人教版高中数学必修精品教学资料 元二次不等式及其解法 A组基础巩固 1.二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,那么ax+bx+c>0的解集为( A.(xx3或x-2}B.{xx2或x-3} C.{x|-2<x<3} D.{x|-3<x2} 解析:二次函数的图象开口向下,故不等式ax2+bx+c>0的解集为{x-2<x3) 答案:C 2.函数y=1/x+mx+对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围是() A. m2 C.m0或m2D.0≤m≤2 解析:由题意知x+mx+≥0对一切x∈R恒成立,4=团-2m≤0,·.0≤m≤2 答案:D 3.关于x的不等式一,<0(其中a-1)的解集为( B.-1 解析:原不等式变形得:(ax-1)(x+1)<0, 又a-1,x-(x+1)>0 解得:x-1或x 则原不等式的解集为( 1) 答案:D 4.关于x的不等式63x2-2mx-m<0的解集为()
人教版高中数学必修精品教学资料 一元二次不等式及其解法 A 组 基础巩固 1．二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 的两根为－2,3,a<0,那么 ax 2＋bx＋c>0 的解集为( ) A．{x|x>3 或 x<－2} B．{x|x>2 或 x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} 解析：二次函数的图象开口向下,故不等式 ax 2＋bx＋c>0 的解集为{x|－2<x<3}． 答案：C 2．函数 y＝ x 2＋mx＋ m 2 对一切 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A．m>2 B．m<2 C．m<0 或 m>2 D．0≤m≤2 解析：由题意知 x 2＋mx＋ m 2 ≥0 对一切 x∈R 恒成立,∴Δ＝m 2－2m≤0,∴0≤m≤2. 答案：D 3．关于 x 的不等式ax－1 x＋1 <0(其中 a<－1)的解集为( ) A. 1 a ，－1 B. － 1， 1 a C. －∞， 1 a ∪(－1，＋∞) D．(－∞,－1)∪ 1 a ，＋∞ 解析：原不等式变形得：(ax－1)(x＋1)<0, 又 a<－1,∴ x－ 1 a (x＋1)>0, 解得：x<－1 或 x> 1 a , 则原不等式的解集为(－∞,－1)∪ 1 a ，＋∞ . 答案：D 4．关于 x 的不等式 63x 2－2mx－m 2 <0 的解集为( )
D.以上答案都不对 解析:原不等式可化 x-z<0,需对m分三种情况讨论,即不等式的解集与m有 答案:D 5.若不等式|2x3|4与关于x的不等式x2+px+9>0的解集相同,则x2-px+∝<0的解 集是() B 解析:由|2x-3|4得2x-3)4或2x-3<-4,则x或x一.由题意可得 7 则 x2-px+0对应方程x-px+q=0的两根分别为,一则x px+小0的解集是1-22下故选D 答案:D 6.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(ab),且a,B(a<B)是方程f(x)=0的两根,则 a,B,a,b的大小关系是()
A. － m 9 ， m 7 B. m 7 ，－ m 9 C. －∞，－ m 9 ∪ m 7 ，＋∞ D．以上答案都不对 解析：原不等式可化为 x＋ m 9 · x－ m 7 <0,需对 m 分三种情况讨论,即不等式的解集与 m 有 关． 答案：D 5．若不等式|2x－3|>4 与关于 x 的不等式 x 2＋px＋q>0 的解集相同,则 x 2－px＋q<0 的解 集是( ) A. x x> 7 2 或x<－ 1 2 B. x － 1 2 <x< 7 2 C. x x<－ 7 2 或x> 1 2 D. x － 7 2 <x< 1 2 解析： 由|2x －3|>4 得 2x－3>4 或 2x －3< －4, 则 x> 7 2 或 x<－ 1 2 .