复变函数与解析函数 11复数的基本概念 为什么需要复数 1.从数学角度看 实系数方程 在实数范围内无解,为使得二次多项式有两个根,引进复数 数学游戏?不完全是!—完全不是! 回顾数域之拓展:逐渐引入,扩展 自然数=整数有理数=实数复数≡四元数? 为使得实系数n次多项式存在n个根—引入复数 那么,为使得复数系数次多项式存在n个根,是否要进一步拓展数域? 不必,封闭,完备:复数系数n次多项式有n个复数根 能否进一步扩展? 源自19世纪末、20世纪初 Hamilton等人,a,b,c,d均为实数 乘法不满足交换律:j*j,i=-ji=k (1.4) 为何不流行 复数已经封闭:2.尚没有找到许多应用 思考:为何没有三元数而直接跳到四元数? “是故,易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦,八卦定吉凶,吉凶生大业。” 《易传·系辞上传》 注:杨政宁曾预言四元数能在物理上得到应用,有志者可“路漫漫其修远兮,上下左右前后东西南北四面八方无往不利而求
1 复变函数与解析函数 1.1 复数的基本概念 为什么需要复数 1. 从数学角度看 实系数方程 x2 + 1 = 0 (1.1) 在实数范围内无解，为使得二次多项式有两个根，引进复数。 数学游戏？不完全是！ —— 完全不是！ 回顾数域之拓展： 逐渐引入，扩展 自然数 ⟹ 整数 ⟹ 有理数 ⟹ 实数 ⟹ 复数 ⟹ 四元数？ 为使得实系数 n 次多项式存在 n 个根 —— 引入复数 那么，为使得复数系数次多项式存在 n 个根，是否要进一步拓展数域？ 不必，封闭，完备：复数系数 n 次多项式有 n 个复数根。 能否进一步扩展？ —— 四元数：（quaternion） 源自19世纪末、20世纪初 Halmilton 等人， a, b, c, d 均为实数 i 2 = j 2 = k2 = -1 (1.2) 乘法不满足交换律 ： i j ≠ j i, i j = -j i = k (1.3) 四元数：q = a i + b j + c k + d (1.4) 为何不流行？ —— 1.复数已经封闭； 2.尚没有找到许多应用 思考：为何没有三元数而直接跳到四元数？ “是故，易有太极 ，是生两仪 ，两仪生四象 ，四象生八卦 ，八卦定吉凶 ，吉凶生大业 。” —— 《易传 ·系辞上传 》 注：杨政宁曾预言四元数能在物理上得到应用，有志者可“路漫漫其修远兮，上下左右前后东西南北四面八方无往不利而求 索
zoia. nb (*把工作目录设置成文件所在的目录) SetDirectory [NotebookDirectory[]] Import["figol 01 quaternion. jpg", ImageSize+150] 四元数物理学 那么复数又有何用? 2.从物理角皮看 ■没有复数就没有(很难建立)量子力学(近50%的GDP与量子力学有关),量子力学需要复数 ■当今物理几大方向:对称性、量子化、相位。后两者均需要复数以方便描述:例如:电磁波中有相位,电动力学需 要复数。 复数的基本横念 1.一对有序的实数(x,y,符号i称为虚数单位,实部x,虚部y虚部为0时,完全退化为实数 二=x+iy,2=-1,Re[-]=x,lm{==y 2.复共轭 (16) 3.相等:实部虚部分别相等 1=x1+iy1,=2=x2+iy2则:=2x1=x2&y=y Q复数的表示 1.代数表示二=x+iy 2.几何表示:复平面上的一个点,如图中的P点 complex plane
