(-1y(2n+1)! n!(2n+2+2k)!(n+1)! k+,令:k= 22(n!)2fd(2k+1)!24(m-k)!24(2n+2)!(n+1+k)! lyu (2-2p)! 以下代码验证PA(1)=1 r,0 这样,两个表达式形式上完全相同,对任意自然数l,PAx)可写成统一的表达式: 为偶数 (x)= (2-2n)!/(-!-2n!)x2x,级数表示|R 为奇数 它是如下阶 Legendre方程在x=±1处有界的解,称为l阶 Legendre多项式,也称l次 Legendre多项式 ndre方程 dx 在这里,我们看到通过P(x)l=1=P(1)=1来确定c与c1的第一个理由:Px)有统一的表达式 该常微分方程的另一个线性无关解为:Q(x),称为第二类 Legendre函数,在x=±1处无界。 关于第二类 Legendre函数,将在以后的章节讨论 ■几个低阶 Legendre多项式,注意其奇偶性 P2(x)=(3x2-1) P2(x) P P2(x)=(35x-30x2+3) endre [3, x]
= (-1)n (2 n + 1)! 22 n (n!)2 k=0 n 22 k (2 k + 1)! (-1)k n! 2k (n - k)! (2 n + 2 + 2 k)! (n + 1)! 2k (2 n + 2)! (n + 1 + k)! x2 k+1, 令： k = n - r = (-1)n 22 n+1 r=0 n 1 (l - 2 r)! (-1)n-r 1 r! (2 l - 2 r)! (l - r)! xl-2 r = 1 2l r=0 n (-1)r r! (2 l - 2 r)! (l - r)! (l - 2 r)! xl-2 r 以下代码验证 Pl(1) = 1 Clear[l]; l = 2 n + 1; Sum (-1)r (2 l - 2 r)! 2l r! (l - r)! (l - 2 r)! , {r, 0, n} 1 这样，两个表达式形式上完全相同 ，对任意自然数 l，Pl(x) 可写成统一的表达式 ： Pl (x) = 1 2l r=0 R (-1)r r! ((2 l - 2 r)!/((l - r)! (l - 2 r)! )) xl-2 r, 级数表示 R = l 2 l 为偶数 l - 1 2 l 为奇数 即： R = l 2 (1.4) 它是如下 l 阶Legendre 方程 在 x = ±1 处有界 的解，称为 l 阶 Legendre 多项式，也称 l 次 Legendre 多项式 x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 —— l 阶 Legendre 方程 在这里，我们看到通过 Pl(x) x=1 = Pl(1) = 1 来确定 c0 与 c1 的第一个理由 ：Pl(x) 有统一的表达式 。 该常微分方程的另一个线性无关解为 ：Ql(x)，称为第二类 Legendre 函数，在 x = ±1 处无界。 关于第二类 Legendre 函数，将在以后的章节讨论 。 ◼ 几个低阶Legendre多项式，注意其奇偶性 P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 3 x2 - 1 P3(x) = 1 3 5 x3 - 3 x P4(x) = 1 8 35 x4 - 30 x2 + 3 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P1(x) P3(x) P5(x) -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P2(x) P4(x) P6(x) LegendreP[3, x] 1 2 (-3 x + 5 x3) 6 z13a.nb
13a. nb c1ear【"G1oba1`"] g1= Plot[[LegendreP[l, x], LegendreP [3, x], LegendreP [5,x]] Plotstyle+[[Red], (Magenta, Dashed], [Blue, Thick, Dotted]], PlotLabel- LegendreP [n, x], PlotLegends+"Expressions"] g2= Plot[(LegendreP [2, x], Legendrep[4, x], LegendreP[6,x]] [x,-1, 1), PlotRange+[-1, 1] Plotstyle+[[Red],[Magenta, Dashed, (Blue, Thick, Dotted]] rid[{{g1,g2}}] so far so good,直到发现番 Mathematica给出:Pn(1)=1 LegendreP[1 /2, 1 本小节的开始处,用高斯判据判定 Legendre方程 d dx 在l为非整数时,两个线性无关解: d(2k)! 在x=±1都是发散的,如何理解在/=一时,Pn(1)=1? 显然,l为非整数v时,P,(x)*yx),P(x)≠y1(x),应该是y与y的线性组合y 这种组合需满足两个条件
