16 z13anb 证明:先证明m≠n情况 因为 Legendre函数满足 Legendre微分方程,故 (a)[(1-x2)Pm(x)+m(m+1)Pm()=0 (b)[(1-x2)P(x)+mn+1)Pa(x)=0 (a)式乘Pn(x)减去(b)式乘Pm(x)得: 1-x)P(x)P2(x)-(1-x)Paopa(x)+mm+1)-m(n+1)Pn(x)P(x)=0 两边同时积分,并利用 )(yP)dx=(1-x)m()l2)-(1-x2)ea小l)dr C-时=一)PC 上两式之差为0,从而:m(m+1)-m(n+1Pm(x)P(x)dx=0 ≠n时:|Pa(x)Pa(x)dx=0 再证明m=n情况:可以用递推关系、生成函数(作业)或级数表示给予证明 利用递推关系(1.6):(2n+1)xPn(x)=(+1)Pn+1(x)+nPn-1(x),有 a)(2n+1)xPn(x)=(+1)Pn+(x)+nPn-1(x) (b)(2n-1)xPm-1(x)=nPn(x)+(n-1)Pn2(x) (a)式乘(2n-1)Pn-1(x)减去(b)式乘(2n+1)P(x)得 (n+1)(2n-1)Pm1(x)Pn+1(x)+n(2n-1)Pn-1(x)Pn-1(x)-n(2n+1)Pn(x)Pn(x)-(n-1)(2n+1)Pn(x)Pn-2(x)=0 两边同时对x从-1到1积分并利用m≠n时的正交特性,得 n(2n-1) Pm-I(x)Pm-I(x)dx-n(2n+1)Pn(x)Pn(x)dx=O 从而:l= (2n-1) (2n-1)(2n-3) (2n-1)(2n-3) (2n+1) (2n+1)(2n-1) (2n+1)(2n-1)32n+1 lo= Po(x)Po(x)dx= dx=2 2 T= 利用级数表示(1.4):Pn(x)= f((n-2n: -r-r=2m)! 2n台r!(n-r)!(n-2r) 2”(n!)2 (2n)! x+)cxPa(x)dx,利用x4Pa(x)dx=0ifk<n l2"(n!2台 利用xP)drs2l(n!2 2n(n!)2 (2n+1)!
证明：先证明 m ≠ n 情况： 因为Legendre函数满足Legendre微分方程 ，故 (a) 1 - x2 Pm ′ (x) ′ + m(m + 1) Pm(x) = 0 (b) 1 - x2 Pn ′ (x) ′ + n(n + 1) Pn(x) = 0 (a) 式乘 Pn(x) 减去 (b) 式乘 Pm(x) 得： 1 - x2 Pm ′ (x) ′ Pn(x) - 1 - x2 Pn ′ (x) ′ Pm(x) + [m(m + 1) - n(n + 1)] Pm(x) Pn(x) = 0 两边同时积分 ，并利用 -1 1 1 - x2 Pm ′ (x) ′ Pn(x) x = 1 - x2 Pm ′ (x) Pn(x) -1 1 - -1 1 1 - x2 Pm ′ (x) Pn ′ (x) x -1 1 1 - x2 Pn ′ (x) ′ Pm(x) x = 1 - x2 Pn ′ (x) Pm(x) -1 1 - -1 1 1 - x2 Pn ′ (x) Pm ′ (x) x 上两式之差为 0，从而：[m(m + 1) - n(n + 1)] -1 1 Pm(x) Pn(x) x = 0 m ≠ n 时：-1 1 Pm(x) Pn(x) x = 0 再证明 m = n 情况：可以用递推关系 、生成函数 （作业） 或级数表示给予证明 。 利用递推关系 (1. 6)： (2 n + 1) x n(x) = (n + 1) n+1(x) + n n-1(x) ，有 (a) (2 n + 1) x Pn(x) = (n + 1) Pn+1(x) + n Pn-1(x) (b) (2 n - 1) x Pn-1(x) = n Pn(x) + (n - 1) Pn-2(x) (a) 式乘 (2 n - 1) Pn-1(x) 减去 (b) 式乘 (2 n + 1) Pn(x) 得： (n + 1) (2 n - 1) Pn-1(x) Pn+1(x) + n (2 n - 1) Pn-1(x) Pn-1(x) - n (2 n + 1) Pn(x) Pn(x) - (n - 1) (2 n + 1) Pn(x) Pn-2(x) = 0 两边同时对 x 从 - 1 到 1 积分并利用 m ≠ n 时的正交特性 ，得 n (2 n - 1) -1 1 Pn-1(x) Pn-1(x) x - n(2 n + 1) -1 1 Pn(x) Pn(x) x = 0 即：In = -1 1 Pn(x) Pn(x) x = (2 n - 1) (2 n + 1) -1 1 Pn-1(x) Pn-1(x) x = (2 n - 1) (2 n + 1) In-1 从而：In = (2 n - 1) (2 n + 1) In-1 = (2 n - 1) (2 n + 1) (2 n - 3) (2 n - 1) In-2 = (2 n - 1) (2 n + 1) (2 n - 3) (2 n - 1) ⋯ 1 3 I0 = I0 2 n + 1 I0 = -1 1 P0(x) P0(x) x = -1 1 x = 2 m = n 时：-1 1 Pn(x) Pn(x) x = 2 2 n + 1 利用级数表示 (1. 