第二章数列极限N 历年考研真题评析 【题1】(北京大学,2005年)求lm1(n+1…(2n=1 解题分析利用添项减项构造法和对数转换法.将复杂的极限求解一步一步简单化 解题过程(n+1)…(2n-1) 1√(m+1)(+2)…(2n-1n+n)·n √(n+1)( 令 √(n+1)(n+2)……(n+n) n(1+n) n(1+ In (1+r)dx= 2In 2-1 im1y(n+1)(n+2)…(+n)=4 【题2】(哈尔滨工业大学,2006年)设{xn}是一个无界数列,但非无穷大量,证明:存在两个子列, 个是无穷大量,另一个是收敛子列 分析由致密性定理:有界数列必有收敛子列 证明取充分大的数M>0,则数列{xn}中不超过M的个数一定有无穷多个,(否则{xn}是无穷大 量),记A为{xn}中不超过M的元素所组成集合,则A是无限集 同理,由于{xn}是无界数列,因此,数列{xn}绝对值大于M的个数也有无穷多个 (1)设大于M的x。有无穷多个取一个记为x,,那么{x。}中大于x,的仍有无穷多个(只要 把x2看成M即可)取一个为x2…继续下去可得子列 (2)若小于M的有无穷多个,可取x1<-M,仿上再取x2<x 样继续下去可得子 列 M>x1>x2>…>x>……
第二章 数列极限 历年考研真题评析 %题!& !北京大学#$##3年$求7.9&0) ! & & !&!&&!$&&!$&(!$! 解题分析 利用添项减项构造法和对数转换法!将复杂的极限求解一步一步简单化! 解题过程 ! & & !&!&&!$&&!$&(!$ % ! & & !&&!$!&&$$&&!$&(!$!&&&$%& ! $& % ! & & !!&&!$!&&$$&&!&&&$% & ! ! $ 令 $&% & !!&&!$!&&$$&&!&&&$ & D 7/$& A ! &= & 7A! 7/ !? 7 ! & $ < 7.9&0) 7/$& A7.9&0) ! &= & 7A! 7/ !? 7 ! & $ A> ! # 7/!!?$$L$ A$7/$@! < 7.9&0) $&%K$7/$(!% * K 即 7.9&0) ! & & !!&&!$!&&$$&&!&&&$% * K 又 7.9&0) & ! ! $ %! < 7.9&0) ! & & !&!&?!$&&!$&@!$A * K %题"& !哈尔滨工业大学#$##4年$设+$&,是一个无界数列#但非无穷大量#证明)存在两个子列#一 个是无穷大量#另一个是收敛子列! 分析 由致密性定理)有界数列必有收敛子列! 证明 取充分大的数 (&##则数列+$&,中不超过 ( 的个数一定有无穷多个#!否则+$&,是无穷大 量$#记 C 为+$&,中不超过 ( 的元素所组成集合#则 C 是无限集! 同理#由于+$&,是无界数列#因此#数列+$&,绝对值大于 ( 的个数也有无穷多个! !!$设大于 ( 的$& 有无穷多个#取一个记为$R! #那么+$&,中大于$R! 的仍有无穷多个!只要 把$R! 看成 ( 即可$#取一个为$R$ #&#继续下去可得子列 $R! %$R$ %&%$R< %& 则 7.9<0&) $R< %&) !$$若小于(( 的有无穷多个#可取$S!%((#仿上再取$S$ %$S!&#这样继续下去可得子 列 ((&$S! &$S$ &&&$S< &&& 则 7.9<0&) $S< %() %#!%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 综上可知,在{xn}中存在一个子列是无穷大量 再证A中存在一个收敛子列ve>0,取=2 先考虑在(-8,0)中若含A的无穷子集,则将它们按{xn}的原来次序可得到收敛子列 k1·2·…· 因为Vxn,x ∴①收敛 若在(-8,)中只含A有限多个元素,再考虑(8,38)和(-30,-8),如果其中有一个含A 的无穷多个元素,仿上即证 这样继续下去,由于M是常数,总存在k使M<k,因此,上述(s,s+28)或(s-2,s) 中,不可能都只含A中有限集,证毕 【题3】(清华大学,2006年)设R中数列{an},{bn}满足 n+1 1,2,…,其中0<q<1 证明:(1)若{bn}有界,则{an}有界;(2)若{bn}收敛,则{an}收敛 分析本题主要考察数列有界与收敛的定义以及具有一定关系的两个数列之间的互推关系 证明(1)由①有 44w- (bn-2-qan-2)=bn-1+(-q)bn-2+(-q)2an =…=bn-1+(-q)b-2+(-q)2bn-3+…+(-q)-2b+(-q)-1 若{bn}有界,则彐M1>0,使 bn|<M1,(n∈N) 再令M=maxM1,|a1|},那么由②式知 所以{an}有界 (2)若{bn}收敛,设limb=b.则存在c>0,使 1.-≤c,(n∈N,a≤c,=q≤ 下证iman a-[b+(-q)b+(-q)2b+…+(-q)2b] ≤|bn-1-b+|b-2-b|q+…+|b1-b|q-2+|a1lq-1 对c>0,3N1>0,当n>N1时 对上述ε,3N2>0,当n>N2时 取N=N1+N2+2,则当n>N时,由③式 32·