Clear["Global`*"] g1 = Plot[{LegendreP[1, x] , LegendreP[3, x], LegendreP[5, x]}, {x, -1, 1}, PlotRange {-1, 1}, PlotStyle {{Red}, {Magenta, Dashed}, {Blue, Thick, Dotted}}, PlotLabel LegendreP[n, x], PlotLegends "Expressions"]; g2 = Plot[{LegendreP[2, x], LegendreP[4, x], LegendreP[6, x]}, {x, -1, 1}, PlotRange {-1, 1}, PlotStyle {{Red}, {Magenta, Dashed}, {Blue, Thick, Dotted}}, PlotLabel LegendreP[n, x], PlotLegends "Expressions"]; Grid[{{g1, g2}}] -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P1(x) P3(x) P5(x) -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P2(x) P4(x) P6(x) ◼ so far so good, 直到发现 Mathematica 给出：P1/2(1) = 1 LegendreP[1 / 2, 1] 1 本小节的开始处 ，用高斯判据判定Legendre方程 x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 在 l 为非整数时 ，两个线性无关解 ： y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1 在 x = ±1 都是发散的 ，如何理解在 l = 1 2 时，P1/2(1) = 1? 显然， l 为非整数 v 时，Pv(x) ≠ y0(x)，Pv(x) ≠ y1(x)，应该是 y0 与 y1 的线性组合 y2 y2(x) = b0 y0(x) + b1 y1(x) 这种组合需满足两个条件 ： z13a.nb 7
2)当y退化为偶数或奇数时,y分别退化为y与y 把两个发散函数线性组合出一个有限函数,正是物理上常用的手段 看y(x)在x=±1时的发散行为:y(x)=co (2k)! k 1-x2k 得:x→±1时,yo(x)~ln 再看y1(x)在x=±1时的发散行为:y1(x)=c1 +11x2 y(±1)=±c1)ak 3 得:x→±1时,y(x)~ln 所以,1与y在x=1的发散行为,是可以通过线性组合消去的 当然,这里只能消去x=1或x=-1的发散,构造在x=1或x=-1的有限的解 若要在x=±1都收敛的解,只能是整数 在x=1点的邻域求解 数学上,当然另有做法:在x=1邻域求解 Legendre方程: d x2)+m(+1)y=0,T为常数 注意:z=1是该微分方程的正则奇点而不是常点。 根据 Frobenius and Fuchs定理,方程至少有一个以下形式的解 y(x)=(x-1))c(x-1) 按照标准做法,先求指标p,再求系数ck间的关系,可得到一个解为 r(v+k+1) P,(r) 台(k!2r(-k+ 这个解在x=1是收敛的,满足:P(1)=1,并且 a.当v为偶数时,P,(x)退化为yx),v次 Legendre多项式(仅含偶次幂) b.当v为奇数时,P4(x)退化为y(x),v次 Legendre多项式(仅含奇次幂) c.对一般的v值,P(x)称为第一类 Legendre函数,不再是多项式
1) y2(1) = 1 有限； 2) 当 v 退化为偶数或奇数时 ，y2 分别退化为 y0 与 y1 把两个发散函数线性组合出一个有限函数 ，正是物理上常用的手段 。 看 y0(x) 在 x = ±1 时的发散行为 ：y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k y0(±1) = c0 k=0 ∞ ak ak = 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k ⟹ ak ak+1 ∼ k + 1 k + o 1 k2 ⟹ ak ∼ 1 k 比较：ln 1 1 - x2 = k=0 ∞ 1 k x2 k 得：x ±1 时，y0(x) ∼ ln 1 1 - x2 再看 y1(x) 在 x = ±1 时的发散行为 ： y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1 y1(±1) = ±c1 k=0 ∞ ak ak = 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k ⟹ ak ak+1 ∼ k + 3 2 k + 1 2 + o 1 k2 ⟹ ak ∼ 1 k + 1 2 比较：ln 1 + x 1 - x = k=0 ∞ 1 k + 1 2 x2 k+1 得：x ±1 时，y1(x) ∼ ln 1 + x 1 - x 所以，y0 与 y1 在 x = 1 的发散行为 ，是可以通过线性组合消去的 。 当然，这里只能消去 x = 1 或 x = -1 的发散，构造在 x = 1 或 x = -1 的有限的解 。 