x或x>x2}时,可以得到a>0,且xx2是一元二次方程
【例 2】已知 a>0,解关于 x 的不等式 ax2 -(a+1)x+1<0. 【例 3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关 系:s= 1 20x+ 1 180x 2 . 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多 少?(精确到 0.01km/h) 四、变式训练,深化提高 题组三:反馈型题组 变式训练 1:若不等式 ax2+x+2>0 对任意的 x∈(-1,2)恒成立,求实数 a 的取值范围. 变式训练 2:若将例 2 中的条件“a>0”换为“a∈R”,再去求解. 五、反思小结,观点提炼 问题 3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想? 参考答案 一、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 (1)0,4 {x|0<x<4} (2)(1,+∞) (3)(a,-a) (4)-1 二、信息交流,揭示规律 问题 1:规律一:一元二次方程和一元二次不等式都可以看做是相应二次函数的特殊情形. 一元二次方程的解是相应二次函数的函数值等于零时,自变量的取值.也就是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标.而一元二次不等式的解集是相应的二次函数的函数值大于零时,自变量的 取值集合,也就是函数图象在 x 轴上方的部分对应的横坐标的取值集合. 一元二次不等式解集的情形与一元二次不等式的根的个数的情形相对应.当一元二次不 等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<x1 或 x>x2}时,可以得到 a>0,且 x1,x2 是一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a0)的解集为{xx1<x<x2}时,可以 得到a<0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个解 问題2:规律二首先是二次项系数a的符号;其次是相应一元二次方程的根的判别式 =b2-4ac的符号最后是相应一元二次方程的根总之,一元二次不等式的系数a,b,c决定了它 的解集因此,当系数a,b,c不确定时,往往按照上述三个方面的情形分类讨论 三、运用规律解决问题 题组二:提高型题组 例1】解(1)由题意=1.0 解得 (2)由题意,-1,是关于x的方程ax2+x+2=0的两根 -1+t= 所x解得 a=1,t=2 【例2】解不等式可化为x1(x)-0 ①当1.即a>1时不等式的解集为(1) ②当=1,即a=1时,不等式的解集为°; ③当21,即0a<1时不等式的解集为(1,) 综上所述当a>1时不等式的解集为,1)当a=1时,不等式的解集为当0<a<1时,不 等式的解集为(1) 【例3】解设这辆汽车刹车前的速度至少为xkm根据题意我们得到+1235 移项整理得x2+9x-7110>0, 显然A>0 方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-8894,x2≈79.94 所以不等式的解集为{xx-8894或x>79.94} 在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为7994km/h 四、变式训练深化提高 题组三:反馈型题组 变式训练1:解:方法一设fx)=ax2+x+2, ①当a≥0时,因为-1<x<2,所以x+2>0,故几(x)>0显然成立 2当a0时由二次函数图象知只需(120a+120 f(2)≥0,{4a+4≥0, 解得a≥-1,所以-1≤a<0. 综上可知实数a的取值范围是a≥-1 方法二①当x=0时不等式ax2+x+2>0显然成立此时a∈R ②当x0时,不等式ax2+x+2×0可以化为a>2(
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解;当一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x1<x<x2}时,可以 得到 a<0,且 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解. 问题 2:规律二:首先是二次项系数 a 的符号;其次是相应一元二次方程的根的判别式 Δ=b2 -4ac 的符号;最后是相应一元二次方程的根.总之,一元二次不等式的系数 a,b,c 决定了它 的解集.因此,当系数 a,b,c 不确定时,往往按照上述三个方面的情形分类讨论. 三、运用规律,解决问题 题组二:提高型题组 【例 1】解:(1)由题意,得{ 𝑎 > 0, 𝛥 = 1-8𝑎 < 0, 解得 a>1 8 . (2)由题意,-1,t 是关于 x 的方程 ax2+x+2=0 的两根, 所以{ -1 + 𝑡 = - 1 𝑎 , -1 × 𝑡 = 2 𝑎 , 解得 a=-1,t=2. 【例 2】解:不等式可化为 a(x-1)(𝑥- 1 𝑎 )<0, ①当 1 𝑎 <1,即 a>1 时,不等式的解集为( 1 𝑎 ,1); ②当 1 𝑎 =1,即 a=1 时,不等式的解集为⌀; ③当 1 𝑎 >1,即 0<a<1 时,不等式的解集为(1, 1 𝑎 ). 综上所述,当 a>1 时,不等式的解集为( 1 𝑎 ,1);当 a=1 时,不等式的解集为⌀;当 0<a<1 时,不 等式的解集为(1, 1 𝑎 ). 【例 3】解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意,我们得到 1 20x+ 1 180x 2>39.5. 移项整理得:x 2+9x-7110>0, 显然 Δ>0, 方程 x 2+9x-7110=0 有两个实数根,即 x1≈-88.94,x2≈79.94. 所以不等式的解集为{x|x<-88.94,或 x>79.94}. 在这个实际问题中 x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 四、变式训练,深化提高 题组三:反馈型题组 变式训练 1:解:方法一:设 f(x)=ax2+x+2, ①当 a≥0 时,因为-1<x<2,所以 x+2>0,故 f(x)>0 显然成立; ②当 a<0 时,由二次函数图象知,只需{ 𝑓(-1) ≥ 0, 𝑓(2) ≥ 0, 即{ 𝑎 + 1 ≥ 0, 4𝑎 + 4 ≥ 0, 解得 a≥-1,所以-1≤a<0. 综上可知,实数 a 的取值范围是 a≥-1. 方法二:①当 x=0 时,不等式 ax2+x+2>0 显然成立,此时 a∈R; ②当 x≠0 时,不等式 ax2+x+2>0 可以化为 a>-2( 1 𝑥 ) 2 − 1 𝑥
令1=则t∈(-∞,-1)U 由题意不等式a>-22-1在t∈(-∞-1)u(,+∞)时恒成立所以a≥-1 综上可知实数a的取值范围是[-1,+∞) 变式训练2解:①当a=0时,不等式的解集为(1,+∞) ②当a>0时,同例2; ③当a0时因为1,所以不等式的解集为()y(,+) 综上所述当a1时不等式的解集为(1)当a=1时不等式的解集为0当0a<1时不 等式的解集为(1)￥a0时不等式的解集为(,+)当a0时不等式的解集为(-)u 五、反思小结观点提炼 问题3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元二 次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想
令 t= 1 𝑥 ,则 t∈(-∞,-1)∪( 1 2 , + ∞). 由题意,不等式 a>-2t 2 -t 在 t∈(-∞,-1)∪( 1 2 , + ∞)时恒成立,所以,a≥-1. 综上可知,实数 a 的取值范围是[-1,+∞). 变式训练 2:解:①当 a=0 时,不等式的解集为(1,+∞); ②当 a>0 时,同例 2; ③当 a<0 时,因为1 𝑎 <1,所以,不等式的解集为(-∞, 1 𝑎 )∪(1,+∞). 综上所述,当 a>1 时,不等式的解集为( 1 𝑎 ,1);当 a=1 时,不等式的解集为⌀;当 0<a<1 时,不 等式的解集为(1, 1 𝑎 );当 a=0 时,不等式的解集为(1,+∞);当 a<0 时,不等式的解集为(-∞, 1 𝑎 )∪ (1,+∞). 五、反思小结,观点提炼 问题 3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元二 次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想