解析函数的级数表示 高阶导数的 Cauchy公式 f(eds 2Ti f() 可用于计算一些定积分,其中∫(-)必须在闭合回路围成的区域内解析。 把被积函数的不解析部分归结到 但是一般函数的积分如何计算?或者说能否将非解析部分归结为-1 另一方面,我们已求得 =tIoN 如何利用这一性质?若能将f()写成以下的级数形式,似乎即可求出积分 因此,本章涉及的问题 函数的级数表示:函数写成无穷项幂函数之和 求积分和无穷项的求和次序对调 ·函数的奇异性(非解析特性)用 形式来描述 31复变函数项级数 为讨论函数的幂函数级数表示,先讨论一般函数项级数 Q复变函数级数的敛散性 复变函数级数:无穷级数,每一项都是一个复变函数 部分和:S)=Swe)有限项求和一定收敛(其实也不必引入收敛的概念) 如果极限 lim S(z)=S()对某一点z存在,则称 复变函数级数在〓点收敛。S()称为级数在〓点的和
3 解析函数的级数表示 高阶导数的Cauchy公式 C f (ξ) ξ (ξ - z)n+1 = 2 π n ! f (n) (z) 可用于计算一些定积分，其中 f (z) 必须在闭合回路围成的区域内解析。 把被积函数的不解析部分归结到 1 (ξ - z)n+1 中。 但是一般函数的积分如何计算？或者说能否将非解析部分归结为 1 (ξ - z)n+1 。 另一方面，我们已求得 ：C z (z - a) n = 2 π δn,1 如何利用这一性质？若能将 f (z) 写成以下的级数形式，似乎即可求出积分 f (z) ？？？？ n cn (z - a)n 因此，本章涉及的问题： 函数的级数表示：函数写成无穷项幂函数之和 求积分和无穷项的求和次序对调 函数的奇异性（非解析特性）用 1 (ξ - z)n+1 形式来描述 3.1 复变函数项级数 为讨论函数的幂函数级数表示，先讨论一般函数项级数。 复变函数级数的敛散性 ◼ 复变函数级数：无穷级数，每一项都是一个复变函数 k=0 ∞ wk(z) = w0(z) + w1(z) + w2(z) + ... ◼ 收敛： 部分和：Sn(z) = k=0 n wk(z) 有限项求和一定收敛 （其实也不必引入收敛的概念 ） 如果极限 lim n ∞Sn(z) = S(z) 对某一点 z 存在，则称 复变函数级数在 z 点收敛。S(z) 称为级数在 z 点的和
2 Z03a nb 因为wk()=l(x,y)+in(x,y),故复变函数级数可视为两个二元实变函数级数, 复函数级数收敛 两二元实函数级数收敛。 wA(=)收敛 l4(x,y)和v4(,y)都收敛 收敛的必要条件 证明:imwk()=lim[S4()-S4-1()=IimS4(=)-limS-1()=S-)-S()=0 ■收敛的充要条件— Cauchy判据 VE>0,彐ME,z),使得当n>N(e,=)时,对任意自然数p,均有 I Sm+p()-Sm()1=>wm+ e)<a ·Wk-1Wk·wNN+ +…W 收敛的必要条件(1.1)式:1 lim wk()=0对应于p=1 Q绝对收敛 定义:Sm在:点收敛,则称级数Sv()在:点绝付收敛 若级数本身收敛,各项加绝对值之后的级数不收敛,则称条件收敛 ■若级数绝对收敛,则该级数一定收敛,反之不然。 ■收敛的判别法(与实变函数相同,因为加绝对值之后就变为实函数了) 比值法: q<1,绝对收敛 q>1,发散 q=1,不确定 Im叶<1绝对收敛 >1发散 n→ahwn(=川 根式法 收敛 lim v hn(=q{q>1,发散 q=1,不确定 q<1,收敛 iymw=q{q>1,发散 q=1不确定 高斯法,当比值法遇q=1时常用,当n足够大时
因为 wk(z) = uk(x, y) + vk(x, y)，故复变函数级数可视为两个二元实变函数级数 ， 复函数级数收敛 两二元实函数级数收敛 。 k wk(z) 收敛 k uk(x, y) 和 k vk(x, y) 都收敛 ◼ 收敛的必要条件： lim k∞wk(z) = 0 (1.1) 证明： lim k∞wk(z) = lim k∞[Sk(z) - Sk-1(z)] = lim k∞Sk(z) - lim k∞Sk-1(z) = S(z) - S(z) = 0 ◼ 收敛的充要条件—— Cauchy判据 ∀ ε > 0，∃ N(ε, z)，使得当 n > N(ε, z) 时，对任意自然数 p，均有 Sn+p(z) - Sn(z) = k=1 p wn+k(z) < ε w1 w2 w3 ... wk-1 wk ... wN wN+1 ... wn+1 ... wn+p 收敛的必要条件 (1.1)式：lim k∞wk(z) = 0 对应于 p = 1。 