课题:一元二次函数、方程和不等式(1课时) 教学设计 1.教学内容解析 函数是中学数学的经络,函数思想贯穿中学数学教学的始终.本节课的内容是人教版九年级上 第二十六章《二次函数》后续探究—元二次数、元次程一元次不等式三个“二次” 之间的关系.通过一元二次函数的图象体会一元二次方程的根与函数图象和x轴的交点之间的 关系,一元一次不等式的解集与二次函数图象上的点的关系初步树立数形结合的思想观念.掌 握一元二次不等式的解法.培养学生的识图、画图、用图能力,体会类比,函数与方程,转 化,数形结合思想及普遍联系的辩证观 本节课是初高中衔接及数学必修5第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法的内容 从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸,同时它也与一元二次方程、一元二 次函数联系紧密,涉及的知识面较多.从思想层面看,本节课突出体现了类比与数形结合的 数学思想.同时一元二次不等式是解决函数定义域,值域等问题的重要工具,因此本节课在 整个中学数学中具有非常重要的地位和作用 根据以上分析,本节课的教学重点确定为 教学重点:一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系;一元二次不等式的解法 2.学生学情诊断 高一的学生已经掌握了一元一次函数、一元二次函数的图像与性质,已有数形结合思想, 会用图象说话.会解一元二次方程.对于新知识也充满着好奇心和强烈的求知欲望.因此,本节 课学生在教师的引导下,自主探究三个“二次”之间的关系并归纳一元二次不等式的解法,不仅 能巩固一元二次函数的图象和性质,而且对数形结合思想、一元二次函数模型的应用意识也 有一定的提高 根据以上分析,本节课的教学难点确定为 教学难点:一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系 3.教学标准设置 (1)通过回顾三个“一次”的关系,学生能自主探究得出三个“二次”的关系,并归纳出 解一元二次不等式的步骤,能将所学知识要点有机的联系在一起,能综合运用所学知识解决 实际问题 (2)通过生活中实际应用的例子,激发学生学习数学的兴趣,并培养从实际问题中抽象出 数学模型的能力 4.教学策略分析 义务教育《数学课程标准》指出“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有 的知识经验基础之上教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事教学活动的机会, 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,数学思想 和方法,获得广泛的数学活动经验”,初中高数学衔接课旨在帮助学生通过梳理初中所学知 识,为高中数学的学习做好知识和技能,方法和习惯,能力和素养等方面的准备.根据本节课 学习的内容特点,本节课主要采用“启发诱导”,“以形助数”的教学方法,充分调动学生
课题：一元二次函数、方程和不等式（1 课时） 一．教学设计 1.教学内容解析 函数是中学数学的经络，函数思想贯穿中学数学教学的始终.本节课的内容是人教版九年级上 第二十六章《二次函数》后续探究——一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三个“二次” 之间的关系.通过一元二次函数的图象体会一元二次方程的根与函数图象和 x 轴的交点之间的 关系，一元二次不等式的解集与二次函数图象上的点的关系.初步树立数形结合的思想观念.掌 握一元二次不等式的解法.培养学生的识图、画图、用图能力，体会类比，函数与方程，转 化，数形结合思想及普遍联系的辩证观. 本节课是初高中衔接及数学必修 5 第三章不等式 3.2 一元二次不等式及其解法的内容. 从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、一元二 次函数联系紧密，涉及的知识面较多.从思想层面看，本节课突出体现了类比与数形结合的 数学思想.同时一元二次不等式是解决函数定义域，值域等问题的重要工具，因此本节课在 整个中学数学中具有非常重要的地位和作用. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系；一元二次不等式的解法. 2．学生学情诊断 高一的学生已经掌握了一元一次函数、一元二次函数的图像与性质，已有数形结合思想， 会用图象说话.