由 题意可得 －p＝ 7 2 － 1 2 ， q＝ 7 2 × － 1 2 ， 则 p＝ 1 2 － 7 2 ， q＝ 1 2 × － 7 2 ， x 2－px＋q<0 对应方程 x 2－px＋q＝0 的两根分别为1 2 ,－ 7 2 ,则 x 2 －px＋q<0 的解集是 x － 7 2 <x< 1 2 ,故选 D. 答案：D 6．已知 f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b),且 α,β(α<β)是方程 f(x)＝0 的两根,则 α,β,a,b 的大小关系是( )
A. aa<B<bb. aa<k B C. a<akB d. aaB<b 解析: ∴a,B为f(x)=0的两根, ∴a,B为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标 ∵a,b为(x-a)(x-b)=0的根, 令g(x)=(x-a)(x-b) ∴a,b为g(x)与x轴交点的横坐标 可知f(x)图象可由g(x)图象向上移2个单位得到,由图知选A. 答案:A 7.不等式x2+mx+20恒成立的条件 解析:x2+mx+>0恒成立,等价于△<0, 即m2-4×=(0÷0<m2 答案:0<m2 8.函数几02=1(-+9+小=的定义域为 解析:要使函数有意义,则需 ∴其定义域为x-1≤x≤1且x 答案 -1≤K≤1且x≠ 9.已知函数y=yax2+2ax+1的定义域为R,解关于x的不等式x2-x-a+a(0. 解:∵函数y=ax+2ax+1的定义域为R ∴ax2+2ax+1≥0恒成立 当a=0时,1≥0,不等式恒成立 当a≠=0时则>0, 解得0<a≤1.综上,0≤a≤1.由x-x-a+a0得,(x A=4a-4a≤0
A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b 解析： ∵α,β 为 f(x)＝0 的两根, ∴α,β 为 f(x)＝(x－a)(x－b)＋2 与 x 轴交点的横坐标． ∵a,b 为(x－a)(x－b)＝0 的根, 令 g(x)＝(x－a)(x－b), ∴a,b 为 g(x)与 x 轴交点的横坐标． 可知 f(x)图象可由 g(x)图象向上移 2 个单位得到,由图知选 A. 答案：A 7．不等式 x 2＋mx＋ m 2 >0 恒成立的条件是________． 解析：x 2＋mx＋ m 2 >0 恒成立,等价于 Δ<0, 即 m 2－4× m 2 <0⇔0<m<2. 答案：0<m<2 8．函数 f(x)＝log2 x 2－x＋ 1 4 ＋ 1－x 2的定义域为________． 解析：要使函数有意义,则需 x 2－x＋ 1 4 >0， 1－x 2≥0， 即 x≠ 1 2 ， －1≤x≤1， ∴其定义域为 x －1≤x≤1且x≠ 1 2 . 答案： x －1≤x≤1且x≠ 1 2 9．已知函数 y＝ ax 2＋2ax＋1的定义域为 R,解关于 x 的不等式 x 2－x－a 2＋a<0. 解：∵函数 y＝ ax 2＋2ax＋1的定义域为 R, ∴ax 2＋2ax＋1≥0 恒成立． 当 a＝0 时,1≥0,不等式恒成立； 当 a≠0 时,则 a>0， Δ＝4a 2－4a≤0， 解得 0<a≤1.综上,0≤a≤1.由 x 2－x－a 2＋a<0 得,(x
0≤a,∴()当1-即0≤时,1-a(2)当1-a=a即a=时- 不等式无解:(③3)当1-aa,即a≤1时,1一axa.∴原不等式的解集为:当0≤a时,原不 等式的解集为{x|aKx1 =时,原不等式的解集为;当,a≤1时,原不等式的解集 为{x1-axl 10.若关于x的不等式ax+3x-1>0的解集是{xa<x1 (1)求a的值 (2)求不等式ax2-3x+a2+1>0的解集 解:(1)依题意,可知方程ax+3x-1=0的两个实数根为和1, a'2 解得a=-2. (2)-2x2-3x+5>0,2x2+3x-5<0 5 因为2x2+3x-5=0有两根为x=1,m 所以不等式的解集为x-<x1 B组能力提升 11.如果不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x-2<x1},那么函数y=f(-x)的图象大 致是() A