(* 把工作目录设置成文件所在的目录 *) SetDirectory[NotebookDirectory[]]; Import["fig01.01 quaternion.jpg", ImageSize 150] 那么复数又有何用？ 2. 从物理角度看 ◼ 没有复数就没有（很难建立）量子力学（近 50% 的GDP与量子力学有关），量子力学需要复数； ◼ 当今物理几大方向：对称性、量子化、相位。后两者均需要复数以方便描述；例如：电磁波中有相位，电动力学需 要复数。 复数的基本概念 1. 一对有序的实数 (x, y), 符号 称为虚数单位，实部 x，虚部 y，虚部为 0 时，完全退化为实数 z = x + y, 2 = -1, Re[z] = x, Im[z] = y (1.5) 2. 复共轭 z = x + y, z* = x - y, z = x - y (1.6) 3. 相等：实部虚部分别相等 z1 = x1 + y1, z2 = x2 + y2 则 : z1 = z2 ⟺ x1 = x2 & y1 = y2 (1.7) 复数的表示 1. 代数表示 z = x + y 2. 几何表示：复平面上的一个点，如图中的 P 点 complex plane z = x + y z * = x - y x y x y O P O' P' θ r 2 z01a.nb
zOla.nb 3 3.矢量表示,如图中的O矢量。自由矢量,长度方向相同即可认为两矢量相等,如图中OF=OP 4.极坐标表 模记为r=枓为矢量长度。模r=0时复数的辐角arg{-]不确定,模r≠0时辐角也可差2nπ,通常将(-丌,丌之间的辐 值称为辐角主值,记为Arg,故有 cax+ iysrcos 0+irsinA, r=vx2+y2,0=Argl=), argl==Arg[=)+2nT a.有些书以ag]表示辐角的主值,从而(1.8)式变为:Arg]=arg-]+2nr b.有些书将辐角主值定义于⑩0,2),这方便于解析推导 c.而在计算机语言中,则将主值取为-<Arg{≤,在介绍复数的根式运算之前,不妨试一试 √-1+10-15i=i+505×10-16,√-1-10-15i=-i+505×10-16, (*的输入國i國,√的输入ctr1-2 的输入区ee图,*) a=√-1.0+1015i;(*番 Mathematica认为辐角近似为*) b=√-1.0-10154:;(* Mathemat1a认为辐角近似为+ 5.05322×1016+1.i,5.05322×10-16-1.i 5.指数表示:利用Euer公式,可把复数写成指数形式 Eulers formula: ele= cos 8 +isin 6. so. ==rcos 0+irsin b=rele 9 a.欧拉公式实际上可以看成复数(实部为零的纯虚数)指数运算的定义。这是在一个扩展的数域上定义指数运 算 b.本质上是借助泰勒展开式 yn! Cos e+ism,(请验证之)解释了为何不定义:c6=sin6+cos c.同时又满足指数运算规律:cic=e(+),利于简化运算 d.量子力学中还进一步定义了以算符为宗量的指数函数 其中:p20202 ax2by2a=2个算符 又如:算符2=-i 为球坐标的方位角)借助泰勒展开定义该算符的指数函数 (ia lsn eaf(d6)≡ fo) -ial+-(-ial}2+…f() fm(小)=f(d-a) 原来算符2的指数函数c+a表示绕z轴(逆时针)转动了a角度 e.欧拉公式在6=丌时有“最美的数学公式”,联系了几个基本数学常数 el+1=0 无理数”的“虚”“无理数”次方加1居然为0 6.球面表示 过复平面原点做一球面与复平面相切,切点为该球面的南极点,北极点标记为N(过原点的直径交球面于N),对任意
3. 矢量表示，如图中的 OP 矢量。自由矢量，长度方向相同即可认为两矢量相等，如图中 OP = O′ P′ 4. 极坐标表示 模记为 r = z 为矢量长度。模 r = 0 时复数的辐角 arg[z] 不确定，模 r ≠ 0 时辐角也可差 2 n π ，通常将 (-π, π] 之间的辐 角值称为辐角主值，记为 Arg [z]，故有 z = x + y = r cos θ + rsin θ, r = x2 + y2 , θ = Arg[z], arg[z] = Arg[z] + 2 n π (1.8) a. 有些书以 arg[z] 表示辐角的主值，从而 (1.8) 式变为：Arg[ z] = arg[z] + 2nπ。 b. 有些书将辐角主值定义于 [0, 2 π)， 这方便于解析推导。 c. 