数学实验一、一元函数作图（二维图形）函数的图形不仅揭示了函数的本质特性，有时还是解题的钥匙.例如，观察函数f(x)=xsinx的图形可知当x→0时，(x)=xsinx是无穷小；根据函数f(x)=sin的图形可以判定x=0为函数的振荡间断点等Matlab软件为我们提供了众多的功能强大的图形绘制函数.plot是Matlab中最常用的画平面曲线的函数，它的主要功能是用于绘制显示函数y=f(x）和参数式函数x=x(t)，y=y()的平面曲线.plot函数的调用格式如下：Plot(x，y，/可选项s'）其中x是曲线上的横坐标，y是曲线上的纵坐标，可选项s'中通常包含确定曲线颜色、线型、两坐标轴上的比例等等参数.在作图时可根据需要选择可选项如果在绘图时省略可选项，那么plot函数将自动选择一组默认值，画出曲线ezplot是Matlab中另外一个画平面曲线的函数，它的主要功能是用于绘制隐函数F(x,y)=0、参数式函数x=x()，y=y(0)和显示函数y=f(x)的平面曲线.ezplot函数的调用格式如下：ezplot（F，[a，b，c，d]）绘制隐函数F(x,y)=o在a≤x≤b和c≤y≤d上的平面曲线ezplot(F,[a,b])绘制隐函数F(x,y)=0在a≤x≤b和a≤y≤b上的平面曲线ezplot(x,y,[a,b])绘制参数方程x=x(t)，=(t)在a≤t≤b上的平面曲线polar的主要功能是用于绘制极坐标函数p=p(①)的平面曲线，它的调用格式如下：polar（THETA，RHO，s')其中THETA是极角（弧度值），RHO是极径，S是可选项，S的内容和用法与前面的plot函数完全相同.例1作函数y=sinx，y=cosx的图形，并观察它们的周期性I
1 数学实验一 一、一元函数作图（二维图形） 函数的图形不仅揭示了函数的本质特性，有时还是解题的钥匙.例如，观察 函数 f x x x ( ) sin = 的图形可知当 x →0 时， f x x x ( ) sin = 是无穷小；根据函数 1 f x( ) sin x = 的图形可以判定 x = 0 为函数的振荡间断点等. Matlab 软件为我们提供了众多的功能强大的图形绘制函数.plot 是 Matlab 中最常用的画平面曲线的函数，它的主要功能是用于绘制显示函数 y f x = ( ) 和参数 式函数 x x t = ( )， y y t = ( ) 的平面曲线.plot 函数的调用格式如下： Plot(x，y，′可选项 s′) 其中 x 是曲线上的横坐标，y 是曲线上的纵坐标，′可选项 s′中通常包含确定 曲线颜色、线型、两坐标轴上的比例等等参数.在作图时可根据需要选择可选项， 如果在绘图时省略可选项，那么 plot 函数将自动选择一组默认值，画出曲线. ezplot 是 Matlab 中另外一个画平面曲线的函数，它的主要功能是用于绘制 隐函数 F x y ( , ) 0 = 、参数式函数 x x t = ( ) ， y y t = ( ) 和显示函数 y f x = ( ) 的平面曲 线.ezplot 函数的调用格式如下： ezplot(F，[a，b，c，d]) 绘制隐函数 F x y ( , ) 0 = 在 a ≤ x ≤ b 和 c ≤ y ≤ d 上的 平面曲线. ezplot(F，[a，b]) 绘制隐函数 F x y ( , ) 0 = 在 a ≤ x ≤ b 和 a ≤ y ≤ b 上的 平面曲线. ezplot(x，y，[a，b]) 绘制参数方程 x x t = ( ) ， y y t = ( ) 在 a ≤ t ≤ b 上的平 面曲线. polar 的主要功能是用于绘制极坐标函数 = ( ) 的平面曲线，它的调用格式 如下： polar（THETA，RHO，′s′） 其中 THETA 是极角（弧度值），RHO 是极径，s 是可选项，s 的内容和用法与前面 的 plot 函数完全相同. ●●例 1 作函数 y x = sin ， y x = cos 的图形，并观察它们的周期性
解先作函数y=sinx在[-4元,4元]上的图形，用Matlab作图的程序为>>x=linspace(-4*pi,4*pi,300);%产生300维向量x>>y=sin(x) ;%二维图形绘图命令>>plot(x, y)运行结果如图1-1.上述语句中，%后面如“%二维图形绘图命令”是说明性语句，无需键入，0.80.00.aD.20.2o.0.60.0图1-1y=sinx的图形如果在同一坐标系下作出y=sinx和y=cosx在[-2元,2元]上的图形，相应的Matlab程序为%产生向量x>>x=-2*pi:2*pi/30:2*pi;>>yl=sin(x);y2=cos(x);>>plot(x, yl, x, y2,":'")%：表示绘出的第二条曲线图形是点线运行结果如图1-2.其中实线是y=sinx的图形，点线是y=cosx的图形0.806OA0.20.2-0.40.60.8图1-2y=sinx，y=cosx的图形2
