32一元二次不等式及其解法(1) 【教学过程】 讲授新课 (1)一元二次不等式的定义 象x2-5x<0这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一 元二次不等式 (2)探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式x2-5x<0的解集呢? 探究: ①二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根:x=0,x2=5 二次函数有两个零点:x1=0,x2=5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点 ②观察图象,获得解集 画出二次函数y=x2-5x的图象,如图,观察函数图象,可知 当x<0,或x>5时,函数图象位于x轴上方,此时,y>0,即x2-5x>0; 当0<x<5时,函数图象位于x轴下方,此时,y<0,即x2-5x<0 所以,不等式x2-5x<0的解集是{x10<x<5},从而解决了本节开始时提出的问题 (3)探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式:ax2+bx+c>0,或 ax2+bx+c<0(a>0) 一般地,怎样确定一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集呢? 组织学生讨论:
最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料 3.2 一元二次不等式及其解法（1） 【教学过程】 讲授新课 （1）一元二次不等式的定义 象 2 x x − 5 0 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一 元二次不等式． （2）探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式 2 x x − 5 0 的解集呢？ 探究： ①二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根： 1 2 x x = = 0, 5 二次函数有两个零点： 1 2 x x = = 0, 5 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． ②观察图象，获得解集 画出二次函数 2 y x x = −5 的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x 0 ，或 x 5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时， y 0 ，即 2 x x − 5 0 ； 当 0 5 x 时，函数图象位于 x 轴下方，此时， y 0 ，即 2 x x − 5 0 ； 所以，不等式 2 x x − 5 0 的解集是 x x | 0 5 ，从而解决了本节开始时提出的问题． （3）探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： 2 ax bx c + + 0 ，或 2 ax bx c + + 0 ( 0) a ． 一般地，怎样确定一元二次不等式 2 ax bx c + + 0 与 2 ax bx c + + 0 的解集呢？ 组织学生讨论：
从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要 考虑以下两点: ①抛物线与x轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况; ②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的符号 总结讨论结果 ①抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二 次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac三种取值情况(△>0,A=0,△<0)来确定.因 此,要分二种情况讨论. ②a<0可以转化为a>0 分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况,得到一元二次不等式ax2+bx+c>0与 ax2+bx+c<0(a>0)的解集 设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x、x2且x≤x2,△=b2-4ac, 则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第77页的表格 次函数 bx (a>0)的图象 元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax+bx +c=0 x,x2(x1<x2) x1=x2 ax+bx+c>0 或x (a>0)的解集 R ax+bx+c<0 (a>0)的解集 (lx <x<x2) 范例讲解 例1求不等式4x2-4x+1>0的解集 解:因为△=0,方程4x2-4x+1=0的解是x=x2 所以,原不等式的解集是