绝对收敛 定义： k=0 ∞ wk(z) 在 z 点收敛，则称级数 k=0 ∞ wk(z) 在 z 点绝对收敛 。 若级数本身收敛，各项加绝对值之后的级数不收敛，则称条件收敛。 ◼ 若级数绝对收敛，则该级数一定收敛，反之不然。 ◼ 收敛的判别法 （与实变函数相同，因为加绝对值之后就变为实函数了） 比值法： lim n∞ wn+1(z) wn(z) = q q < 1, 绝对收敛 q > 1, 发散 q = 1， 不确定 lim n∞ wn+1(z) wn(z) < 1 绝对收敛 lim n∞ wn+1(z) wn(z) > 1 发散 根式法 lim n∞ wn(z) n = q q < 1, 收敛 q > 1, 发散 q = 1， 不确定 lim n∞ wn(z) n = q q < 1, 收敛 q > 1, 发散 q = 1 不确定 高斯法，当比值法遭遇 q = 1 时常用，当 n 足够大时 2 z03a.nb
1收敛 注意区别:高斯法中看 比值法中看|" 比较法 ∑nd收敛且hl则∑u收敛 ∑叫l发散且lal2则∑吗发散 绝对收敛的性质 各项次序可任意调换,级数仍绝对收敛且级数和不变 非绝对收敛级数的求和不一定能任意改变次序 +---+.非绝对收敛 23456 以下推导错误,因为只有绝对收敛才可以改变求和顺序(加法交换律?) 1-3 实际上I=ln2 Sum 可逐项相乘,下式右边仍为绝对收敛级数(乘法分配率与交换律?) 2x12y2 目例题,类似于实函数级数 试证:当日<1, 证明:利用比值法m=<1时,级数绝对收敛 Sn()=1++…+=,=S()=+2+….+=n+1 二者相减:(1-)S()=1-=+1(这里用到加法交换律,对绝对收敛级数是可行的。) 两边取极限:lm(1-)S()=im(1-=+)= (1-) lim Sn(=)=1-lm+=1,S()=
wn wn+1 = 1 + μ n + o 1 nλ , λ > 1 Re μ > 1 收敛 Re μ ≤ 1 发散 注意区别：高斯法中看 wn wn+1 比值法中看 wn+1(z) wn(z) 比较法 n vn 收敛且 un ≤ vn, 则 n un 收敛 n vn 发散且 un ≥ vn, 则 n un 发散 ◼ 绝对收敛的性质 各项次序可任意调换，级数仍绝对收敛且级数和不变 ▲ 非绝对收敛级数的求和不一定能任意改变次序 I = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + ... 非绝对收敛 ， 以下推导错误 ，因为只有绝对收敛才可以改变求和顺序 （加法交换律 ？） I = 1 + 1 2 -2× 1 2 + 1 3 + 1 4 -2× 1 4 + 1 5 + 1 6 -2× 1 6 + .... = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... - 2× 1 2 + 1 4 + 1 6 + .... = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... - 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + .... = 0 实际上 I = ln 2 Sum (-1)n-1 n , {n, 1, ∞} Log[2] 可逐项相乘，下式右边仍为绝对收敛级数（乘法分配率与交换律？） k uk l vl = k l uk vl ☺ 例题，类似于实函数级数 试证：当 z < 1, k=0 ∞ zk = 1 1 - z 证明：利用比值法 lim k∞ zk zk-1 = z < 1 时，级数绝对收敛 Sn(z) = 1 + z + ... + zn, z Sn(z) = z + z2 + ... + zn+1 二者相减：(1 - z) Sn(z) = 1 - zn+1 （这里用到加法交换律 ，对绝对收敛级数是可行的 。） 两边取极限 ： lim n∞ (1 - z) Sn(z) = lim n∞1 - zn+1 = 1 (1 - z) lim n∞Sn(z) = 1 - lim n∞zn+1 = 1, S(z) = 1 1 - z z03a.nb 3