会解一元二次方程.对于新知识也充满着好奇心和强烈的求知欲望.因此，本节 课学生在教师的引导下，自主探究三个“二次”之间的关系并归纳一元二次不等式的解法，不仅 能巩固一元二次函数的图象和性质，而且对数形结合思想、一元二次函数模型的应用意识也 有一定的提高. 根据以上分析，本节课的教学难点确定为 教学难点：一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系. 3．教学标准设置 （1）通过回顾三个“一次”的关系，学生能自主探究得出三个“二次”的关系，并归纳出 解一元二次不等式的步骤，能将所学知识要点有机的联系在一起，能综合运用所学知识解决 实际问题； （2）通过生活中实际应用的例子，激发学生学习数学的兴趣，并培养从实际问题中抽象出 数学模型的能力. 4．教学策略分析 义务教育《数学课程标准》指出“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有 的知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事教学活动的机会， 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想 和方法，获得广泛的数学活动经验”.初中高数学衔接课旨在帮助学生通过梳理初中所学知 识，为高中数学的学习做好知识和技能,方法和习惯,能力和素养等方面的准备.根据本节课 学习的内容特点，本节课主要采用“启发诱导”,“以形助数”的教学方法，充分调动学生
积极参与探究.在学法的指导上注重学生直观影响,通过学生观察和讨论,自主探究,合作 学习,分散难点,让学生学会归纳总结,做到做一题,学一法,会一类,通一片 教学流程: 问题情境 探究新知 解决问题 动态生成 有效建构 二,课堂实录 1.探究新知 引言:通过电影《速度与激情7》中视频片段和图片引入 9 师:上课之前,我们来看一段视频(播放视频片段).这是电影《速度与激情7》中 个赛车的片段,然而,电影中的精彩在生活中往往难以复制.当车在弯道上行驶的时候,由 于向心力的作用,车速必须在一定的范围之内才能安全转弯.因此,弯道路段一般都有限速 要求,我们来看生活中的这样一个问题. 汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称 这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯 道上,甲和乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查 测得甲车的刹车距离不超过12m,乙车的刹车距离刚刚超过10m,又知甲和乙两种车型的刹 车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系: s甲=0.1x+001x,s=005x+0005x2 问:甲,乙两车谁违章行驶了? 师:如果你是警察,你以什么标准来判断甲和乙谁违章了 生:可以根据汽车的刹车距离分别计算出甲乙的车速范围,谁超过了40km/h,谁就违 章了 师:我们把这个问题抽象成数学问题,就是解不等式 0.1x+001x2≤12,005x+0.005x2>10 评析:以学生感兴趣、熟悉的知识背景切入本节课,以视频演示烘托气氛,提高了学生 主动参与学习的积极性 师:像这样含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式我们称为一元二次 不等式.我们在初中已经学过了一元二次函数,一元二次方程以及它们之间的关系,如何利 用这些已有的知识来解一元二次不等式,就是我们这节课要学习的内容,一元二次函数,方 程和不等式(板书课题:一元二次函数,方程和不等式).在解决这个问题之前,我们先从 我们熟悉的一元一次函数,一元一次方程和一元一次不等式入手,来看看这三个“一次”之 间的关系.请大家看导学案上的探究