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 综上可知#在+$&,中存在一个子列是无穷大量! 再证 C 中存在一个收敛子列!,#&##取$%# $ 先考虑在!($#$$中若含 C 的无穷子集#则将它们按+$&,的原来次序可得到收敛子列 $7! #$7$ #&#$7&#& # 因为 ,$7< #$7T +$7< ($7T+%$$%# <#收敛! 若在!($#$$中只含 C 有限多个元素#再考虑!$#’$$和!(’$#($$#如果其中有一个含 C 的无穷多个元素#仿上即证! 这样继续下去#由于 ( 是常数#总存在7使 ( %7$#因此#上述!T$#T&$$$或!T$($$#T$$ 中#不可能都只含 C 中有限集#证毕! %题#& !清华大学#$##4年$设) 中数列+%&,#+;&,满足 %&&!%;&(#%&#&%!#$#&#其中#%#%!! # 证明)!!$若+;&,有界#则+%&,有界* !$$若+;&,收敛#则+%&,收敛! 分析 本题主要考察数列有界与收敛的定义以及具有一定关系的两个数列之间的互推关系! 证明 !!$由#有 %& %;&(!(#%&(! %;&(!(#!;&($(#%&($$%;&(!&!(#$;&($&!(#$$ %&($ %&%;&(!&!(#$;&($&!(#$$ ;&(’&&&!(#$&($ ;!&!(#$&(! %! $ 若+;&,有界#则1(!&##使 +;&+%(!#!�$ 再令 (%9:;+(!#+%!+,#那么由$式知 +%&+$(!!&#&#$&&&#&(!$% ( !(# #!�$ 所以+%&,有界! !$$若+;&,收敛#设7.9&0) ;&%;!则存在=&##使 +;&(;+$=#!�$#+%!+$=#! !(# $= 下证7.9&0) %&% ; !&#! +%&((;&!(#$;&!(#$$ ;&&&!(#$&($ ;’+ $+;&(!(;+&+;&($(;+#&&&+;!(;+#&($&+%!+#&(! % 对,#&##10!&##当&&0! 时 +;&(;+%# $= 对上述##10$&##当&&0$ 时 = ) &A0$?! #& % # $= 取 0%0!&0$&$#则当&&0 时#由%式 +%&((;&!(#$;&!(#$$ ;&&&!(#$&($ ;’+ %#"%
第二章数列极限:三 ≤(1+lq+…+l-M)2+c(lq-++…+l-) 2c+c·2<2+2 lim an=lim[b+(-q)b+.+(-9)"b] 故{an}收敛 【题4】(厦门大学,2006年)证明数列x=√a+√a+……+√a(n个根式),a>0,n=1,2… 极限存在,并求imxn 解题分析本题主要利用单调有界数列的性质解题 解题过程证明由假设知xn=√a+xn-1 用数学归纳法证明:xn+1>xn,k∈N ∵n2=√a+x=√a+√>a=n1,当n=1时,②式成立 假设n=k结论成立,即x4+1>xk,当n=k+1时,由① 即②式对n=k+1也成立,从而对一切自然数成立,此即证{xn}单调递增 用数学归纳法可证0<xn<√a+1,n∈N 此即证{xn}单调递增有上界,从而lmxn=l(存在).再对①式两边取极限得l=√a+1, 解得l 和l √T+4a 舍去) 身课后习题全解 §1数列极限概念 1+(=1) 1)对下列c分别求出极限定义中相应的N:=0.1,e2=0.01,e3=0.001; (2)对c1,e2,e3可找到相应的N,这是否证明了an趋于0?应该怎样做才对; (3)对给定的e是否只能找到一个N? 分析本题考察的是极限定义,为任意小的正数存在正整数N,当n>N,有|an-a|<ε,则 数列{an}以a为极限,注意这里的c与N并不是一一对应的关系,N可以取多个,只要满 足上述不等式 解(1)由于1an-a|=1+(1)≤2,要使2<4(k=1,2,3),只要n>2=2×10( 1,2,3),故对于1,E2,3,相应的N1=20,N2=200,N3=2000 (2)只对三个确定的ε,寻找出相应的N,还不足以证明an趋于0.例如,给定数列