－a)<0. ∵0≤a≤1,∴(1)当 1－a>a,即 0≤a< 1 2 时,a<x<1－a；(2)当 1－a＝a,即 a＝ 1 2 时, x－ 1 2 2 <0, 不等式无解；(3)当 1－a<a,即 1 2 <a≤1 时,1－a<x<a.∴原不等式的解集为：当 0≤a< 1 2 时,原不 等式的解集为{x|a<x<1－a}；当 a＝ 1 2 时,原不等式的解集为∅；当1 2 <a≤1 时,原不等式的解集 为{x|1－a<x<a}． 10．若关于 x 的不等式 ax 2＋3x－1>0 的解集是 x 1 2 <x<1 , (1)求 a 的值； (2)求不等式 ax 2－3x＋a 2＋1>0 的解集． 解：(1)依题意,可知方程 ax 2＋3x－1＝0 的两个实数根为1 2 和 1, 1 2 ＋1＝－ 3 a , 1 2 ×1＝－ 1 a ,解得 a＝－2. (2)－2x 2－3x＋5>0,2x 2＋3x－5<0. 因为 2x 2＋3x－5＝0 有两根为 x1＝1,x2＝－ 5 2 , 所以不等式的解集为 x － 5 2 <x<1 . B 组 能力提升 11．如果不等式 f(x)＝ax 2－x－c>0 的解集为{x|－2<x<1},那么函数 y＝f(－x)的图象大 致是( ) A B C
yA 解析:∵不等式a2-x-∞>0的解集为{x|-2<x1},∴方程ax2-x-c=0的根为一2,1, x)=-x2-x+2, ∴y=f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下且与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0).∴选 答案:C 12若关于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0的两根均大于1,则m的取值范围是 解析:令f(x)=8x2-(m-1)x+m-7. ∴方程8x-(m-1)x+m-7=0的两根均大于1 ∴由二次函数图象得 m≥25或m≤9 解得{m17, m的取值范围是{mm≥25} 答案:{mm≥25} 13.已知关于x的方程x-2tx+t-1=0的两实根介于(-2,4)之间,求t的取值范围 解:令f(x)=x2-2tx+t-1 ∵x2-2tx+t2-1=0的两实根介于(-2,4)之间 2<t<4 f4>0
D 解析：∵不等式 ax 2－x－c>0 的解集为{x|－2<x<1},∴方程 ax 2－x－c＝0 的根为－2,1, ∴ －2＋1＝ 1 a ， －2×1＝－ c a ， ∴ a＝－1， c＝－2， ∴f(x)＝－x 2－x＋2, ∴y＝f(－x)＝－x 2＋x＋2,其图象开口向下且与 x 轴的交点坐标为(－1,0),(2,0)．∴选 C. 答案：C 12．若关于x的方程8x 2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1,则m的取值范围是________． 解析：令 f(x)＝8x 2－(m－1)x＋m－7. ∵方程 8x 2－(m－1)x＋m－7＝0 的两根均大于 1, ∴由二次函数图象得 Δ＝ m－1 2－32 m－7 ≥0， m－1 16 >1， f 1 >0， 解得 m≥25或m≤9， m>17， m∈R， ∴m 的取值范围是{m|m≥25}． 答案：{m|m≥25} 13．已知关于 x 的方程 x 2－2tx＋t 2－1＝0 的两实根介于(－2,4)之间,求 t 的取值范围． 解：令 f(x)＝x 2－2tx＋t 2－1. ∵x 2－2tx＋t 2－1＝0 的两实根介于(－2,4)之间, ∴ Δ＝ 2t 2－4 t 2－1 ≥0， －2<t<4， f －2 >0， f 4 >0