.nb|1 但有一点不好,求n+还需要P,最好将P写成只与函数Pn本身有关,不再依赖于导函数 为此,对(1.6)式求导得 (2n+1)Pnx)+(2n+1)x(x)=(n+1)Pn+1(x)+nP 1得:(2n-1)Pm1+(2n-1) 以上蓝色方程与(1.)式以及(1.7式中令n→n-1的方程,构成一个方程组: n-1=n少+ pPnExpn-pr 来自(1.7) 来自(1.7)中 这样,就得到P,Pn-1和P2的线性方程组 我们的目标是,使得导函数P的表达式中不再含有导函数,故求解方程组的三个“未知量”:Pn,P=1和P2 可解得 x)pn(x)=npn-1(x)-nxpn 常用于求尹 (1.10) 上式导函数P的表达式就不在含有导函数。 有时,为了分部积分,需要将函数反过来写成导数形式,为此,联立(1.7)式与(1.8)式消去:xPn (2n+1)9n(x)=n+1(x)-n-1(x) 常用于涉及P的分部积分,例如|Pax)dx 所有这些递推关系都默认:P1(x)=0及P-1(x)=0 还有一些递推关系,就不一一列举推导。这些递推关系可用于不同的计算要求 以下是求解方程组(19)的备 Mathematica代码 [n]-x Pp[n] eg2=(2n-1)P[n-1]+(2n-1)xPp[n-1]-nPp[n]-(n-1)Pp[n-2]; eq3=(n-1)P[n-1]-xPp[n-1]+Pp[n-2] sol= Solve[[eql s 0, eq2 =0, eq3 s 0), [Pp[n], Pp[n-1], Pp[n-2]1 res= Pp[n]/. sol[[1]] (-P[-1+n]+xP[n]) Q生成函数 接下去推导P(x)满足的微分方程,进而设法证明:Pn(x)=Pn(x) (1.10)式:(1-x2)P(x)=nPn-(x)-nxP2(x) 两边对x求导,得,41-P =nph-I(x)-nPn(x)-nxpn(x) 因为要得到Pn(x)满足的微分方程,故应利用(17):nP(x)=xPx)-Pn-1(x)消去P-1(x),得 d[1-r2)pn(r) =nxp(x)-m-pn(x)-np,(x)-nxpr(x) 化简: a-Fp.sol t ntn +1)Pnx)=0—Pn(x)满足 Legendre微分方程! (1.11
但有一点不好，求 n+1 ′ 还需要 n ′，最好将 n ′ 写成只与函数 n 本身有关，不再依赖于导函数 为此，对 (1.6) 式求导得： (2 n + 1) n(x) + (2 n + 1) x n ′ (x) = (n + 1) n+1 ′ (x) + n n-1 ′ (x) (1.8) 令 n n - 1 得：(2 n - 1) n-1 + (2 n - 1) x n-1 ′ = n n ′ + (n -1) n-2 ′ 以上蓝色方程与 (1.7) 式以及 (1.7) 式中令 n n - 1 的方程，构成一个方程组： (2 n - 1) n-1 + (2 n - 1) x n-1 ′ = n n ′ + (n - 1) n-2 ′ n n = x n ′ - n-1 ′ 来自(1. 7) (n - 1) n-1 = x n-1 ′ - n-2 ′ 来自 (1. 7) 中 n n - 1 (1.9) 这样，就得到 n ′ , n-1 ′ 和 n-2 ′ 的线性方程组。 我们的目标是，使得导函数 ′ 的表达式中不再含有导函数，故求解方程组的三个“未知量”： n ′ , n-1 ′ 和 n-2 ′ 可解得： 1 - x2 n ′ (x) = n n-1(x) - n x n(x) 常用于求 n ′ (1.10) 上式导函数 ′ 的表达式就不在含有导函数。 有时，为了分部积分，需要将函数反过来写成导数形式，为此，联立 (1.7) 式与(1.8)式消去：x n ′ (2 n + 1) n(x) = n+1 ′ (x) - n-1 ′ (x) 常用于涉及 Pn 的分部积分 ，例如 0 1 Pn(x) x 所有这些递推关系都默认：-1 ′ (x) = 0 及 -1(x) = 0。 还有一些递推关系，就不一一列举推导。这些递推关系可用于不同的计算要求。 以下是求解方程组(1.9)的 Mathematica 代码。 