复变函数的积分 21积分的定义和性质 复变函数积分的定义 类似于实变函数,可定义复变函数的积分。 定义:设函数f()在光滑或分段光滑的曲线L上有定义,则f(-)沿L路线积分定义如下 曲线L分成n段,在每段k-xk-=4k间任取一点k,若求和式 S=∑(6)△x的极限mS=|)d 存在,则称板限值为几()在L上的积分,记为,J(=)d: 注意极限存在须与1.弧段的分法2.5k在zk1到k间的取法无关 Sk/Ek 0
2 复变函数的积分 2.1 积分的定义和性质 复变函数积分的定义 类似于实变函数，可定义复变函数的积分。 定义：设函数 f (z) 在光滑或分段光滑的曲线 L 上有定义，则 f (z) 沿 L 路线积分定义如下： 把曲线 L分成 n 段，在每段 zk - zk-1 = Δ zk间任取一点 ξk，若求和式 Sn = n k=1 f (ξk) Δ zk 的极限 lim max {Δ zk} Sn = L f (z) z (1.1) 存在，则称极限值为 f (z) 在 L上的积分，记为： ∫L f (z) z。 注意极限存在须与 1. 弧段的分法 2. ξk 在 zk-1 到 zk 间的取法 无关 0 5 10 15 x 2 4 6 8 10 y z0 z1 z2 zk-1 ξ1 ξ2 ξk zk zn L
f(=d== lin (k+ivk)(4xk+i△yk)= f()d==(udx-vdy)+i(udy+vdx 第二类曲线积分 若曲线L由参数方程确定,则可化为参数方程的积分 曲线L: f()d=|1d=(=(=dt=实部与虚部两个一元函数的积分 复变函数积分的性质 ■若曲线L=L1+L2+ ■若曲线L与L-反向,则 f(-)d==-|f(-)d 线性: af()±a(川d=a1|(da2|()d=,其中a1,a2为常复数 ■不等式(在证明积分为0时常用) f()d==()I ld= )A=∑|)|1x两边取极限即得 ■上限:若M为|f()在曲线L上的上界,则 f(-)d-≤Ml, 为曲线L的长度 例题:1=Red=,L为:L1从原点到1+i的直线:L2从原点到1,再到1+i
L f (z) z = lim max Δ xk 0 max Δ yk 0 k=1 n (uk + vk) (Δ xk + Δ yk) = lim max Δ xk 0 max Δ yk 0 k=1 n [uk Δ xk - vk Δ yk + (uk Δ yk + vk Δ xk)] L f (z) z = L (u x - v y) + L (u y + v x) 第二类曲线积分 ◼ 若曲线 L 由参数方程确定，则可化为参数方程的积分 曲线 L： x = x(t) y = y(t) , L f (z) z = L f [z(t)] z(t) = t1 t2 f [z(t)]z′ (t) t ⟹ 实部与虚部两个一元函数的积分 复变函数积分的性质 ◼ 若曲线 L = L1 + L2 + ... + Ln，则 L f (z) z = k=1 n Lk f (z) z ◼ 若曲线 L 与 L- 反向，则 L f (z) z = -Lf (z) z ◼ 线性： L [a1 f1(z) ± a2 f2(z)] z = a1 L f1(z) z ± a2 L f2(z) z，其中 a1, a2 为常复数 ◼ 不等式（在证明积分为 0 时常用） L f (z) z ≤ L f (z) z 证明： k=1 n f (ξk) Δ zk ≤ k=1 n f (ξk) Δ zk , 两边取极限即得 ◼ 上限：若 M 为 f (z) 在曲线 L 上的上界，则 L f (z) z ≤ M l, l 为曲线 L 的长度 1+ 1 x y L1 L2 1+ 2+ 2+4 x y L1 L2 L3 ☺ 例题： I = L Re z z，L 为： L1 从原点到 1 + 的直线； L2 从原点到 1，再到 1 + 2