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要 考虑以下两点： ①抛物线与 x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 的根的情况； ②抛物线 2 y ax bx c = + + 的开口方向，也就是 a 的符号． 总结讨论结果： ①抛物线 2 y ax bx c = + + ( 0) a 与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二 次方程 2 ax bx c + + = 0 的判别式 2 = − b ac 4 三种取值情况( 0 ，= 0 ， 0 ）来确定．因 此，要分二种情况讨论． ② a 0 可以转化为 a 0 分 0， = 0， 0 三种情况，得到一元二次不等式 2 ax bx c + + 0 与 2 ax bx c + + 0 ( 0) a 的解集． 设相应的一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 ( 0) a 的两根为 1 2 1 2 x x x x 、 且 ， 2 = − b ac 4 ， 则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第 77 页的表格) 0 = 0 0 二次函数 2 y ax bx c = + + ( 0) a 的图象 一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 有两相异实根 1 2 1 2 x x x x , ( ) 有两相等实根 1 2 2 b x x a = = − 无实根 2 ax bx c + + 0 ( 0) a 的解集 x x x x x 1 2 或 2 b x x a − R 2 ax bx c + + 0 ( 0) a 的解集 x x x x 1 2 范例讲解 例 1 求不等式 2 4 4 1 0 x x − + 的解集. 解：因为 = 0 ，方程 2 4 4 1 0 x x − + = 的解是 1 2 1 2 x x = = ． 所以，原不等式的解集是 1 2 x x ．
评述:本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法,一定要保证步骤正确,计算准确. 例2解不等式-x2+2x-3>0. 解:整理,得x2-2x+3<0 因为△<0,方程x2-2x+3=0无实数解, 所以不等式x2-2x+3<0的解集是② 从而,原不等式的解集是必 评述:将-x2+2x-3>0转化为x2-2x+3<0的过程注意符号的变化,这是解题关键之 处,讲课要放慢速度 变式训练:解下列不等式 (1)-3x-2>-2x2;(2)x2-2x+1>0;(3)x2-2x+2<0 解:(1)原不等式可化为2x2-3x-2>0 因为△>0,方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2 所以函数y=32-32的图像是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-020 由图像可得,原不等式的解集是{xx<-,或x>2 (2)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x=x2=1 函数y=x2-2x+1的图像是开口向上的抛物线,与x轴仅有一个交点(0), 由图像可得,不等式x2-2x+1>0的解集为{xxl} (3)因为△<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解 函数y=x2-2x+2的图像是开口向上的抛物线,,与x轴无交点, 由图像可得,不等式的解集必. (七)课堂练习 解下列不等式 (1)x2-7x+12>0 (2)-x2-2x+320 (3)x2-2x+1<0 (4)x2-2x+2<0 解:(1)方程x2-7x+12=0的解为x=3,x2=4.根据y=x2-7x+12的图象,可得原不
评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确． 例 2 解不等式 2 − + − x x2 3 0． 解：整理，得 2 x x − + 2 3 0 .[来源:数理化网] 因为 0 ，方程 2 x x − + = 2 3 0 无实数解， 所以不等式 2 x x − + 2 3 0 的解集是 . 从而，原不等式的解集是 . 评述：将 2 − + − x x2 3 0 转化为 2 x x − + 2 3 0 的过程注意符号的变化，这是解题关键之 处，讲课要放慢速度． 变式训练：.解下列不等式： （1） 2 − 3x − 2 −2x ；（2） 2 x x − + 2 1 0 ；（3） 2 x x − + 2 2 0 ． 解：（1）原不等式可化为 2 3 2 0 2 x − x − ， 因为 , 2 2 1 0 , 2 3 2 0 1 2 2 方程 x − x − = 的解是 x = − x = . 所以函数 2 y x x = − − 3 3 2 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴有两个交点 ( ) 1 ,0 , 2,0 2 − ， [来源:www.sh u lih ua.net] 由图像可得，原不等式的解集是 − , 2 2 1 x x 或 x . （2）方程 2 x x − + = 2 1 0 有两个相同的解 x x 1 2 = =1． 函数 2 y x x = − + 2 1 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴仅有一个交点 (1,0) ， 由图像可得，不等式 2 x x − + 2 1 0 的解集为 x x 1． （3）因为 0 ，所以方程 2 x x − + = 2 2 0 无实数解， 函数 2 y x x = − + 2 2 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴无交点， 由图像可得，不等式的解集 ． (七).课堂练习 解下列不等式： (1) 2 x x − + 7 12 0 ； (2) 2 − − + x x2 3 0 ； (3) 2 x x − + 2 1 0 ； (4) 2 x x − + 2 2 0． 解：(1)方程 2 x x − + = 7 12 0 的解为 x x 1 2 = = 3, 4 ．根据 2 y x x = − + 7 12 的图象，可得原不