2 解 先作函数 y x = sin 在 [ 4 ,4 ] − 上的图形，用 Matlab 作图的程序为 >>x=linspace(-4*pi,4*pi,300)； %产生 300 维向量 x >>y=sin(x) ； >>plot(x,y) %二维图形绘图命令 运行结果如图 1-1.上述语句中，%后面如“%二维图形绘图命令”是说明性语句， 无需键入. 图 1-1 y x = sin 的图形 如果在同一坐标系下作出 y x = sin 和 y x = cos 在 [ 2 ,2 ] − 上的图形，相应的 Matlab 程序为 >>x=-2*pi:2*pi/30:2*pi； %产生向量 x >>y1=sin(x) ； y2=cos(x)； >>plot(x,y1,x,y2,':') %':'表示绘出的第二条曲线图形是点线 运行结果如图 1-2.其中实线是 y x = sin 的图形，点线是 y x = cos 的图形. 图 1-2 y x = sin , y x = cos 的图形
0例2作隐函数siny+y=0在-6元≤x≤6元，-5.6元≤V≤6.6元上的图形V2+y解相应的Matlab程序为'，［-6*pi,6*pi,>>ezplot(sin(sqrt(x2+y~2))/sqrt(x~2+y~2)-5.6*pi,6.6*pi])运行后画出图形，见图1-3.sin(sqrt(x2+/)/sqn(x2+y/) =010xJ-6101015函数sinye+y图1-3=0的图形Vr+y例 3作函数 p=1002-sin(a0)-0.5cos(b0)]在元3元上的图形，a=7，22100+(0-0.5元）b=30.解相应的Matlab程序为>>t=-0.5*pi:pi/500:1.5*pi;r=100*(2-sin(7*t)-1/2*cos(30*t))./(100+(t-1/2*pi).~8)：polar(t,r,p')%p表示用五角星符标志图中数据点运行后画出图形，见图1-4，如果改变参数a，b，将会得到很多有趣的图形3
3 ●●例 2 作隐函数 2 2 2 2 sin 0 x y x y + = + 在 − 6 ≤ x ≤ 6 ，− 5.6 ≤ y ≤ 6.6 上的图形. 解 相应的 Matlab 程序为 >>ezplot('sin(sqrt(x^2+y^2))/sqrt(x^2+y^2) ',[-6*pi,6*pi, -5.6*pi,6.6*pi]) 运行后画出图形，见图 1-3. 图 1-3 函数 2 2 2 2 sin 0 x y x y + = + 的图形 ●●例 3 作函数 8 100[2 sin( ) 0.5cos( )] 100 ( 0.5 ) a b − − = + − 在 3 , 2 2 − 上的图形， a = 7 ， b = 30 . 解 相应的 Matlab 程序为 >>t=-0.5*pi:pi/500:1.5*pi； r=100*(2-sin(7*t)-1/2*cos(30*t))./(100+(t-1/2*pi).^8)； polar(t,r,'p') %'p'表示用五角星符标志图中数据点 运行后画出图形，见图 1-4，如果改变参数 a ，b ，将会得到很多有趣的图形
50180210240300270图1-4函数 p=1002-sin(a0)-0.5cos(b0)]的图形100+(0-0.5元）二、一元函数极限的计算除数值计算外，像函数极限、积分、微分、公式推导、因式分解等这一类含有x，y，等符号变量的符号表达式的抽象运算，以及求解代数方程或微分方程的精确解等，在工程和科学研究中占有很大比例.符号表达式是代表数字、函数、算子和变量的Matlab字符串、字符串数组，不要求变量有预先确定的值.符号方程式是含有符号的表达式符号计算是使用已知的规则和给定恒等式求解符号方程的过程，它与代数和微积分所学到的求解方法完全一样.Matlab使用syms这个函数命令来创建和定义基本的符号对象.其调用格式为：VarlVar2..VarnsymsMatlab中求函数极限的命令及调用格式如下：limit(s,n,inf)返回符号表达式当n趋于无穷大时表达式s的极限limit(s,X,a)返回符号表达式当x趋于a时表达式s的极限limit(s)返回符号表达式中独立变量趋于0时s的极限limit(s,x,a,left')返回符号表达式当x趋于a时表达式s的左极限limit(s,x,a,"right')返回符号表达式当x趋于a时表达式s的右极限X
