双向连通竞赛图的名次排序s)=As4)=Ae 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图,存在 正整数r,使邻接矩阵A满足A>0,A称素阵 素阵A的最大特征根为正单 A e m 根,对应正特征向量s,且22k k→∞,S(归一化局→S口用排名 几=1.4. 0011 4=|0001s=(0.323028001670230) 3 排名为{,2,4,3} {1,2,3,4}
s As A e k k k = = 双向连通竞赛图的名次排序 ( ) ( −1) • 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵 s A e k k k = → ∞ λ lim • 素阵A的最大特征根为正单 根λ，对应正特征向量s，且 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 A 排名为{1，2，4，3} k s s →∞, (k ) (归一化后) → T s (0.323,0.280,0.167,0.230) 1.4, = λ = 用s排名 1 2 4 3 (4) {1, 2, 3, 4}?
6支球队比赛结果 000000 0 0000 00 000 111000 00 s=(4,3,3,2,2,1) S2)=(8,5,9,3,4,3)7 s3)=(1510,16,7,12,9),s(=(38,28,32,21,25,16)′ =2.232,S=(0.238,0.164,0.2310.113,0.1500.104) 排名次序为{1,3,2,5,4,6}
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 A T T T T s s s s (15,10,16,7,12,9) , (38,28,32,21,25,16) (4,3,3,2,2,1) , (8,5,9,3,4,3) ( 3 ) ( 4 ) (1) ( 2 ) = = = = 1 2 3 4 5 6 6支球队比赛结果 T λ = 2.232, s = (0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104) 排名次序为{1，3， 2，5，4，6}
2.社会经济系统的冲量过程 例能源利用系统的预测 F能派利用量:2能源价格 3能源生产率;v环境质量; v ;工业产值;v就业机会; v人口总数。 系统的元素—图的顶点 元素间的影响一带方向的弧带符号的有向图 影响的正反面—弧旁的+、-号 影响—直接影响符号—客观规律;方针政策
2. 社会经济系统的冲量过程 + - + - + + + + - - + v2 • v1 v3 v4 v6 v7 v5 例 能源利用系统的预测 v1—能源利用量； v2—能源价格； v3—能源生产率； v4—环境质量； v5—工业产值； v6—就业机会； v7—人口总数。 系统的元素——图的顶点 元素间的影响——带方向的弧 带符号的有向图 影响的正反面——弧旁的+、– 号 影响——直接影响 符号——客观规律；方针政策
带符号有向图G1=(V,B的邻接矩阵A 2 顶点集E弧集 若 右v 为为 0,若vv,gE v 000000 100100 A 0010 00 0000 带符号的有向图G1 000001 000000」某时段v增加导致 定性模型 下时段v增加减少
带符号有向图 G 1=(V,E)的邻接矩阵A V~顶点集 E~弧集 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∉ − − + = v v E v v v v a i j i j i j ij ， 若 若 为 ， 若 为 0 1, 1 + - + - + + + + - - + v 2 • v 1 v 3 v 4 v 6 v 7 v 5 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 A - vi vj + 某时段 v i 增加导致 下时段 vj 增加减少 带符号的有向图 G 1 定性模型
加权有向图G2及其邻接矩阵W"2 0.7 0.3 2 0.5 某时段v增加1单位导致 0.8 7 下时段v增加w:单位 12 -0.50.8-1.20 5 6 0 070020 000000 20010 加权有向图G2 000000.3 定量模型 1.200001.50 00 A视为W的特例 000000
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1.2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0 2 0 0 1 0 0 0.7 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.8 1.2 0 0 0 W 加权有向图 G 2及其邻接矩阵 W 定量模型 某时段 v i 增加 1单位导致 下时段 vj 增加 wij单位 j w i v v ⎯⎯→ij A视为 W的特例 v 7 0.3 1 1.5 1 1.5 1.2 0.8 - 2 - 2 -0.7 -0.5 • v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 加权有向图 G 2