等式x2-7x+12>0的解集是{x|x<3或x>4 (2)不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x2+2x-3≤0 方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1 根据y=x2+2x-3的图象,可得原不等式-x2-2x+3≥0的解集是{x|-3≤x≤l} (3)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1 根据y=x2-2x+1的图象,可得原不等式x2-2x+1<0的解集为必 (4)因为△<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解,根据y=x2-2x+2的图象,可得原不 等式x2-2x+2<0的解集为② 4.课时小结 解一元二次不等式的步骤 ①将二次项系数化为“+”:A=ax2+bx+c>0(或<0)(a>0) ②计算判别式△,分析不等式的解的情况: ∫若A>0,则x<x或>x 1.△>0时,求根x<为,{若A<0,则x<x<x 若A>0,则x≠x的一切实数 △=0时,求根,{若A<0,则x∈② 若A≤O,则x=x0 △<0时,方程无解,「若A>0,则x∈R: 若A≤0,则x∈ ③写出解集 【作业布置】 课本第80页习题3.2[A]组第1题 【板书设计】
等式 2 x x − + 7 12 0 的解集是 { | 3 4} x x x 或 ． (2)不等式两边同乘以 −1 ，原不等式可化为 2 x x + − 2 3 0． 方程 2 x x + − = 2 3 0 的解为 x x 1 2 = − = 3, 1． 根据 2 y x x = + − 2 3 的图象，可得原不等式 2 − − + x x2 3 0 的解集是 { | 3 1} x x − ． (3)方程 2 x x − + = 2 1 0 有两个相同的解 x x 1 2 = =1． 根据 2 y x x = − + 2 1 的图象，可得原不等式 2 x x − + 2 1 0 的解集为 ． (4)因为 0 ，所以方程 2 x x − + = 2 2 0 无实数解，根据 2 y x x = − + 2 2 的图象，可得原不 等式 2 x x − + 2 2 0 的解集为 ． 4．课时小结 解一元二次不等式的步骤： ①将二次项系数化为“ + ”： 2 A ax bx c = + + 0 (或 0 ) ( 0) a ． ②计算判别式 ，分析不等式的解的情况： ⅰ． 0 时，求根 1 2 x x ， 1 2 1 2 0 ; 0 . A x x x A x x x 若 ，则 或 若 ，则 ⅱ． = 0 时，求根， 0 0 0 0 0 . A x x A x A x x = 若 ，则 的一切实数； 若 ，则 ； 若 ，则 ⅲ． 0 时，方程无解， 0 0 . A x A x 若 ，则 R； 若 ，则 ③写出解集． 【作业布置】 课本第 80 页习题 3 .2[A]组第 1 题 【板书设计】
元二次不等式的定义 元二次不等式的解的各种范例讲解 情况列表 探究一元二次不等式 x2-5x<0的解集 练习 例2 果堂练习 【教学后记】 3.2一元二次不等式及其解法(2) 【教学过程】 2.范例讲解 例3某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下的关 x+—x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽 20180 车刹车前的速度是多少?(精确到0.01km/h) 解:设这辆汽车刹车前的速度至少为xkm/h,根据题意,我们得到x+-x2>39.5 移项整理得:x2+9x-7110>0 显然△>0,方程x2+9x-7110=0有两个实数根 即x1≈-88.94,x,≈79.94 所以不等式的解集为{x|x<-8894,或x>7994} 在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h 评述:注意体会三个“二次”之间的关系 变式训练 例4一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数 量ⅹ(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系
一元二次不等式的定义 探 究 一 元 二 次 不 等 式 2 x x − 5 0 的解集 一元二次不等式的解的各种 情况列表 范例讲解 例 1 练习 例 2 课堂练习 【教学后记】 3.2 一元二次不等式及其解法（2） 【教学过程】 2．范例讲解 例 3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关 系： 1 1 2 20 180 s x x = + ．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5m，那么这辆汽 车刹车前的速度是多少？（精确到 0.01km/h） 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h，根据题意，我们得到 1 1 2 39.5 20 180 x x + 移项整理得： 2 x x + − 9 7110 0 显然 △ 0 ，方程 2 x x + − = 9 7110 0 有两个实数根， 即 1 2 x x − 88.94, 79.94． 所以不等式的解集为 x x x | 88.94, 79.94 − 或 ． 在这个实际问题中， x 0 ，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 评述：注意体会三个“二次”之间的关系． 变式训练 例 4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数 量 x（辆）与创造的价值 y（元）之间有如下的关系：