eq1 = n P[n] - x Pp[n] + Pp[n - 1]; eq2 = (2 n - 1) P[n - 1] + (2 n - 1) x Pp[n - 1] - n Pp[n] - (n - 1) Pp[n - 2]; eq3 = (n - 1) P[n - 1] - x Pp[n - 1] + Pp[n - 2]; sol = Solve[{eq1 0, eq2 0, eq3 0}, {Pp[n], Pp[n - 1], Pp[n - 2]}]; res = Pp[n] /. sol[[1]] n (-P[-1 + n] + x P[n]) -1 + x2 生成函数 接下去推导 n(x) 满足的微分方程，进而设法证明：n(x) = Pn(x) (1.10) 式：1 - x2 n ′ (x) = n n-1(x) - n x n(x) 两边对 x 求导，得： 1 - x2 n ′ (x) x = n n-1 ′ (x) - n n(x) - n x n ′ (x) 因为要得到 n(x) 满足的微分方程，故应利用 (1.7)： n n(x) = x n ′ (x) - n-1 ′ (x) 消去 n-1 ′ (x)，得： 1 - x2 n ′ (x) x = n x n ′ (x) -n2 n (x) - n n(x) - n x n ′ (x) 化简： 1 - x2 n ′ (x) x + n(n + 1) n(x) = 0 —— n(x) 满足 Legendre 微分方程 ！ (1.11) z13a.nb 11
12 213a. nb 既然尹n(x)满足 Legendre微分方程,那么它一定可写成如下形式 Tn(x)=a1Pn(x)+aQn(x),注意在x=1时,Oa(1)发散。 而当x=1时 +2-2x 故:Pn(1)=1=Pn(1)有界 故:a1=1,a2=0。从而:|en()=Pn() 从这一推导可看到上一节通过Px)k=1=P(1)=1来确定y(x)与y(x)中的系数co与c1的第二个理由 使得:9n(x)=Pn(x)。 生成函数 m0=(+p2-21= SPa( lcr称为Lgme多项式的生成函数 目例1.计算:P(O) 解:当然,可以由级数表示直接求之 P)=1y (2l-2r)! 2fr!(-n)!(-2r)! 当l=2n+1为奇数,PAx)仅含奇次幂项,P(0)=0 当/=2n为偶数,求和式中的r=l/12项对应于PAx)的最低幂次项x, 故:P2A0)==y2m 更简单地,也可从生成函数出发 n0=0+o0 利用(1+P)的二项式展开 pn=>P0)r即得 当l=2n+1为奇数,PAO)=0 (-1y(2n)! 当/=2n为偶数,P20)=222m(m! 其中利用了一般二项式的定义 r(-n(-r-1)(--2)…(-r-n+1) (-1)"(r)hn(-1)r(n+r)
既然 n(x) 满足Legendre 微分方程，那么它一定可写成如下形式： n(x) = a1 Pn(x) + a2 Qn(x)，注意在 x = 1 时，Qn(1) 发散。 而当 x = 1 时， w(x, t) x=1 = 1 1 + t 2 - 2 x t 1/2 x=1 = n=0 ∞ n(1) t n, 但 w(x, t) x=1 = 1 1 + t 2 - 2 t 1/2 = 1 (1 - t) = n=0 ∞ t n 故： n(1) = 1 = Pn(1) 有界 故：a1 = 1, a2 = 0。从而： n (x) = Pn (x) 从这一推导可看到上一节通过 Pl(x) x=1 = Pl(1) = 1 来确定 y0(x) 与 y1(x) 中的系数 c0 与 c1 的第二个理由 ： 使得：n(x) = Pn(x)。 生成函数： w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 = n=0 ∞ Pn (x) t n , w(x, t) 称为 Legendre多项式的 生成函数 。 ☺ 例 1. 