定义方阵A的主对角线上的元素之和称为方阵A的迹， 记为r(A)=∑am=∑2： 二、特征值和特征向量的性质 推论1n阶方阵A可逆分A的n个特征值全不为零， 若数为可逆阵的A的特征值， 推论2！ 则入为A的特征值 推论3则k为k的特征值 推论4 则A2为A的特征值 推论5 则2"为A的特征值. 特别 单位阵E的一个特征值为1
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 ( ) . ii i tr A a = = 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 推论２ 则 −1 为 的特征值． 1 A − 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 推论４ 则 A −1 为 A 的特征值． 推论５ 则 m 为 A m 的特征值． 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１．
例1：求 3 的特征值和特征向量， 解：A的特征多项式为： 4-2E=3133 3-2-1=(3-02-1 =8-62+22=(4-)(2-) 所以，该方阵4的特征值为：21=2,22=4. 当1=2时，对应的特征向量应满足： (32-0 即 X1-X2=0 求得基础解系为 -1+x2=0 故特征值21=2对应的特征向量为： x=kp k≠0
− − − − 1 3 3 1 例1: 求 − − 1 3 3 1 的特征值和特征向量. 解: A的特征多项式为: = (3–) 2 –1 所以, 该方阵A的特征值为: 1 = 2, 2 = 4. , 0 0 1 3 2 3 2 1 2 1 = − − − − x x 当 1 = 2 时, 对应的特征向量应满足: + = − = − 0 0 1 2 1 2 x x 即 x x 故特征值1=2对应的特征向量为: = 8 – 6 + 2 =(4 – )(2 – ) 求得基础解系为 1 1 1 p = 1 x kp k = 0 A E − =
当21=4时，对应的特征向量应满足： 即 JX1+X2=0 (X1+x2=0 求得基础解系为P,= 故特征值22=4对应的特征向量为： x=迎2，k≠0 注：由于特征方程A-2E1=0,故齐次方程组(4-E)x =0有非零解.因此，求出特征值入对应的基础解系即可求 出所有特征向量
+ = + = 0 0 1 2 1 2 x x x x 2 x kp k = , 0 即 故特征值2=4对应的特征向量为: 注: 由于特征方程| A–E | = 0, 故齐次方程组(A–E)x = 0 有非零解. 因此, 求出特征值i 对应的基础解系即可求 出所有特征向量. , 0 0 1 3 4 3 4 1 2 1 = − − − − x x 当 1 = 4 时, 对应的特征向量应满足: 求得基础解系为 2 1 1 p = −
例2：求矩阵A= -4 的特征值和全部特征向量 1 02 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. -1-λ 1 0 A-λE= -4 3-λ 0 =0 1 0 2-2 即 (2-2)(2-1)2=0 特征值为2=2,22=23=1 第二步：对每个特征值入代入齐次线性方程组 A-九E)x=0,求非零解
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例2： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A − = − A E − = 1 1 0 4 3 0 0 1 0 2 − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − = 特征值为 1 2 3 = = = 2, 1 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0, 求非零解。 即