而在计算机语言中，则将主值取为 -π < Arg[z] ⩽ π，在介绍复数的根式运算之前，不妨试一试，在 Mathematica 中 -1 + 10-15 = + 5.05 × 10-16, -1 - 10-15 = - + 5.05 × 10-16, (* 的输入：ii, 的输入：ctrl-2, 的输入：ee, *) a = -1.0 + 10-15 ; (* Mathematica 认为辐角近似为π *) b = -1.0 - 10-15 ; (* Mathematica 认为辐角近似为-π *) {a, b} 5.05322 × 10-16 + 1. , 5.05322 × 10-16 - 1. 5. 指数表示：利用Euler公式，可把复数写成指数形式 Euler's formula : θ = cos θ + sin θ, so, z = r cos θ + rsin θ = r θ (1.9) a. 欧拉公式实际上可以看成复数（实部为零的纯虚数）指数运算的定义。这是在一个扩展的数域上定义指数运 算。 b. 本质上是借助泰勒展开式： θ = n=0 ∞ ( θ)n n! = cos θ + sin θ，请验证之 解释了为何不定义 ： θ = sin θ + cos θ c. 同时又满足指数运算规律 ：θ1 θ2 = (θ1+θ2) ，利于简化运算； d. 量子力学中还进一步定义了以算符为宗量的指数函数： ∇2 = n=0 ∞ ∇2 n n! , 其中：∇2 = ∂2 ∂ x2 + ∂2 ∂ y2 + ∂2 ∂ z2 是个算符 又如：算符 l z = - ∂ ∂ ϕ ，（ϕ为球坐标的方位角 ） 借助泰勒展开定义该算符的指数函数 - α l z - α l z f (ϕ) ≡ m=0 ∞ (- α lz) m m! f (ϕ) = 1 - α lz + 1 2! (- α lz)2 + … f (ϕ) = m=0 ∞ (-α)m m! f (m) (ϕ) = f (ϕ - α) 原来算符 l z 的指数函数 - α l z 表示绕 z 轴 （逆时针） 转动了 α 角度 e. 欧拉公式在 θ = π 时有“最美的数学公式”，联系了几个基本数学常数： π + 1 = 0 ， “无理数” 的 “虚” “无理数” 次方加 1 居然为 0 6. 球面表示 过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为N（过原点的直径交球面于N），对任意 ζ ζ ζ z01a.nb 3
zola. nb 在复平面的一点,连该点与北极点交球面于,显然二点与点一一对应。点即为复数的球面表示。北极点与复平面上 模为无穷大的点对应——复平面上模为无穷大的点是一点:对应于复数球面的北极点 Riemann sphere la hoice line circle radius a无穷远点的辐角没有定义 b.通常,复平面或全复平面不包含无穷远点,闭复平面或扩充复平面才包含无穷远点 c.以下形式的积分仅表示积分路径的不同,不表示有不同的无穷远点。 Q复数的代数运算 1.复数不能比较大小:(参阅吴崇试《数理方法专题》的讨论) 2.当仅当两个复数的虚部、实部分别相等时,才称两复数相等 3.加减法,加法满足交换律、结合律 -1±-2=(x1±x2)+i(1±y2) (1.10) a加减法的几何意义:矢量相加之平行四边形法则
过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为N（过原点的直径交球面于N），对任意 在复平面的一点，连该点与北极点交球面于ζ，显然 z 点与 ζ 点一一对应。ζ 点即为复数的球面表示。北极点与复平面上 模为无穷大的点对应——复平面上模为无穷大的点是一点：对应于复数球面的北极点。 Riemann Sphere z-plane z N ζ x y O {-0.12, -0.21} point choice line circle radius angle show lines a. 无穷远点的辐角没有定义； b. 通常，复平面或全复平面不包含无穷远点，闭复平面或扩充复平面才包含无穷远点； c. 以下形式的积分仅表示积分路径的不同，不表示有不同的无穷远点。 0 2+∞ versus 0 - ∞ 复数的代数运算 1. 复数不能比较大小；（参阅吴崇试《数理方法专题》的讨论） 2. 当仅当两个复数的虚部、实部分别相等时，才称两复数相等； 3. 加减法，加法满足交换律、结合律 z1 ± z2 = (x1 ± x2) + (y1 ± y2) (1.10) a. 加减法的几何意义：矢量相加之平行四边形法则； 4 z01a.nb