4)： Pn(x) = 1 2n r=0 R (-1)r r! (2 n - 2 r)! (n - r)! (n - 2 r)! xn-2 r = (2 n)! 2n (n !)2 xn + k=1 n-1 ck xk In = -1 1 Pn(x) Pn(x) x = -1 1 (2 n)! 2n (n!)2 xn + k=1 n-1 ck xk Pn(x) x, 利用 -1 1 xk Pn(x) x = 0 if k < n = (2 n)! 2n (n!)2 -1 1 xn Pn(x) x, 利用 -1 1 xn Pn(x) x = 2n+1 (n!)2 (2 n + 1)! = 2 2 n + 1 16 z13a.nb
z13a.nb17 Q完备 任意一个在区间[-1,1]间分段连续的函数f(x),可以展开为级数 (2n+1) f(x)Pn(x)dx 展开系数cn由 Legendre函数的正交特性求得 9 Legendre多项式在数值积分中的应用 函数f(x)在任意有限区间{a,b间的积分,可以通过变量代换 f(x)d g(odt b-ab-a 化为在区间[-1,1的积分。 图样图森破法 最直接的数值积分方法,均匀分段 =Cx)h,h=1-(D2 以矩形条面积之和作为积分近似值 N越大越精确 但这种方法显得图样图森破, if not太low。通常要较大的N才能满足积分精度要求 如果这段函数可以用多项式近似,实际上,用几十个函数值的带权重求和,即可满足所需精度。 Gauss-Legendre法 通常,只要被积函数在积分区间不含奇点,多项式可以很好地近似函数值 从而:()=SsnP()=S>nP() g(x)dx=2 co 如何求 求解N阶 Legendre多项式PA(x)的N个根:x1,x2, n阶 Legendre多项式Pa(x)在[-1,1区间有n个实根 这n个实根将区间[-1,1分成n+1个小区间 这n+1个小区间内各有一个n+1阶 Legendre多项式Pn+(x)的根 对每一个根,用以下线性方程组求出相应的权重w,i=1,2,3,…,N wig(x))=>w1>Cn Pn(x) g(x)dx=)wg(x)积分化为若干个函数值的加权求和 (1.13) 利用 Legendre函数的性质,可以进一步证明 用这种方法求出的样点{x}与权重{wl},对n=1,2,3,…,2N-1,均满足
完备 任意一个在区间 [-1, 1] 间分段连续的函数 f (x)，可以展开为级数 f (x) = n=0 ∞ cn Pn(x), cn = (2 n + 1) 2 -1 1 f (x) Pn(x) x 展开系数 cn 由Legendre函数的正交特性求得 。 Legendre多项式在数值积分中的应用 函数 f (x) 在任意有限区间 [a, b] 间的积分，可以通过变量代换 t = 2 x b - a - b + a b - a , ⟹ a b f (x) x = -1 1 g(t) t 化为在区间 [-1, 1] 的积分。 图样图森破法 最直接的数值积分方法 ，均匀分段 I = j=1 N g(x j) h, h = 1 - (-1) N = 2 N 以矩形条面积之和作为积分近似值 N 越大越精确 。 但这种方法显得图样图森破 ，if not 太 low。通常要较大的 N 才能满足积分精度要求 。 如果这段函数可以用多项式近似 ，实际上，用几十个函数值的带权重求和 ，即可满足所需精度 。 Gauss-Legendre 法 通常，只要被积函数在积分区间不含奇点 ，多项式可以很好地近似函数值 从而：g(x) = n=0 ∞ cn Pn(x) ≈ n=0 N cn Pn(x) ⟹ -1 1 g(x) x = 2 c0 如何求 c0 ? 求解 N 阶 Legendre 多项式 PN(x) 的 N 个根：x1, x2, x3, ..., xN n 阶 Legendre 多项式 Pn(x) 在 [-1, 1] 区间有 n 个实根 这 n 个实根将区间 [-1, 1] 分成 n + 1 个小区间 这 n + 1 个小区间内各有一个 n + 1 阶 Legendre 多项式 Pn+1(x) 的根 对每一个根 ，用以下线性方程组求出相应的权重 wi, i = 1, 2, 3, ..., N P0(x1) P0(x2) ... P0(xN) P1(x1) P1(x2) ... P1(xN) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ PN-1(x1) PN-1(x2) ... PN-1(xN) w1 w2 ⋮ wN = 2 0 ⋮ 0 (1.12) 从而： i=0 N wi g(xi) = i=0 N wi n=0 N cn Pn(xi) = n=0 N cn i=0 N wi Pn(xi) 利用(1. 12) 2 c0 即： -1 1 g (x) x = i=0 N wi g(xi) 积分化为若干个函数值的加权求和 (1.13) 利用 Legendre 函数的性质 ，可以进一步证明 ： a. 用这种方法求出的样点 {xi} 与权重 {wi}，对 n = 1, 2, 3, ..., 2 N - 1，均满足 z13a.nb 17