沿L1 d(ren/4) (1+i), 其中利用了复变函数的求导法则与实变函数同:d()==()dt,d(re4)=endr 沿L2I Crdx+fidy 对本题的积分,积分路径不同时,积分值不同 例题:1==d=,L为:L1从1+i到2+4i的直线 L2沿直线1+i到2+i,再到2+4i L3从1+i沿过0,1+i,2+4i的抛物线到2+4i 沿L1:直线方程:y=3x-2 =(x+iy2d(x+iy),以y=3x-2代入 =|x+i(3x-2)2d[x+i(3x-2) 沿L2.第一段y=1,dy=0,h=|(x+i)dx=+3 二段:x=2,dx=0,h=(2+iy)2d(iy)=-30-9i 沿L3:抛物线方程:y=x2代入 (x+iyPd(r+iy)=[(r+ix)'d(+ix?), FlF d(x+ix2)=(1+2ix)d 对本题的积分,积分路径不同时,积分值相同 ■在什么情况积分值才与积分路径无关? f()d=adx-dy+iudy+rdx)=两个实变二元函数的第二类曲线积分 实二元函数第二类曲线积分|(Pdx+Qdy) 积分值与积分路径无关的条件:P=Qx 应用到复分若n,v满足C-R条件,则积分就可能与路径无关 是否解析函数的积分与路径无关?充分?必要? 其实还有其它条件:单连通有界区域、一阶偏导数连续。这就是下一节的 Cauchy定理
沿 L1： z = r π/4, I = 0 2 r cos π 4 r π/4 = 0 2 r π/4 cos π 4 r = 1 2 (1 + )， 其中利用了复变函数的求导法则与实变函数同 ：z(t) = z′(t) t, r π/4 = π/4 r 沿 L2： I = 0 1 x x + 0 1 1 y = 1 2 + 对本题的积分 ，积分路径不同时 ，积分值不同 。 ☺ 例题： I = L z2 z，L 为： L1 从 1 + 到 2 + 4 的直线； L2 沿直线 1 + 到 2 + ，再到 2 + 4 ； L3 从 1 + 沿过 0, 1 + , 2 + 4 的抛物线到 2 + 4 沿 L1： 直线方程 ：y = 3 x - 2, ⟹ I = (x + y)2 (x + y)，以 y = 3 x - 2 代入 = 1 2 [x + (3 x - 2)]2 [x + (3 x - 2)] = 1 2 [(1 + 3 ) x - 2 ]2 (1 + 3 ) x = - 86 3 - 6 1+ 2+ 2+4 x y L1 L2 L3 沿 L2： 第一段 y = 1， y = 0， I1 = 1 2 (x + )2 x = 4 3 + 3 ， 第二段：x = 2， x = 0， I2 = 1 4 (2 + y)2 ( y) = -30 - 9 I = I1 + I2 = - 86 3 - 6 沿 L3： 抛物线方程 ：y = x2 代入 I = x=1 x=2 (x + y) 2 (x + y) = x=1 x=2 x + x2 2 x + x2，利用 x + x2 = (1 + 2 x) x I = x=1 x=2 x + x2 2 (1 + 2 x ) x = x=1 x=2 x2 + 4 x3 - 5 x4 - 2 x5 x = - 86 3 - 6 对本题的积分 ，积分路径不同时 ，积分值相同 。 ◼ 在什么情况积分值才与积分路径无关？ L f (z) z = L (u x - v y) + L (u y + v x) ⟹ 两个实变二元函数的第二类曲线积分 实二元函数第二类曲线积分 L (P x + Q y) 积分值与积分路径无关的条件 ：Py = Qx 应用到复积分 若 u, v 满足 C-R 条件，则积分就可能与路径无关 。 是否解析函数 的积分与路径无关 ？充分？必要？ 其实还有其它条件 ：单连通有界区域 、一阶偏导数连续 。这就是下一节的 Cauchy 定理。 3