计算：Pl(0) 解：当然，可以由级数表示直接求之 Pl(x) = 1 2l r=0 ⌊l/2⌋ (-1)r r! (2 l - 2 r)! (l - r)! (l - 2 r)! xl-2 r 当 l = 2 n + 1 为奇数, Pl(x) 仅含奇次幂项 ，Pl(0) = 0 当 l = 2 n 为偶数, 求和式中的 r = l/2 项对应于 Pl(x) 的最低幂次项 x0， 故：P2 n(0) = (-1) n 22 n (2 n)! (n!)2 更简单地 ，也可从生成函数出发 w(0, t) = 1 + t 2 -1/2 = l=0 ∞ Pl(0) t l 利用1 + t 2 -1/2 的 二项式展开 ： 1 + t 2 -1/2 = n=0 ∞ - 1 2 n t 2 n = l=0 ∞ Pl(0) t l 即得： 当 l = 2 n + 1 为奇数, Pl(0) = 0 当 l = 2 n 为偶数, P2 n(0) = - 1 2 n = (-1)n (2 n)! 22 n (n!)2 其中利用了一般二项式的定义 ： -r n = (-r) (-r - 1) (-r - 2) ⋯(-r - n + 1) n! = (-1)n r(r + 1) (r + 2) ⋯(r + n - 1) n! = (-1)n (r)n n! = (-1)n n！ Γ(n + r) Γ(r) 12 z13a.nb
z13anb13 从而 y (-1yC2n)! 133 Legendre多项式的微分与积分表示 至此,我们对 Legendre多项式的认识包括 1P(是g做方程(-+1y=0在x=1有界的解 2.PAx)可表为有限级数(多项式)形式,l为奇数(偶数)时,仅包含奇次幂(偶次幂)项 3.P(x)满足一些递推关系,可从Pox)=1,P1(x)=x求任意阶的PAx)及P(x) 4.P(x)是其生成函数(1+p2-21x)2在t=0邻域做Tao展开时的展开系数 导出这些性质以及接下去讨论的其它性质,常要经过繁琐的推导以及一些技巧。 对初学者而言似乎有点恐怖,对发展特殊函数理论的数学家而言,也源于数学上的执着加上一点点运气 因而我们在学习中,也需要那么一点点执着,尽管现在再研究特殊函数已经木有足以“青史留名”的运气。 Q微分表示— Rodrigues公式 Rodrigues公式 (x2-1) ann! dx 证明:利用 Legendre函数的级数形式证明之。 对任意整数r<n,有 x2n-2r=(2n-2r)(2n-2r-1)…(2n-2r-n+1) (-2八),2,对2r≤n或rsn/2」 x2n-2r=0,对2r>n或r>ln/2」 而 Legendre函数的级数形式(1.4)为 Pn(x)= IcIr(2n-2n):m-2 r!(n-r)!(n-2r)! 1y-1xm2,令1=x r! (n-r)! dx" l dsrc-ir 2n dx"sdr!(n-r 1a|r"-(-1)y 蓝色部分为0,因为x的最高幂次<n dx分r!(n-r)! r!(n-r)! 2"n! dx"Ldr!(n-n)(1y 恰好可用二项式展开定理 (x2-1)得证! 2 n! dxt 2n! dx 目例1.计算积分:=xPa(x)dx,k≤n 解:k<n时,利用 Rodrigues公式
从而： - 1 2 n = (-1)n n! Γ n + 1 2 Γ 1 2 = (-1)n (2 n)! 22 n (n!)2 13.3 Legendre多项式的微分与积分表示 至此，我们对Legendre多项式的认识包括： 1. Pl(x) 是Legendre微分方程 x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 在 x = ±1 有界的解 2. Pl(x) 可表为有限级数（多项式）形式，l 为奇数（偶数）时，仅包含奇次幂（偶次幂）项 3. Pl(x) 满足一些递推关系，可从 P0(x) = 1, P1(x) = x 求任意阶的 Pl(x) 及 Pl ′ (x) 4. Pl(x) 是其生成函数 1 + t2 - 2 t x -1/2 在 t = 0 邻域做Taylor展开时的展开系数 导出这些性质以及接下去讨论的其它性质，常要经过繁琐的推导以及一些技巧。 对初学者而言似乎有点恐怖，对发展特殊函数理论的数学家而言，也源于数学上的执着加上一点点运气。 因而我们在学习中，也需要那么一点点执着，尽管现在再研究特殊函数已经木有足以“青史留名”的运气。 