4 图 1-4 函数 8 100[2 sin( ) 0.5cos( )] 100 ( 0.5 ) a b − − = + − 的图形 二、一元函数极限的计算 除数值计算外，像函数极限、积分、微分、公式推导、因式分解等这一类含 有 x，y ，z 等符号变量的符号表达式的抽象运算，以及求解代数方程或微分方程 的精确解等，在工程和科学研究中占有很大比例.符号表达式是代表数字、函数、 算子和变量的 Matlab 字符串、字符串数组，不要求变量有预先确定的值.符号方 程式是含有符号的表达式.符号计算是使用已知的规则和给定恒等式求解符号方 程的过程，它与代数和微积分所学到的求解方法完全一样.Matlab 使用 syms 这个 函数命令来创建和定义基本的符号对象.其调用格式为： syms Var1 Var2 . Varn Matlab 中求函数极限的命令及调用格式如下： limit(s,n,inf) 返回符号表达式当 n 趋于无穷大时表达式 s 的极限 limit(s,x,a) 返回符号表达式当 x 趋于 a 时表达式 s 的 极限 limit(s) 返回符号表达式中独立变量趋于 0 时 s 的极 限 limit(s,x,a, 'left') 返回符号表达式当 x 趋于 a -时表达式 s 的左极限 limit(s,x,a, 'right') 返回符号表达式当 x 趋于 a +时表达式 s 的右极限
一的存在性例4判断极限limcos-limsin-x-→0-→0xx解首先分别作出函数y=cos在区间[-1,-0.01]，[0.01,1]，[-1,-0.001]，[0.001,]x等区间上的图形，观察图形在点x=0附近的形状.在区间[-1.-0.01绘图的Matlab程序为>) x=(-1):0.0001:(-0.01);y=cos(1./x);plot(x,y)运行结果如图1-5.同样，可作出函数y=sin-在点x=0附近的图形.1limsin一的存在性?根据图形，能否判断极限limcos-xX0.80.60.40.20-0.20.4-0.60.8090807060504030201函数 y=cos的图形图1-5x当然，也可用limit命令直接求极限，相应的Matlab程序为>> clear:>> syms x;%说明x为符号变量>> limit(cos(1/x),x,0)结果为ans=-11，即极限值在-1，1之间，而如果极限存在则必唯一，故极限1不存在.同样，极限limsin一也不存在.limcos-x-→0例5用Matlab求下列函数极限：x?+1x+sinxcos2x-cos3x：（3）lim(1-1)：（4)lim(2)lim(1) limM-2xV1+x2 -1x→a解（1）用limit命令直接求极限，相应的Matlab程序为>> syms x;5
5 ●●例 4 判断极限 0 1 lim cos x→ x ， 0 1 limsin x→ x 的存在性. 解 首先分别作出函数 1 y cos x = 在区间 [ 1, 0.01] − − ，[0.01,1]，[ 1, 0.001] − − ，[0.001,1] 等区间上的图形，观察图形在点 x = 0 附近的形状.在区间 [ 1, 0.01] − − 绘图的 Matlab 程序为 >> x=(-1):0.0001:(-0.01)； y=cos(1./x)； plot(x,y) 运行结果如图 1-5.同样，可作出函数 1 y sin x = 在点 x = 0 附近的图形. 根据图形，能否判断极限 0 1 lim cos x→ x ， 0 1 limsin x→ x 的存在性？ 图 1-5 函数 1 y cos x = 的图形 当然，也可用 limit 命令直接求极限，相应的 Matlab 程序为 >> clear； >> syms x； %说明 x 为符号变量 >> limit(cos(1/x),x,0) 结果为 ans=-1.1，即极限值在-1，1 之间，而如果极限存在则必唯一，故极限 0 1 lim cos x→ x 不存在.同样，极限 0 1 limsin x→ x 也不存在. ●●例 5 用 Matlab 求下列函数极限： （1） 2 2 1 1 lim x 1 x → x + − ； （2） sin lim x 2 x x → x + ；（3） 1 0 lim(1 )t t t → + − ；（4） 0 2 cos 2 cos3 lim 1 1 x x x x → − + − . 解 （1）用 limit 命令直接求极限，相应的 Matlab 程序为 >> syms x；