若要在 x = ±1 都收敛的解 ，l 只能是整数 。 ◼ 在 x = 1 点的邻域求解 数学上，当然另有做法 ：在 x = 1 邻域求解 Legendre 方程： x 1 - x2 y x + v(v + 1) y = 0 ，v 为常数 注意：z = 1 是该微分方程的 正则奇点而不是常点。 根据 Frobenius and Fuchs 定理，方程至少有一个以下形式的解 y(x) = (x - 1)ρ k=0 ∞ ck (x - 1)k 按照标准做法 ，先求指标 ρ，再求系数 ck 间的关系 ，可得到一个解为 Pv(x) = k=0 ∞ 1 (k !)2 Γ(v + k + 1) Γ(v - k + 1) x - 1 2 k 这个解在 x = 1 是收敛的 ，满足：Pv(1) = 1，并且， a. 当 v 为偶数时，Pv(x) 退化为 y0(x)，v 次 Legendre 多项式（仅含偶次幂） b. 当 v 为奇数时，Pv(x) 退化为 y1(x)，v 次 Legendre 多项式（仅含奇次幂） c. 对一般的 v 值，Pv(x) 称为第一类 Legendre 函数，不再是多项式 8 z13a.nb
13a. nb d.在x=-1,P1(x)对数发散 另外,这个方程的两个指标是重根,另一个线性无关解必定在x=1以对数形式发散 以下番 Mathematica代码验证上述结论:a与b Clear [n, v, x, Pn, Pv] (2n-2r)! x1-2,{x,0,E1oor (n-x)!(n-2r) 1 Gamma [v+k+1 Pv[v,x]:= Sum (k !)<Gamma n=10 tl Simplify [Pn [n, x]] t2 Simplify [Pv[v, x]] Simplify [tl-t2] 132 Legendre多项式的生成函数及递推关系 实际上,最早研究 Legendre多项式的出发点并不是微分方程 而是源于1785年 Legendre对天体相互作用势能的研究 这些研究导致后来在电磁、引力场的所谓多极展开概念 如图,要计算位于P点的质量元在Q点的引力势能 显然,势能可表为:kk k为常数因子 由余弦定理:PQ=c=ya2+b2-2 a bcos6 从而 通常,天体之间的距离远大于天体本身的尺寸, 即:ab,V=k(1+-21os)-1n,其中:t=日<1 为计算方便,希望势能卩可以展开为t=a的级数形式。 令:x=cos6,则:V=(1+p2-2nx2 gendre对函数r(x,0=(1+P-21x)10进行 Taylor)展开, 发现展开系数是x的多项式,具有许多有趣的性质 以下我们对函数w(x,D进行 Taylor,展开 因为函数m(x,n=(1+P-21x)在t=0解析,故可做Tay展开,表为t的幂级数 本节将利用常微分方程的知识证明展开系数:Pn(x)=P(x)— Legendre多项式
d. 在 x = -1，Pv(x) 对数发散 另外，这个方程的两个 指标是重根，另一个线性无关解必定在 x = 1 以对数形式发散 。 以下 Mathematica 代码验证上述结论：a 与 b。 Clear[n, v, x, Pn, Pv]; Pn[n_, x_] := 1 2n Sum (-1)r r! (2 n - 2 r)! (n - r)! (n - 2 r)! xn-2 r, r, 0, Floor n 2 Pv[v_, x_] := Sum 1 (k!)2 Gamma[v + k + 1] Gamma[v - k + 1] x - 1 2 k , {k, 0, ∞} n = 10; v = n; t1 = Simplify[Pn[n, x]]; t2 = Simplify[Pv[v, x]]; Simplify[t1 - t2] 0 13.2 Legendre 多项式的生成函数及递推关系 实际上，最早研究 Legendre 多项式的出发点并不是微分方程， 而是源于1785年 Legendre 对天体相互作用势能的研究。 这些研究导致后来在电磁、引力场的所谓多极展开概念。 如图，要计算位于 P 点的质量元在 Q 点的引力势能 。 显然，势能可表为 ：V = k PQ = k c ，k 为常数因子 。 由余弦定理 ：PQ = c = a2 + b2 - 2 a b cos θ 从而：V = k a2 + b2 - 2 a b cos θ Q c b θ a P 通常，天体之间的距离远大于天体本身的尺寸， 即：a ≪ b，V = k b 1 + t2 - 2 t cos θ -1/2 , 其中： t = a b ≪ 1， 为计算方便，希望势能 V 可以展开为 t = a b 的级数形式。 令：x = cos θ, 则：V = k b 1 + t 2 - 2 t x -1/2 = k b w(x, t) Legendre对函数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 进行Taylor展开， 发现展开系数是 x 的多项式，具有许多有趣的性质。 以下我们对函数 w(x, t) 进行Taylor展开。 因为函数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 在 t = 0 解析，故可做Taylor展开，表为 t 的幂级数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 = n=0 ∞ n(x) t n, (1.5) 本节将利用常微分方程的知识证明展开系数：n(x) = Pn(x) —— Legendre 多项式。 z13a.nb 9
