数学分析同步辅导及习题全解(上册) 证明 sup I f(r)-f(r)=M-m 分析要证sup|f(x)-f(x")=M-m,可以想到 sup f(x)-f(x)≤M-m及sup f(x)-f(x)|>M-m,利用确界性质有m≤f(x)≤M,m≤f(x")≤M得第一个 等式,再利用f(x1)>M-2,(x)<m+联立,得第二个不等式,最终得出结论 证明因为对任意的x、x∈I有 ≤f(x)≤M,m≤f(x")≤M 从而有 m-M≤f(x)-f(x)≤M-m 即 1f(x)-f(x")|≤M-m 所以 supf(x)-f(x")|≤M一m 另一方面,对任意的c>0,存在x1、x2∈I 使得 f(rI)>M f(x2)<m+ 从 M一m-E<f(x1)-f(x2)≤|f(x1)-f(x2) 因此 f(x)-f(x")|=M-m 小结本题可采用先分析后综合的方法来论证,在证明等式时,可以把它拆成两个方向相反的不 等式分别论证,这一思想在今后学习中会多次用到
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 证明 +,- $O#$P#: B,!$O$@,!$P$BA ( @<! 分析 要证 +,- $ O#$ P #: ,!$O$@,!$P$ A (@<#可以想到 +,- $ O #$ P #: ,!$O$@,!$P$ $ (@< 及 +,- $ O #$ P #: ,!$O$@,!$P$ & (@<#利用确界性质有< $,!$O$$ (#< $,!$P$$ (#得第一个 等式#再利用,!$!$& ( @ # $ #,!$$$% <? # $ 联立#得第二个不等式#最终得出结论! 证明 因为对任意的$O"$P #:有 < $,!$O$$ (# < $,!$P$$ ( 从而有 <@( $,!$O$@,!$P$$ ( @< 即 B,!$O$@,!$P$B$ ( @< 所以 +,- $O"$P#: B,!$O$@,!$P$B$ ( @< 另一方面#对任意的#&##存在$!"$$ #: 使得 ,!$!$& ( @ # $ # ,!$$$% <? # $ 从而 ( @<@#%,!$!$@,!$$$$B,!$!$@,!$$$B 因此 +,- $O"$P#: B,!$O$@,!$P$BA ( @< 小结 本题可采用先分析后综合的方法来论证#在证明等式时#可以把它拆成两个方向相反的不 等式分别论证#这一思想在今后学习中会多次用到! %"&%
第二章 数列极限 内容提要 定义 设{an}是一个数列,若存在确定的数a对ve>0,总3N>0,使当n>N时,都有|a.-a1<e,则 称数列{an}收敛于a,定数a称为数列{an}的极限,记为iman=a,否则称数列{an}不收敛(或 称发散数列) 性质 1.惟一性若数列{an}收敛,则它只有一个极限 2.有界性若数列{an}收敛,则存在正数M,使|an|≤M(n=1,2……) 3.保号性若 lim a=a>0(或<0),则对任意一个满足不等式a'∈(0,a)(或a'∈(a,0)的 都存在正数N,使当n>N时,an>a'(或an<a') 4.保不等式性若 lim a=a,limb=b,若存在正数N0,使an≤b(n>N),则a≤b 5.迫敛性(两边夹逼定理) lim a= lim b=a,且an≤cn≤b2(n>N),则 lim c=a. 三、运算 1.若 lim a=a, lim b=b,则lim(an±bn)=a±b,lim(an·bn)=ab 2.若 lim a=a,bn≠0(n=1,2 lmbn=b≠0,则lima=2 四、一些常用的极限 I.limamtam-1n-1+.+ain+ao bnx+b-1n-1+…+b1n+b 0,k>m
第二章 数 列 极 限 内容提要 一!定义 设+%&,是一个数列#若存在确定的数%#对,#&##总10&##使当&&0 时#都有+%&(%+%##则 称数列+%&,收敛于%#定数%称为数列+%&,的极限#记为7.9&0) %&%%#否则称数列+%&,不收敛!或 称发散数列$! 二!性质 !" 惟一性 若数列+%&,收敛#则它只有一个极限! $" 有界性 若数列+%&,收敛#则存在正数 (#使+%&+$(!&%!#$&&$! ’" 保号性 若7.9&0) %&%%&#!或%#$#则对任意一个满足不等式%O#!##%$!或%O#!%##$的%O# 都存在正数 0#使当&&0 时#%&&%O!或%&%%O$! *" 保不等式性 若7.9&0) %&%%#7.9&0) ;&%;#若存在正数 0##使%&$;&!&&0#$#则%$;! 3" 迫敛性!两边夹逼定理$ 7.9&0) %&%7.9&0) ;&%%#且%&$=&$;&!&&0#$#则7.9&0) =&%%! 三!运算 !" 