0x/2 例题:若〓在上半平面及沿实轴趋于∞时,〓f(-)一致趋于0(与二趋于∞的辐角无关 只要其辐角θ=argz满足0≤θ≤π),即 如果:lim=f(-)=0,0≤6=arg-≤r, 则:沿上半平面任意一段圆心于原点半径为R的圆弧:Iimf()d==0 证明:这是第一次遇到求证积分为0的问题,今后方法多与此相似。 要证明积分值为0,只需证明积分值的模为0。常利用f()d|≤|U(,下证之。 Ce|Celd.需证明:m/=0 =Rele s d== Riele de ld==Rlde s ld==kl ldel I=v() WIlde= fE)Ide<e lde=E|%2-81 其中因为:Iim=f()=0,故c>0,可找到R 使得当|>R时,|=fc川<E,现取R>R,则有:|fc川d<Ede 也就是说,无论给定多么小的E>0,均可找到一个R",当R>R时,0<1<E 或更简单地,写成 =(= s max =fc(=m川×1-L R→∞时,=f()→0,故maxf()可小于任意小量 例题: Jordan引理:若=在上半平面及实轴上趋于∞o时,f(-)一致趋于0,即 mf(-)=0,0≤6=arg=≤r, 则沿上半平面任意一段圆心于原点半径为R的圆弧 f(-)emd==0,其中m>0 证明:方法类似于上一题。在大圆弧CR上, ==Ree a d==Riele de ld==Rlg s d==lldel
x y R∞ -R R θ1 θ2 CR x y 0 π/2 π 1 y=sinx y= 2 π x ☺ 例题： 若 z 在上半平面及沿实轴趋于 ∞ 时， z f (z) 一致趋于 0（与 z 趋于 ∞ 的辐角无关， 只要其辐角 θ = arg z 满足 0 ≤ θ ≤ π），即 如果： lim z∞z f (z) = 0, 0 ≤ θ = arg z ≤ π, 则：沿上半平面任意一段圆心于原点半径为 R 的圆弧： lim R∞ CR f (z) z = 0 证明：这是第一次遇到求证积分为 0 的问题，今后方法多与此相似。 要证明积分值为 0，只需证明积分值的模为 0。常利用 L f (z) z ≤ L f (z) z，下证之。 CR f (z) z ≤ CR f (z) z = I，需证明： lim R∞I = 0 z = R θ ⟹ z = R θ θ ⟹ z = R θ ⟹ z = z θ I = CR f (z) z θ = CR z f (z) θ < ε CR θ = ε θ2 - θ1 其中因为 ： lim z∞z f (z) = 0，故 ∀ ε > 0， 可找到 R′ ， 使得当 z > R′ 时， z f (z) < ε，现取 R > R′ ，则有： CR z f (z) θ < ε CR θ 也就是说 ，无论给定多么小的 ε > 0，均可找到一个 R′′, 当 R > R′′ 时，0 < I < ε 或更简单地 ，写成 I = CR z f (z) z z ≤ max z f (z) θ1 θ2 θ = max z f (z) θ2 - θ1, R ∞ 时，z f (z) 0，故 max z f (z) 可小于任意小量 。 ☺ 例题： Jordan 引理：若 z 在上半平面及实轴上趋于 ∞ 时， f (z) 一致趋于 0，即 lim z∞ f (z) = 0, 0 ≤ θ = arg z ≤ π, 则沿上半平面任意一段圆心于原点半径为 R 的圆弧： lim R∞CR f (z) m z z = 0，其中 m > 0 证明：方法类似于上一题。在大圆弧 CR 上， z = R θ ⟹ z = R θ θ ⟹ z = R θ ⟹ z = z θ 4