微分表示 —— Rodrigues 公式 Rodrigues公式： Pn(x) = 1 2n n! n xn x2 - 1 n 证明：利用Legendre函数的级数形式证明之。 对任意整数 r < n，有 n xn x2 n-2 r = (2 n - 2 r) (2 n - 2 r - 1) ⋯(2 n - 2 r - n + 1) xn-2 r = (2 n - 2 r)! (n - 2 r)! xn-2 r, 对 2 r ≤ n 或 r ≤ ⌊n/2⌋ n xn x2 n-2 r = 0, 对 2 r > n 或 r > ⌊n/2⌋ 而 Legendre函数的级数形式 (1. 4) 为 Pn(x) = 1 2n r=0 ⌊n/2⌋ (-1) r r! (2 n - 2 r)! (n - r)! (n - 2 r)! xn-2 r = 1 2n r=0 ⌊n/2⌋ (-1) r r! 1 (n - r)! n xn x2 n-2 r, 令 t = x2 = 1 2n n xn r=0 ⌊n/2⌋ t n-r(-1) r r! (n - r)! = 1 2n n xn r=0 n t n-r(-1)r r! (n - r)! - r=⌊n/2⌋+1 n t n-r(-1)r r! (n - r)! 蓝色部分为 0，因为 x 的最高幂次 < n = 1 2n n! n xn r=0 n n! r! (n - r)! t n-r(-1)r 恰好可用二项式展开定理 = 1 2n n! n xn (t - 1)n = 1 2n n! n xn x2 - 1 n 得证！ ☺ 例 1. 计算积分：I = -1 1 xk Pn(x) x, k ≤ n 解：k < n 时，利用 Rodrigues公式 z13a.nb 13
144|z13a.nb I= rpn(x)dx (x2-1)",分部积分 drl-l onl dr dere-iy dx 到递推关系 d(ra)dm=l 应用此递推关系,可得 n一一在=0取m”)紫色部分为0 k=n时,利用递推关系(1.6):(2n+1)xPn(x)=(n+1)Pn1(x)+nPn-1(x),有 In=xPn(x)dx=rl-lxPn(r)dx r-l(n+1)Pn+1(x)+nPn-1(x)dx, FAxPn(x)dx=Oifk<n r-l p- (x)dx 2n+1 又是个递推关系:m= 2n+ l0,利用lo l dx=2 2n+1)!! 2+1(n!)2 其中利用了:(2n+1)!!= (2n+1)! Q积分表示 gendre多项式有许多不同的积分表示,本节讨论其中几个常用的积分表示。 由 Rodrigues公式 2n!d(x2-1=Pn(x)→(2-1=29n1P) 因为(x2-1)是解析函数,利用高阶导数的 Cauchy公式, 2 i Pn(x)= d— Schlaefli公式 其中C为复平面内绕￡=x一周的任意闭合曲线 现取C为:以=x为圆心,√P2-为半径的圆周,在此圆周上,有 g=x+V2-1“,一≤兀,注意无论x2-1是否大于0,此式均成立 Schlaefli公式
I = -1 1 xk Pn(x) x = -1 1 xk 1 2n n! n xn x2 - 1 n x = 1 2n n! -1 1 xk n-1 xn-1 x2 - 1 n , 分部积分 = 1 2n n! xk n-1 xn-1 x2 - 1 n -1 1 - 1 2n n! -1 1 xk x n-1 xn-1 x2 - 1 n x = -1 2n n! -1 1 xk x n-1 xn-1 x2 - 1 n x 得到递推关系 ：-1 1 xk n xn x2 - 1 n x = --1 1 xk x n-1 xn-1 x2 - 1 n x 应用此递推关系 ，可得 I = (-1)m 2n n! -1 1 m xk xm n-m xn-m x2 - 1 n x = 0, 取 m = n > k，紫色部分为 0 k = n 时，利用递推关系 (1. 