积极参与探究.在学法的指导上注重学生直观影响，通过学生观察和讨论，自主探究，合作 学习，分散难点，让学生学会归纳总结，做到做一题，学一法，会一类，通一片. 教学流程： 二．课堂实录 1. 探究新知 引言：通过电影《速度与激情 7》中视频片段和图片引入. 师：上课之前，我们来看一段视频（播放视频片段）.这是电影《速度与激情 7》中一 个赛车的片段，然而，电影中的精彩在生活中往往难以复制.当车在弯道上行驶的时候，由 于向心力的作用，车速必须在一定的范围之内才能安全转弯.因此，弯道路段一般都有限速 要求，我们来看生活中的这样一个问题. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称 这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为 40km/h 的弯 道上，甲和乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查 测得甲车的刹车距离不超过 12m，乙车的刹车距离刚刚超过 10m，又知甲和乙两种车型的刹 车距离 s m( ) 与车速 x km h ( / ) 之间分别有如下关系： 2 2 s x x s x x 甲 = + = + 0.1 0.01 , 0.05 0.005 乙 ． 问：甲，乙两车谁违章行驶了？ 师：如果你是警察，你以什么标准来判断甲和乙谁违章了？ 生：可以根据汽车的刹车距离分别计算出甲乙的车速范围，谁超过了 40km/h，谁就违 章了． 师：我们把这个问题抽象成数学问题，就是解不等式 2 2 0.1 0.01 12,0.05 0.005 10 x x x x + + . 评析：以学生感兴趣、熟悉的知识背景切入本节课，以视频演示烘托气氛，提高了学生 主动参与学习的积极性. 师：像这样含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式我们称为一元二次 不等式.我们在初中已经学过了一元二次函数，一元二次方程以及它们之间的关系，如何利 用这些已有的知识来解一元二次不等式，就是我们这节课要学习的内容，一元二次函数，方 程和不等式（板书课题：一元二次函数，方程和不等式）.在解决这个问题之前，我们先从 我们熟悉的一元一次函数，一元一次方程和一元一次不等式入手，来看看这三个“一次”之 间的关系.请大家看导学案上的探究一. 问题情境 探究新知 解决问题 动态生成 有效建构
评析:由同学们熟悉的三个“一次”的关系入手,类比归纳,为引出后面三个“二次 的关系作铺垫. 探究一.三个“一次”的关系 (1)函数y=x-3的图象与x轴交点的坐标为 方程x-3=0的解为 (2)当x取时,y=0 当x取时,y>0 当x取 时,y<0 (3)不等式x-3>0的解集为 不等式x-3<0的解集为 一元一次函数图象与x轴交点的即为相应一元一次方程的 时也是相应一元一次不等式解集区间的 师:(学生回答完成这三个问题)注意这里的解集一定要写成集合或者区间的形式.接下 来,我们来看看这三个“一次”之间的关系.先看一元一次函数与一元一次方程之间的关系 这里函数图象与x轴交点的坐标大家是如何求得的? 生:已知纵坐标为零,令y=0,即方程x-3=0的解即为所求 师:很好.那也就是说,函数图象与x轴交点的横坐标与相应的一元一次方程的解是相 同的我们再来看它们与一元一次函数之间的关系.不等式x-3>0的解集即函数图象在x 轴上方的图象上的点对应的x的取值范围,不等式x-3<0的解集即函数图象在x轴下方的 图象上的点对应的x的取值范围.那么,不等式解集区间的端点值也就是函数图象与x轴交 点的横坐标. 师生共同分析归纳得出结论:函数图象与x轴交点的横坐标,即为相应的一元一次方程 的解,同时也是相应的一元一次不等式解集区间的端点值 师:这是三个“一次”的关系,函数图象是联系三个“一次”的纽带.类比一次的情形, 我们来看看一元二次函数,一元二次方程与一元二次不等式,即三个“二次”之间的关系 评析:回顾初中学过的一元一次方程,一元一次函数和一元一次不等式,并建立三个 次”之间的联系,为后面三个“二次”的关系知识迁移作准备 探究二三个“二次”的关系 预备知识:1.一元二次方程的解法;(配方法,因式分解法,求根公式法) 2.一元二次函数图象的画法.(描点法) 点评:回顾初中学过的一元二次方程的解法和一元二次函数图象的画法,为后面探究三 个“二次”的关系以及解一元二次不等式作准备 师:接下来,以函数y=x2-x-6,请同学们完成导学案上探究二的这三个问题 (1)函数y=x2-x-6的图象与x轴交点的坐标为,方程x2-x-6=0的 解为