第二章 数列极限 $!!&+#+&&&+#+&(0! $# $=&=!+#+&(0!&!&&&+#+&(!$ $ ! !(# %# $=&=%# $=%# $ &# $ %# <7.9&0) %& %7.9&0) (;&!(#$;&&&!(#$&($ ;’% ; !&# 故+%&,收敛! %题’& !厦门大学#$##4年$ 证明数列 $&% !%& !%&&&&!%!&个根式$#%&##&%!#$&& 极限存在#并求7.9&0) $&! 解题分析 本题主要利用单调有界数列的性质解题! 解题过程 证明 由假设知$&% !%&$&(! # 用数学归纳法证明)$&&!&$#0 $ D$$% !%&$! % !%&!%&!%%$!#当&%!时#$式成立! 假设&%7结论成立#即$7&!&$7!当&%7&!时#由# $7&$% !%&$7&! & !%&$7 %$7&! 即$式对&%7&!也成立#从而对一切自然数成立#此即证+$&,单调递增! 用数学归纳法可证#%$&%!%&!#� 此即证+$&,单调递增有上界#从而7.9&0) $&%Q!存在$!再对#式两边取极限得Q% !%&Q# <Q$(Q(%%# 解得Q %!& !!&*% $ 和Q%!( !!&*% $ !舍去$ < 7.9$/ &0) %!& !!&*% $ 课后习题全解 F! 数列极限概念 5!" 设%& A!? !@!$& & # &A!#$#&#%A#! !!$对下列#分别求出极限定义中相应的0)#! A#"!##$ A#"#!##’ A#"##!* !$$对#!##$##’ 可找到相应的 0#这是否证明了%& 趋于#-应该怎样做才对* !’$对给定的#是否只能找到一个0- 分析 本题考察的是极限定义##为任意小的正数#存在正整数 0#当&& 0#有 %& @% %##则 数列+%&,以%为极限#注意这里的#与0 并不是一一对应的关系#0 可以取多个#只要满 足上述不等式即可! 解 !!$由于B%&@%BA!? !@!$& & $ $ &#要使 $ & %#7!7A!#$#’$#只要&& $ #7 A$U!#7 !7 A!#$#’$#故对于#!##$##’#相应的 0! A$##0$ A$###0’ A$###! !$$只对三个 确 定 的##寻 找 出 相 应 的 0#还 不 足 以 证 明 %& 趋 于 #!例 如#给 定 数 列 %##%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) {.=1000对=0.1,=0.01,=0.00,均有相应的N,使n>N,有|a 0|<a(k=1,2,3),但an不趋于0 正确的做法是严格按照定义要求去证明即v>0,欲使|an-a|=a,≤2<,只 故3N[],当>N时,有 (3)不是,如(2)中也可取N1=「21,或N2=2「21.实际上,只要能找到一个N满足要 求,则所有比N大的自然数均可作新的N 2」按-N定义证明: (3)lim (4) lim sin =0: (5)lim 0(a>1). 分析在用-N定义证明极限时,先写出|an-a|,然后再用具体方法,(1)(2)(3)(5)利用放 缩法,其中(5)还利用二项式定理,(4)利用等价无穷小量来论证.其中放缩法是极限思 想的核心,只要找到合适的N即可 证明 由于 故对ε>0,取N 1,则当n>N时,有 -1|-n<< 因此 (2)由于 3=(n≥3),故对v>0取N 则当n>N时,有 因此 1-2 一<÷故y>0取N-[1当,>N时,有 因此 (4)由于snn-0=smnx<票(m≥3),故对vc>0,取N
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ %& A !@!$& + !####,#对#! A#"!##$ A#"#!##’ A#"##!#均有相应的 0#使&& 0#有B%&@ #B%#7!7A!#$#’$#但%& 不趋于#! 正确的做法是严格按照定义要求去证明!即 ,#&##欲使B%& @%BA%& $ $ & %##只 要&& $ ##故 10 A $ (# ’?!#当&& 0 时#有B%& @#B%##从而有7.9&0) %& A#! !’$不是!如!$$中也可取 0! A $ (# ’#或 0$ A$ $ (# ’!实际上#只要能找到一个 0 满足要 求#则所有比 0 大的自然数均可作新的0! 5$" 按#@0 定义证明) !!$7.9&0) & &?!A!* !$$7.9&0) ’&$ ?& $&$ @!A ’ $ * !’$7.9&0) &. && A#* !*$7.9&0) +./ ( & A#* !3$7.9&0) & %& A#!%&!$! 分析 在用#@0 定义证明极限时#先写出 %& @% #然后再用具体方法#!!$!$$!’$!3$利用放 缩法#其中!3$还利用二项式定理#!