6)： (2 n + 1) x Pn (x) = (n + 1) Pn+1(x) + n Pn-1(x) ，有 In = -1 1 xn Pn(x) x = -1 1 xn-1 x Pn(x) x = 1 2 n + 1 -1 1 xn-1[(n + 1) Pn+1 (x) + n Pn-1 (x)] x, 利用 -1 1 xk Pn(x) x = 0 if k < n = n 2 n + 1 -1 1 xn-1 n-1(x) x = n 2 n + 1 In-1 又是个递推关系 ：In = n 2 n + 1 In-1 In = n! (2 n + 1)!! I0, 利用 I0 = -1 1 1 x = 2 = 2n+1 (n!)2 (2 n + 1)! , 其中利用了 ：(2 n + 1)!! = (2 n + 1)! 2n n 积分表示 Legendre多项式有许多不同的积分表示，本节讨论其中几个常用的积分表示。 由Rodrigues公式 1 2n n! n xn x2 - 1 n = Pn(x) ⟶ n xn x2 - 1 n = 2n n! Pn(x) 因为 x2 - 1 n 是解析函数，利用高阶导数的 Cauchy公式， f (n) (z) = n! 2 π C f (ξ) ξ (ξ - z)n+1 ⟹ Pn(x) = 1 2 π C ξ2 - 1 n 2n (ξ - x)n+1 ξ —— Schlaefli 公式 其中 C 为复 ξ 平面内绕 ξ = x 一周的任意闭合曲线。 现取 C 为：以 ξ = x 为圆心， x2 - 1 为半径的圆周，在此圆周上，有 ξ = x + x2 - 1 ϕ, -π ≤ ϕ ≤ π, 注意无论 x2 - 1 是否大于 0，此式均成立 Pn(x) = 1 2 π C ξ2 - 1 n 2n (ξ - x)n+1 ξ —— Schlaefli 公式 14 z13a.nb
z13a.nb15 2+2xVx2-1c+(2-1)c2 x2-l dido 2mvx2-I elo x2-1+2xyx2-1c+(x2-1)e2-dd +x2-1cosd|d,cosd是偶函数 Pn(x)= x-1 cos o do Laplace's积分 Integrate+vx-1 Cos [o] (o,0,),Assumptions#(n e Integers, n>0,x>0) FullSimplify[(t/ n+ n0)-LegendreP[no, x]] t[n E) Integrate[(*+Vx.I cos(o1),(e, 0, m)] FullSimplify[t[no, xO]-LegendreP[no, xO]] Integratexo+V x02-1 Cos[o] 中,0,丌} 90直 134 Legendre多项式的正交完备性 Q正交 不同阶的 Lengendre函数正交,即: Pm(r)Pn(r)dre. 2 6m,其中bmn为符号
= 1 2 π -π π x2 +2 x x2 - 1 ϕ +x2 - 1 2 ϕ - 1 n 2n x2 - 1 ϕ n+1 x2 - 1 ϕ ϕ = 1 2 π -π π x2 -1 + 2 x x2 - 1 ϕ +x2 - 1 2 ϕ 2 x2 - 1 ϕ n ϕ = 1 2 π -π π x + x2 - 1 cos ϕ n ϕ, cos ϕ 是偶函数 ⟹ Pn(x) = 1 π 0 π x + x2 - 1 cos ϕ n ϕ —— Laplace 's 积分 t = 1 π Integratex + x2 - 1 Cos[ϕ] n , {ϕ, 0, π}, Assumptions {n ∈ Integers, n > 0, x > 0}; n0 = 4; FullSimplify[(t /. n n0) - LegendreP[n0, x]] t[n_, x_] := 1 π Integratex + x2 - 1 Cos[ϕ] n , {ϕ, 0, π}; n0 = 4; x0 = 2 + ; FullSimplify[t[n0, x0] - LegendreP[n0, x0]] tp = 1 π Integrate x0 + x02 - 1 Cos[ϕ] n0 , {ϕ, 0, π} LegendreP[n0, x0] 0 - 83 2 + 90 - 83 2 + 90 13.4 Legendre多项式的正交完备性 正交 不同阶的Lengendre函数正交，即： -1 1 Pm(x) Pn(x) x = 2 2 n + 1 δmn, 其中 δmn 为 δ 符号。 z13a.nb 15