10 z13anb 注:也可以利用二项式定理 对M<有(+=其中:()x 严格证明Tn(x)就是上一节定义的 Legendre函数Pn(x) 这个证明过程稍嫌繁琐,有兴趣的同学可参阅 L C Andrews"Special Functions of Mathematics for Engineers 或:吴崇试《数学物理方法》 Q递推关系 先导出展开系数Pn(x)的递推关系。 先导出不含导数的递推关系, Taylor展开式(1.5)两边同时对t求偏导,得 w(r, n) dw(x, n) =NpN(x)r 上式两边同乘以(1+2-21x)得 =(1+2-21)2nP)r (1+p-21x)y =(-0∑=-1+2-21)∑r- 整理:(注:这里为写成一个式子,隐含了P-(x)=0。) xPnx)-Pa-1(x]r=)In+1)Pn(x)+(n-1)Pn-1(x)-2xnPx)lr 方程两边P的系数相等: (2n+1)xP2()=(n+1)Pn1(x)+nP1(x)常用于从Pn-1与P求P 展开式(15:1(+P-2()2=甲(r两边同时对x求偏导,得 P"(x)P,令t=0,得:(x) (1+p2-2tx)y 联 dw(x, t 上两式相除得:(x-0)P()r=t)nPx)r1 整理:(注:这里为写成一个式子,隐含了P1(x)=0。) npn(x)=>IxP(x)-Pn-i(x)]m 方程两边P的系数相等: npn(x)=xpn(x)-pn-I(x) 以上两个递推关系来自生成函数展开式分别对x和t求偏导,容易想到。 接着,还需要或者能导出一些什么递推关系呢? 递推关系(16)用于从P1与Pn求Pm1,(1.7)可用于求P:xP=nPn+P1
注：也可以利用 二项式定理 对 t < 1, 有：(1 + t)r = k=0 ∞ r k t k, 其中： r k = (r)k k ! 严格证明 n(x) 就是上一节定义的 Legendre 函数 Pn(x)。 这个证明过程稍嫌繁琐 ，有兴趣的同学可参阅 ： L C Andrews "Special Functions of Mathematics for Engineers" 或：吴崇试 《数学物理方法 》 递推关系 先导出展开系数 n(x) 的递推关系。 先导出不含导数的递推关系，Taylor展开式 (1.5) 两边同时对 t 求偏导，得 w(x, t) = 1 1 + t 2 - 2 t x 1/2 = n=0 ∞ n(x) t n ⟹ ∂ w(x, t) ∂ t = x - t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 = n=0 ∞ n n(x) t n-1, 上式两边同乘以 1 + t 2 - 2 t x 得 x - t 1 + t 2 - 2 t x 1/2 = 1 + t 2 - 2 t x n=0 ∞ n n(x) t n-1 ⟹ (x - t) n=0 ∞ n(x) t n = 1 + t 2 - 2 t x n=0 ∞ n n(x) t n-1 整理：（注：这里为写成一个式子 ，隐含了-1(x) = 0 。） n=0 ∞ [x n(x) - n-1(x)] t n = n=0 ∞ [(n + 1) n+1(x) + (n - 1) n-1(x) - 2 x n n(x)] t n 方程两边 t n 的系数相等 ： (2 n + 1) x n (x) = (n + 1) n+1 (x) + n n-1 (x) 常用于从 n-1 与 n 求 n+1 (1.6) Taylor展开式 (1. 5) ：1 + t 2 - 2 t x -1/2 = n=0 ∞ n(x) t n 两边同时对 x 求偏导，得 ∂ w(x, t) ∂ x = t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 = n=0 ∞ n ′ (x) t n, 令 t = 0, 得： 0 ′ (x) = 0 联立： ∂ w(x, t) ∂ t = x - t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 = n=0 ∞ n n(x) t n-1 上两式相除得 ：(x - t) n=0 ∞ n ′ (x) t n = t n=0 ∞ n n(x) t n-1 整理：（注：这里为写成一个式子 ，隐含了-1 ′ (x) = 0 。） n=0 ∞ n n(x) t n = n=0 ∞ [ x n ′ (x) - n-1 ′ (x)] t n 方程两边 t n 的系数相等 ： n n(x) = x n ′ (x) - n-1 ′ (x) (1.7) 以上两个递推关系来自生成函数展开式分别对 x 和 t 求偏导，容易想到。 接着，还需要或者能导出一些什么递推关系呢？ 递推关系 (1.6) 用于从 n-1 与 n 求 n+1， (1.7) 可用于求 n ′ ：x n ′ = n n + n-1 ′ 10 z13a.nb