定理2设(fn(r)}在[a,b]上连续可微，且8(1) fn(a) 收敛;n=1(2)f(a)一致收敛于g()n=1则fn(a)在[a,b]上一致收敛,且n=1fn(r) ) =fh(a)= g(r)-n=1n=1证明月由微积分基本公式fr(t)dt.fn(a) = fn(a) +由条件(2)和上面的注记 f(t)dt = / g(t)dt.3-再由条件(1)即知2a) =X fn(a) +g(t)dt.n=1n=1从而g(t)dt fn(a) +fn(a)n=1(n=1g(r)Io0Efh(a).n=1注(1)中点α可换成区间中其它任何一点6
1C 2 0 {fn(x)} [a, b] .mvQ, (1) X∞ n=1 fn(a) :; (2) X∞ n=1 f 0 n (x) v: g(x) X∞ n=1 fn(x) [a, b] .v:, X∞ n=1 fn(x) !0 = X∞ n=1 f 0 n (x) = g(x). iL QS5R>5, fn(x) = fn(a) + Z x a f 0 n (t)dt. J_ (2) I.Æ%!Y, X∞ n=1 Z x a f 0 n (t)dt ⇒ Z x a g(t)dt. J_ (1) V X∞ n=1 fn(x) ⇒ X∞ n=1 fn(a) + Z x a g(t)dt. / X∞ n=1 fn(x) !0 = X∞ n=1 fn(a) + Z x a g(t)dt !0 = g(x) = X∞ n=1 f 0 n (x). l (1) ( a vO!\ B(Jv(. 6
83幂级数形如an(r-ro)n（anER）的函数项级数称为幂级数，在Taylor展开那n=f章中我们已遇到过这样的级数。为简单起见，一般讨论o=0的情形，一般情形作变量代换t=-o即可引理1（Abel）如果幂级数ana"在a=i(ri≠0）处收敛，则它在区n=0间<中绝对收敛：如果在=2处发散，则它在>2上发散0证明设an·收敛，则存在M>0使得n=0[anl≤M,Vn≥1,这说明p<M.三Clana"]=lan·a'].1r1n=0n=0n=08即当[国<[ri|时,an"绝对收敛.n=09注从证明可以看出，如果其ana"在=1（1≠0）处收敛，则对任何n=000闭区间IC（-ril,lril)，ana"在I上都是一致收敛的n=00定理2(Cauchy-Hadamard)对幂级数ana"，记n=0p = lim sup /anl2-则(1)p=0时，级数在（-80,8）处绝对收敛；(2)p=+oo时,级数仅在r=0处收敛：1(3) 0<p< +αo 时, 级数在 (--)中绝对收敛,在[-之外发散.此pppp时，称二为收敛半径P7
§3 K:S j+ X∞ n=0 an(x − x0) n (an ∈ R) %H=dW=R W=, Taylor s v W w#Gs%W=. R] ^, vC x0 = 0 % j, v j( O t = x − x0 Vv. dC 1 (Abel) +F W= X∞ n=0 anx n x = x1(x1 6= 0) :, B ! \ |x| < |x1| q,:; +F x = x2 0-, B |x| > |x2| .0-. iL 0 X∞ n=0 an · x n 1 :, M > 0 4$ |an · x n 1 | ≤ M, ∀n ≥ 1, > X∞ n=0 |anx n | = X∞ n=0 |an · x n 1 | · x x1 | n ≤ M · X∞ n=0 | x x1 | n , V! |x| < |x1| 2, X∞ n=0 anx n q,:. l vxt, +F X∞ n=0 anx n x = x1 (x1 6= 0) :, ,(J !\ I ⊂ (−|x1|, |x1|), X∞ n=0 anx n I .+8v:%. 1C 2 (Cauchy-Hadamard) , W= X∞ n=0 anx n , Y ρ = lim sup n→∞ pn |an|, (1) ρ = 0 2, W= (−∞,∞) q,:; (2) ρ = +∞ 2, W=g x = 0 :; (3) 0 < ρ < +∞ 2, W= (− 1 ρ , 1 ρ ) q,:, [− 1 p , 1 ρ ] O0-. 2, 1 ρ R:j. 7