评析：由同学们熟悉的三个“一次”的关系入手，类比归纳，为引出后面三个“二次” 的关系作铺垫. 探究一.三个“一次”的关系 （1）函数 y = x − 3 的图象与 x 轴交点的坐标为______， 方程 x −3 = 0 的解为_______. （2）当 x 取________时， y = 0. 当 x 取________时， y 0. 当 x 取________时， y 0 . （3）不等式 x −3 0 的解集为___________，不等式 x −3 0 的解集为___________. 一元一次函数图象与 x 轴交点的___________即为相应一元一次方程的___________，同 时也是相应一元一次不等式解集区间的___________. 师：（学生回答完成这三个问题）注意这里的解集一定要写成集合或者区间的形式.接下 来，我们来看看这三个“一次”之间的关系.先看一元一次函数与一元一次方程之间的关系. 这里函数图象与 x 轴交点的坐标大家是如何求得的？ 生：已知纵坐标为零，令 y = 0 ，即方程 x −3 = 0 的解即为所求. 师：很好.那也就是说，函数图象与 x 轴交点的横坐标与相应的一元一次方程的解是相 同的.我们再来看它们与一元一次函数之间的关系.不等式 x −3 0 的解集即函数图象在 x 轴上方的图象上的点对应的 x 的取值范围,不等式 x −3 0 的解集即函数图象在 x 轴下方的 图象上的点对应的 x 的取值范围.那么，不等式解集区间的端点值也就是函数图象与 x 轴交 点的横坐标. 师生共同分析归纳得出结论：函数图象与 x 轴交点的横坐标，即为相应的一元一次方程 的解，同时也是相应的一元一次不等式解集区间的端点值. 师：这是三个“一次”的关系，函数图象是联系三个“一次”的纽带.类比一次的情形， 我们来看看一元二次函数，一元二次方程与一元二次不等式，即三个“二次”之间的关系. 评析：回顾初中学过的一元一次方程，一元一次函数和一元一次不等式，并建立三个“一 次”之间的联系，为后面三个“二次”的关系知识迁移作准备. 探究二.三个“二次”的关系 预备知识：1.一元二次方程的解法；（配方法，因式分解法，求根公式法） 2.一元二次函数图象的画法.（描点法） 点评：回顾初中学过的一元二次方程的解法和一元二次函数图象的画法，为后面探究三 个“二次”的关系以及解一元二次不等式作准备. 师：接下来，以函数 6 2 y = x − x − ，请同学们完成导学案上探究二的这三个问题. （1）函数 6 2 y = x − x − 的图象与 x 轴交点的坐标为____________，方程 6 0 2 x − x − = 的 解为_______； o 3 −3 x y y=x-3
(2)当x取 ,y= 当x取 时时时 当x取 (3)不等式x2-x-6>0的解集为 不等式x2-x-6<0的解集为 元二次函数图象与x轴交点的 即为相应的一元二次方程的 同时也是相应的一元二次不等式解集区间的 学生通过与三个“一次”的关系类比,自主探究归纳得出结论 (1)一元二次函数图象与x轴交点的横坐标,即为相应一元二次方程的解,同时也是 元二次不等式解集区间的端点值 (2)不等式x2-x-6<0的解集即函数图象在x轴下方的图象上的点对应的x的取值 范围;不等式x2-x-6>0的解集即函数图象在x轴上方的图象上的点对应的x的取值范 评析:通过类比三个“一次”的关系,得三个“二次”的关系通过一元二次函数的图 象把三个“二次”联系起来,并让学生体会运用三个“二次”的关系来解一元二次不等式的 思路.渗透数形结合的数学思想方法 师:通过函数图象在一元二次函数,一元二次方程和一元二次不等式之间建立联系,回 顾刚才得到一元二次不等式解集的过程,请大家思考,运用三个“二次”的关系来解一元二 次不等式的思路是怎样的 生:先通过计算判别式来判断相应一元二次方程根的情况,然后根据根的情况画出一元 二次函数的图象,最后结合函数图象及不等号的方向得不等式的解集 师:如果我将函数图象变化一下,大家看相应的一元二次不等式的解集有什么变化?(几 何画板演示:将一元二次函数的图象变化分别为与x轴只有唯一的交点和无交点的情形,同 学们观察函数图象说出相应一元二次不等式的解集).对于不同的解一元二次不等式的类型 我们来看导学案上的探究三 探究三.解下列不等式 (1)x2-x-6> (2)x2-x-6>x-9;(3)x2-x-6≤2x2-10 评析:这三个不等式代表了不等式的三种不同类型,让学生在动手解决问题的过程中, 由特殊到一般,体会三个“二次”之间的关系,并尝试归纳出解一元二次不等式的具体步骤 师:接下来我们全班同学分为三个小组,来分别完成这三个小题.每一个小组的同学先 完成本小组的任务,然后相互之间交流讨论说说各自的做法,每一组推荐一个小组长到黑板 上来展示本组的成果.做完这些之后再做另外的两道题.在作函数图象的过程中要注意作图 的规范性.我们来比一比看哪一组做得最完整,最规范