zOla.nb5 b.由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 -1+-2|≤k+|-2| =1--2|≥|-1-=2 (1.11) choose O add green to blue O add blue to green display coordinates□ 4.乘法:满足分配律、结合律,交换律 12=(x1+iy)(x2+in2)=(x1x2-yy2)+i(xy2+x2y) (112 Er (1.14) a.乘法的几何意义:长度为二者长度之积,辐角为二者之和。 b.复数a与x的乘积a=:把二矢量的长度变为ladl,辐角逆时针旋转:Arga 5.除法:=/a把二矢量的长度变为|/ld,辐角顺时针旋转: Areal =五+=x32++2(2n-=x)=画0-) x2+y2 (1.15) 6.乘方:n为自然数 r"(cos n0+isin n0)=r(cos 6+i sin or (1.16) a.后一个等式也称为 Demoivre定理 7.开方:乘方的逆运算,n为自然数 (1.17) a.开方运算是多值的,源自辐角的多值性 b.这点与实数不同,对大于0的实数,开方可取算术根(只取k=0的根),复数不可以只保留“算术根 c.复数开n次方的n个根均匀分布于以原点为圆心,rl为半径的圆周上
b. 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： z1 + z2 ≤ z1 + z2, z1 - z2 ≥ z1 - z2 (1.11) choose add green to blue add blue to green display coordinates ● ● 4. 乘法：满足分配律、结合律，交换律 z1 z2 = (x1 + y1) (x2 + y2) = (x1 x2 - y1 y2) + (x1 y2 + x2 y1) (1.12) z1 z2 = r1 θ1 r2 θ2 = r1 r2 (θ1+θ2) (1.13) z z* = r2 = z 2, z1 z2 = z1 z2 (1.14) a. 乘法的几何意义：长度为二者长度之积，辐角为二者之和。 b. 复数 a 与 z 的乘积 a z：把 z 矢量的长度变为 a z，辐角逆时针旋转：Arg[a] 5. 除法：z/a 把 z 矢量的长度变为 z/a，辐角顺时针旋转：Arg[a] z1 z2 = x1 + y1 x2 + y2 = x1 x2 + y1 y2 x2 2 + y2 2 + (x2 y1 - x1 y2) x2 2 + y2 2 = r1 r2 (θ1-θ2) (1.15) 6. 乘方：n 为自然数 zn = rn n θ = rn(cos n θ + sin n θ) = rn(cos θ + sin θ) n (1.16) a. 后一个等式也称为 Demoivre 定理 7. 开方：乘方的逆运算，n 为自然数 w = zn ⟹ z = w1/n w = z1/n = r θ 1/n = r1/n (θ+2 k π) n , k = 0, 1, 2, ..., (n - 1) (1.17) a. 开方运算是多值的，源自辐角的多值性。 b. 这点与实数不同，对大于 0 的实数，开方可取算术根（只取 k = 0 的根），复数不可以只保留“算术根”。 c. 复数开 n 次方的 n 个根均匀分布于以原点为圆心， r1/n 为半径的圆周上。 z01a.nb 5