z03a. nb Q一致收敛 致:显然应是对某区域或某条曲线而言,不是对一点而言。不同于前述的收敛与绝对收敛。 致收敛概念在积分中有重要应用。 定义:级数m()的每一项在区域D或曲线L上有定义 VE>0,存在与无关的M(e),使得当n>N(e)时,对任意∈D或二∈L,均有 -s)<e其中:Ss()=S) 则称级数在区域D或曲线L上一致收敛于S(二) 一致收敛的充要条件( Cauchy判据):与收敛比较,仅在于N与=无关 Ve>0,彐N(e),使得当n>Ne)时,对任意〓∈D或二∈L,对任意自然数p,均有 Smpe)-Sn(=mokke -I wk WNWN. 注意区别绝对收敛和一致收敛,前者可以对点z定义,后者仅对区域或曲线而定义 致收敛与收敛的区别:找到一个对z∈D或z∈L与z无关的(最大的)N。 比较一致收敛与非一致收敛的充要条件 ▲一致收敛的充要条件 (任意)E>0,彐(一个)N(e) 使得当n>Me)时(对任意的n>N),对任意∈D或=∈L,对任意自然数p,均有 Sn+p(-)-Sn(-)=wm+()<E ▲收敛但不是一致收敛的充要条件: 存在一个E0>0,对任意正整数N,都存在一个m>N及某点0∈D或0∈L,使得对某个自然数p,有 Wn+k(2)2E0 例题:绝对收敛但不是一致收敛例 级数∑(1-)在区域1=1< 解:由比值判别法 k+1(=) =|1<1,=绝对收敛 试试看能不能证明一致收敛。 用E-N判别:YE>0,需要导出存在N,使得对任意n>N Wn+k()<e成立 也就是导出使>wnk()<e成立的充分条件n>N,且N与z无关
一致收敛 一致：显然应是对某区域或某条曲线而言，不是对一点而言。不同于前述的收敛与绝对收敛。 一致收敛概念在积分中有重要应用。 定义：级数 k=0 ∞ wk(z) 的每一项在区域 D 或曲线 L 上有定义 ∀ ε > 0, 存在与 z 无关的 N(ε)，使得当 n > N(ε) 时，对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，均有 S(z) - Sn(z) < ε, 其中：Sn(z) = k=0 n wk(z) 则称级数在区域 D 或曲线 L 上一致收敛于 S(z)。 ◼ 一致收敛的充要条件（Cauchy 判据）： 与收敛比较，仅在于 N 与 z 无关 ∀ ε > 0， ∃ N (ε)，使得当 n > N(ε) 时，对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，对任意自然数 p，均有 Sn+p(z) - Sn(z) = k=1 p wn+k(z) < ε w1 w2 w3 ... wk-1 wk ... wN wN+1 ... wn+1 ... wn+p 注意区别绝对收敛和一致收敛，前者可以对点 z 定义，后者仅对区域或曲线而定义； 一致收敛与收敛的区别：找到一个对 z ∈ D 或 z ∈ L 与 z 无关的（最大的） N。 比较一致收敛与非一致收敛的充要条件： ▲ 一致收敛的充要条件： ∀ （任意） ε > 0， ∃ （一个） N (ε)， 使得当 n > N(ε) 时 （对任意的 n > N），对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，对任意自然数 p，均有 Sn+p(z) - Sn(z) = k=1 p wn+k(z) < ε ▲ 收敛但不是一致收敛的充要条件： 存在一个 ε0 > 0， 对任意正整数 N，都存在一个 n0 > N 及某点 z0 ∈ D 或 z0 ∈ L，使得对某个自然数 p0，有 k=1 p0 wn+k(z) ≥ ε0 ☺ 例题：绝对收敛但不是一致收敛例 级数 k zk-1 - zk 在区域 z < 1 解：由比值判别法 wk+1(z) wk(z) = z < 1，⟹ 绝对收敛 试试看能不能证明一致收敛 。 用 ε - N 判别：∀ ε > 0, 需要导出存在 N，使得对任意 n > N ， k=1 p wn+k(z) < ε 成立 也就是导出使 k=1 p wn+k(z) < ε 成立的充分条件 n > N ，且 N 与 z 无关。 4 z03a.nb