（2）当 x 取________时， y = 0. 当 x 取________时， y 0. 当 x 取________时， y 0 . （3）不等式 6 0 2 x − x − 的解集为___________， 不等式 6 0 2 x − x − 的解集为___________. 一元二次函数 图象 与 x 轴交点的___________，即 为相 应的一 元二次 方程的 ___________，同时也是相应的一元二次不等式解集区间的___________. 学生通过与三个“一次”的关系类比，自主探究归纳得出结论： （1）一元二次函数图象与 x 轴交点的横坐标，即为相应一元二次方程的解，同时也是 一元二次不等式解集区间的端点值； （2）不等式 6 0 2 x − x − 的解集即函数图象在 x 轴下方的图象上的点对应的 x 的取值 范围；不等式 6 0 2 x − x − 的解集即函数图象在 x 轴上方的图象上的点对应的 x 的取值范 围. 评析：通过类比三个“一次”的关系，得三个“二次”的关系.通过一元二次函数的图 象把三个“二次”联系起来，并让学生体会运用三个“二次”的关系来解一元二次不等式的 思路.渗透数形结合的数学思想方法. 师：通过函数图象在一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间建立联系，回 顾刚才得到一元二次不等式解集的过程，请大家思考，运用三个“二次”的关系来解一元二 次不等式的思路是怎样的？ 生：先通过计算判别式来判断相应一元二次方程根的情况，然后根据根的情况画出一元 二次函数的图象，最后结合函数图象及不等号的方向得不等式的解集. 师：如果我将函数图象变化一下，大家看相应的一元二次不等式的解集有什么变化？（几 何画板演示:将一元二次函数的图象变化分别为与 x 轴只有唯一的交点和无交点的情形，同 学们观察函数图象说出相应一元二次不等式的解集）.对于不同的解一元二次不等式的类型， 我们来看导学案上的探究三. 探究三.解下列不等式 （1） 4 25 6 2 x − x − − ；（2） 6 9 2 x − x − x − ；（3） - - 6 2 10 2 2 x x x − 评析：这三个不等式代表了不等式的三种不同类型，让学生在动手解决问题的过程中， 由特殊到一般，体会三个“二次”之间的关系，并尝试归纳出解一元二次不等式的具体步骤. 师：接下来我们全班同学分为三个小组，来分别完成这三个小题.每一个小组的同学先 完成本小组的任务，然后相互之间交流讨论说说各自的做法，每一组推荐一个小组长到黑板 上来展示本组的成果.做完这些之后再做另外的两道题.在作函数图象的过程中要注意作图 的规范性.我们来比一比看哪一组做得最完整，最规范. x y
解析:(1)原不等式可化为:x2-x+->0 由于△=0,方程x2-x+=0有两个相等的实 数根x 而y=x2-x+的图象开口向上,所以原不等式 的解集为{x|x≠ 师:我们回过头来看整个解题过程,可细化为这 样的四个步骤(PPT展示四个步骤),你能不能把这里 的每一个步骤用一个字来概括? 生:(思考讨论得出结论)(1)化:(2)根:(3)图;(4)解. (2)原不等式移项整理可化为 x2-2x+3>0 由于△<0,方程x2-2x+3=0无实根 而y=x2-2x+3的图象开口向上,所以原 不等式的解集为R (3)原不等式移向整理可化为-x2-x+4≤0 即x2+x-4≥0 由于△>0,方程x2+x-4=0有两个不等的 实根x1= 而y=x2+x-4的图象开口向上,所以原不 等式的解集为
解析：（1）原不等式可化为： 0 4 2 1 x − x + . 由于 = 0 ，方程 0 4 2 1 x − x + = 有两个相等的实 数根 2 1 x = . 而 4 2 1 y = x − x + 的图象开口向上，所以原不等式 的解集为 } 2 1 {x | x ； 师：我们回过头来看整个解题过程，可细化为这 样的四个步骤（PPT 展示四个步骤），你能不能把这里 的每一个步骤用一个字来概括？ 生：（思考讨论得出结论）（1）化；（2）根；（3）图；（4）解. （ 2 ） 原 不 等 式 移 项 整 理 可 化 为 2 3 0 2 x − x + . 由于 0 ，方程 2 3 0 2 x − x + = 无实根. 而 2 3 2 y = x − x + 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为 R ； （3）原不等式移向整理可化为 4 0 2 − x − x + , 即 - 4 0 2 x + x . 由于 0 ，方程 - 4 0 2 x + x = 有两个不等的 实根 2 1 17 , 2 1 17 1 2 − + = − − x = x . 而 - 4 2 y = x + x 的图象开口向上，所以原不 等式的解集为