*$利用等价无穷小量来论证!其中放缩法是极限思 想的核心#只要找到合适的 0 即可! 证明 !!$由于 & &?!@! A ! &?!#故对 ,#&##取 0 A ! (# ’?!#则当&& 0 时#有 & &?!@! A ! &?!% ! & %# 因此 7.9&0) & &?!A! !$$由于 ’&$ ?& $&$ @!@ ’ $ A $&?’ *&$ @$ $ ’& ’&$ A ! &!& - ’$#故 对 ,# & ##取 0 A 9:; ’# ! + (# ’?!,#则当&& 0 时#有 ’&$ ?& $&$ @!@ ’ $ $ ! & %# 因此 7.9&0) ’&$ ?& $&$ @!A ’ $ !’$由于 &. && @# A&. && $ ! &#故对 ,#&##取 0 A ! (# ’?!#则当&& 0 时#有 &. && @# $ ! & %# 因此 7.9&0) &. && A# !*$由于 +./ ( & @# A +./ ( & % ( &!&-’$#故对 ,#&##取 0 A 9:; ’# * + (# ’,# %#$%
二章数列极限 则当n>N时,有 n-0<x 因此 lim (5)由于a>1,故可设a=1+r(r>0),则 a”=(1+r)=1+m+x(n=1)2+…+r≥(n=1r(m≥2) 于是 故对H>0,取 (a-1)2E (n-1)(a-1) 因此 ◎3.根据例2,例4和例5的结果(见教材)求出下列极限,并指出哪些是无穷小数列: (3)lim na (5)lim-1 (6)lim√10 (7)lim 解(1)这是例2中。一的情形由例21lmn-0a>0,知lm=0,且{为无穷小 数列 (2)这是例5中a=3的情形,由例5lima=1(a>0),知lm3=1 (3)这是例2中a=3的情形,由此知im1=0,且 {2 为无穷小数列 ()这是例4中q=言的情形由矿=0(191<1,知m=m()=0,且 为无穷小数列 (5)这是例4中q=的情形.由此知lm 厘()-0,且 为无穷小数列 (6)这是例5中a=10的情形.故lm√10=1. (7)这是例5中a=1的情形,故im1= ○4.证明:若 lim a=a,则对任一正整数k,有 lim a=a. 证明由lman=a,知Ⅴe>0,3N>0,当n>N时,有|an-a|<ε,而n+k>n>N,故
第二章 数列极限 则当&& 0 时#有 +./ ( & @# % ( & %# 因此 7.9&0) +./ ( & A# !3$由于%&!#故可设%A!?J!J&#$#则 %& A !!?J$& A!?&J?&!&@!$ $ J$ ? & ?J& -&!&@!$ $ J$!&-$$! 于是 & %& @# A & %& $ $& &!&@!$J$ A $ !&@!$J$ 故对 ,#&##取 0 A $ (!%@!$$ #’?$ 则当&& 0 时#有 & %& @# % $ !&@!$!%@!$$ %# 因此 7.9&0) & %& A# 8’" 根据例$#例*和例3的结果!见教材$求出下列极限#并指出哪些是无穷小数列) !!$7.9&0) ! !& * !$$7.9&0) & !’* !’$7.9&0) ! &’ * !*$7.9&0) ! ’&* !3$7.9&0) ! !$& * !4$7.9&0) & !!#* !5$7.9&0) ! & !$! 解 !!$这是例$中"A ! $ 的情形!由例$7.9&0) ! &" A#!"&#$#知7.9&0) ! !&A##且 ! +!&,为无穷小 数列! !$$这是例3中%A’的情形!由例37.9&0) & !% A!!%&#$#知7.9&0) & !’A!! !’$这是例$中"A’的情形!由此知7.9&0) ! &’ A##且 ! +&’ ,为无穷小数列! !*$这是例*中#A ! ’ 的情形!由7.9&0)#& A#!B#B%!$#知7.9&0) ! ’& A7.9&0) ! $! ’ & A##且 ! +’& ,为无穷小数列! !3$这是例*中#A ! !$ 的情形!由此知7.9&0) ! !$& A7.9&0) ! !!$$ & A##且 ! +!$&,为无穷小数列! !4$这是例3中%A!#的情形!故7.9&0) & !!#A!! !5$这是例3中%A ! !$ 的情形!故7.9&0) ! & !$ A7.9&0) & ! ! $ A!! 8*" 证明)若7.9&0) %& A%#则对任一正整数7#有7.9&0) %&?7 A%! 证明 由7.9&0) %& A%#知 ,#&##10 &##当&& 0 时#有B%& @%B%##而&?7&&& 0#故 有 B%&?7 @%B%# %#%%