8w<c→-洲<,在区域1=1<1有1-1<2 2l-叫<E 如A=Ne,2)找到N,因此级数是收敛的。 但,是否一致收敛?需要找一个与二无关的N,或者说对|=|<1,找一个N的最大值 由M(E,=) 对|=|<1区域,似乎找不到最大的M(e),应该不是一致收敛 是否一定找不到最大的N(E),当然需要证明。 证法一:利用收敛但不是一致收敛的充要条件证明该级数非一致收敛 对c0=0.1,对任意整数N,都存在某个n0>N 某个自然数和某个点|=0|<1,使得∑wn2≥ 取po=1,=0=-1+6with6=10-M>0,这时对m=N+1 对任意给定的正整数N,只要M足够大,δ就足够小 就可以使(1-10-0x1~1-(+1)10>c=0.1 故在叫<1,原级数不是一致收敛。 这里的关键在于如果N与z无关,〓改变(变、M变)时N不能随之改变。 证法二:利用反证法证明该级数非一致收敛。 设该级数一致收敛,那么对任意E,均可找到一个与无关的M(E),使得当n>N时, 对任意自然数p与满足H<1的,均有:>wn+()<E 下用反证法证明,对p=1就不满足 对n=N+1,p=1,取=0=-1+10-M。显然对任意正整数M,=均满足l<l。 P=1时,(1.2)式退化为 +1-28+1=(1-10-0)+2-10-4>(1-10- 因为N与无关,M变化时,N不变,因此对那个找到的与无关的Ne),我们可以取足够大的M, wnk()>(1-10-)+>e,这就与(1.2)式相矛盾 故找不到与z无关的N。该级数不可能是一致收敛的。 理解(注意,这里的理解并非数学证明):前面已求得N(E,2)=—与有关, 接着应该在区域<1内找到一个最大的N。 显然,在区域<1内 无最大值(因为可以无限接近于1) In E/2 若在<-区域,M(E,z) 在此区域可取最大值 In E/2 对应于 n1/2=N)与无关。 目例题:一致收敛但不是绝对收敛例
k=1 p wn+k(z) < ε zn 1 - zp < ε，在区域 z < 1 有 1 - zp < 2 ⟸ 2 zn < ε ⟸ n > ln ε/2 ln z = N(ε, z) 找到 N ，因此级数是收敛的 。 但，是否一致收敛 ？需要找一个与 z 无关的 N，或者说对 z < 1 ，找一个 N 的最大值 。 由 N(ε, z) = ln ε/2 ln z , 对 z < 1 区域，似乎找不到最大的 N(ε)，应该不是一致收敛 。 是否一定找不到最大的 N(ε)，当然需要证明 。 证法一：利用 收敛但不是一致收敛的充要条件 证明该级数非一致收敛 。 对 ε0 = 0.1，对任意整数 N，都存在某个 n0 > N, 某个自然数 p0 和 某个点 z0 < 1，使得 k=1 p0 wn+k(z) ≥ ε0 。 取 p0 = 1，z0 = -1 + δ with δ = 10-M > 0，这时对 n0 = N + 1 k=1 p0 wn+k(z) = zN+1 - zN+2 = (1 - δ)N+1 2 - δ > 1 - δ N+1 对任意给定的正整数 N，只要 M 足够大，δ 就足够小 ， 就可以使 1 - 10-M N+1~ 1 - (N + 1) 10-M > ε0 = 0.1 故在 z < 1，原级数不是一致收敛 。 这里的关键在于如果 N 与 z 无关，z 改变 （δ 变、M 变） 时 N 不能随之改变 。 证法二：利用反证法证明该级数非一致收敛 。 设该级数一致收敛 ，那么对任意 ε，均可找到一个与 z 无关的 N(ε)，使得当 n > N 时， 对任意自然数 p 与满足 z < 1 的 z，均有： k=1 p wn+k(z) < ε。 (1.2) 下用反证法证明 ，对 p = 1 就不满足。 对 n = N + 1, p = 1，取 z0 = -1 + 10-M。显然对任意正整数 M，z0 均满足 z0 < 1。 p = 1 时，(1. 2) 式退化为 ： k=1 p wn+k(z0) p=1 = z0 N+1 - z0 N+2 = 1 - 10-M N+1 2 - 10-M > 1 - 10-M N+1 因为 N 与 z 无关，M 变化时，N 不变，因此对那个找到的与 z 无关的 N(ε)，我们可以取足够大的 M， 使得 k=1 p wn+k(z) p=1 > 1 - 10-M N+1 > ε，这就与(1. 2) 式相矛盾。 故找不到与 z 无关的 N。该级数不可能是一致收敛的 。 理解 （注意，这里的理解并非数学证明 ）：前面已求得 N(ε, z) = ln ε/2 ln z 与 z 有关， 接着应该在区域 z < 1 内找到一个最大的 N。 显然，在区域 z < 1 内， ln ε/2 ln z 无最大值 （因为 z 可以无限接近于 1）。 若在 z < 1 2 区域， N(ε, z) = ln ε/2 ln z 在此区域可取最大值 , 对应于 z = 1 2 ⟹ ln ε/2 ln 1/2 = N(ε) 与 z 无关。 ☺ 例题：一致收敛但不是绝对收敛例： z03a.nb 5