(()eim:id==velle m=lld=1= 因为=为复数,m|*1,而是|m1=mRcm+m=c一m知 I= U(Ix e-mR sineRldel= ER B, e-m Sine del 意此时ε→0,但R→∞,不能确定ER→0,故需要算出对θ的积分。 对辐角大于一的那一段圆弧,可通过变换=丌-6化为一段辐角在0到一之间的积分 例如:层mM二cmm试例 对任一段辐角在0到一之间的积分,利用0≤6≤x/2时有sn6>-B, re-m ROmin-e-mR6nan e-mRsne ld≤ de= 代入l可得:I=rER 3(e-mRm-e一mRm)→0 若m<0,如(=)cmd==0则要求当=在下半平面趋于∞时,f)-致趋于0 上一章提到的积分(见下)就是利用<6≤m的任一段大圆弧上CR上的积分为0。当然还要利用一个闭合回 路的积分为0把积分化为沿二+1=(固定=3nr从0到无穷)进行。至于什么条件下沿闭合路径积 分为0,下一节就将讨论。 17x)dx 22 Cauchy定理 复变函数的积分实际上为两个二元实变函数的第二类(对坐标的)曲线积分。在什么条件下,积分值与路径无关? 从二元实变函数的格林公式 dx+ody= dxdy=(@-Py)dxdy 可知,如果Py=Qx,实变函数的第二类曲线积分则积分就与路径无关,从而复变函数积分 f()d==(udx-vdy)+i(udy+rdx) 与积分路径无关的条件是:4=-x且x=v,∈=CR条件+格林公式的条件。 单连通区域的 Cauchy定理 定理:设f(-)在单连通区域D内解析,则f()在D内沿任意一光滑或分段光滑闭合回路的积分为0
CR f (z) m z z ≤ CR f (z) m z z = I 因为 z 为复数， m z ≠ 1，而是 m z = m (R cos θ + R sin θ) = -m R sin θ I = CR f (z) -m R sin θ R θ = ε R θmin θmax -m R sin θ θ 注意此时 ε 0, 但 R ∞, 不能确定 ε R 0, 故需要算出对 θ 的积分。 x y 0 π/2 π 1 y=sinx y= 2 π x 对辐角大于 π 2 的那一段圆弧 ，可通过变换 ϕ = π - θ 化为一段辐角在 0 到 π 2 之间的积分 ， 例如：π/2 π -m R sin θ θ ϕ =π-θ 0 π/2 -m R sin ϕ ϕ 对任一段辐角在 0 到 π 2 之间的积分 ，利用 0 ≤ θ ≤ π/ 2 时有 sin θ > 2 π θ, 故：θmin θmax -m R sin θ θ ≤ θmin θmax -m R 2 π θ θ = π- m R θmin - - m R θmax 2 m R 代入 I 可得：I = π ε R - m R θmin - - m R θmax 2 m R = π ε 2 m - m R θmin - - m R θmax 0 若 m < 0， lim R∞CR f (z) m z z = 0 则要求当 z 在下半平面趋于 ∞ 时，f (z) 一致趋于 0。 上一章提到的积分（见下）就是利用 π 2 < θ ≤ π 的任一段大圆弧上 CR 上的积分为 0。当然还要利用一个闭合回 路的积分为 0 把积分化为沿 z + 1 = r θ0 （固定 θ0 = 2 3 π，r 从 0 到无穷）进行。至于什么条件下沿闭合路径积 分为 0，下一节就将讨论。 -∞ -1 x - x2 - 1 17 -1 2 x2-1 cos(17 x) d x 2.2 Cauchy 定理 复变函数的积分实际上为两个二元实变函数的第二类（对坐标的）曲线积分。在什么条件下，积分值与路径无关？ 从二元实变函数的格林公式 P x + Q y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y x y = (Qx - Py) x y 可知，如果 Py = Qx，实变函数的第二类曲线积分则积分就与路径无关，从而复变函数积分 f (z) z = (u x - v y) + (u y + v x) 与积分路径无关的条件是： uy = -vx 且 ux = vy ⟸ C-R 条件 + 格林公式的条件 。 单连通区域的Cauchy定理 定理：设 f (z) 在单连通区域 D内解析，则 f (z) 在 D内沿任意一光滑或分段光滑闭合回路的积分为 0。 5