若7.9&0) %&%%#7.9&0) ;&%;#则7.9&0) !%&6;&$%%6;#7.9&0) !%&%;&$%%;! $" 若7.9&0) %&%%#;&"#!&%!#$#&&$#7.9&0) ;&%;"##则7.9&0) %& ;& %% ; ! 四!一些常用的极限 !"7.9&0) %<&< &%<(!&<(!&&&%!&&%# ;7&7 &;7(!&7(!&&&;!&&;# % %< ;< #7%< ##7& ’ ( ) < %"’%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 其中k≥m,an≠0,b≠0 2. limn=l, lima=1(a>0) 3.若 lim a=a,则 (1)lim 1+a2+…+an (2)又若an>0(n=1,2,…),则lima1a2…an=a =0(a>0,a≠1,k≥1) 5. lim 6.lim,=0(c>0) 8.若 lim a=a,a>0,an>0,则lim%an=1 五、数列的收敛的充要条件 1.柯西准则数列{an}收敛的充要条件是:Hc>0,总存在自然数N,使当n,m>N,都有|an 2.子数列法则数列{an}收敛的充要条件是它的任一子列都收敛于同一极限 六、单调数列 任何有界的单调数列一定有极限.且单调递增有界数列的极限为其上确界;单调递减有界数列 的极限为其下确界, 典型例题与解题技巧 【例1】设 lim a=a, lim b=b,且a<b,证明:存在正数N,使得当n>N时有an<b 分析应用数列极限的E-N定义 证明取正数c=(b>a),因ima,=a,由极限的c-N定义,对于正数c=2,存在正整数 当n>N1时,有 as-ak<e=2g 又mb=b,同理存在正整数N当n>N2时,有 Ib, -bl<e= bach< 取N=max{N1,N2},则当n>N时,①②同时成立,即 28
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 其中7-<#%< "##;7"#! $"7.9&0) & !&%!#7.9&0) & !%%!!%&#$! ’" 若7.9&0) %&%%#则 !!$7.9&0) %!&%$&&&%& & %%* !$$又若%&&#!&%!#$#&$#则7.9&0) & !%!%$&%&%%! *"7.9&0) 781%& &7 %#!%&##%"!#7-!$! 3"7.9&0) &7 =& %#!=&!$! 4"7.9&0) =& &.%#!=&#$! 5"7.9&0) &. && %#! G" 若7.9&0) %&%%#%&##%&&##则7.9&0) & !%&%!! 五!数列的收敛的充要条件 !" 柯西准则 数列+%&,收敛的充要条件是),#&##总存在自然数 0#使当&#<&0#都有+%&( %<+%#! $" 子数列法则 数列+%&,收敛的充要条件是它的任一子列都收敛于同一极限! 六!单调数列 任何有界的单调数列一定有极限!且单调递增有界数列的极限为其上确界*单调递减有界数列 的极限为其下确界! 典型例题与解题技巧 %例!& 设7.9&0) %&%%#7.9&0) ;&%;#且%%;!证明)存在正数 0#使得当&&0 时有%&%;&! 分析 应用数列极限的#(0 定义! 证明 取正数#%;(% $ !;&%$#因7.9&0) %&%%#由极限的#(0 定义#对于正数#%;(% $ #存在正整数 0!#当&&0! 时#有 +%&(%+%#%;(% $ 即 ’%(; $ %%&%%&; $ # 又7.9&0) ;&%;#同理存在正整数 0$#当&&0$ 时#有 +;&(;+%#%;(% $ 即 ;&% $ %;&%’;(% $ $ 取 0%9:;+0!#0$,#则当&&0 时##$同时成立#即 %"(%
第二章数列极限N 即存在正数N,使得当n>N时有an<bn 【例2】设0<C1=…-=号+号证明:)收敛并求其极限 分析利用数学归纳法,根据单调有界数列性质 证明我们用两种证明方法 证法1用数学归纳法可以证明 令f(x)=2+2,则f(x)=x an+1-a,|=|f(an)-f(a-1)|=f()|·|an-an-1 其中介于a。与am-1之间,由于0<c<1,再由①式可知{an}为压缩数列故收敛,设 l=÷+-,-2l+c=0 lim a=1-√①-c 证法2先用数学归纳法可证 再用数学归纳证明 显然a2≥a1,归纳假设a≥a4-1,则 从而③成立 由②,③知{an}单调递增有上界 lim a=l(存在) ,注意到1 【例3】利用 Cauchy收敛原理讨论下列数列的收敛性 (2)xn=1 1-31-3 +…+ +(-1)+1 解题分析数列{an}收敛的充要条件是:对任给的c>0,存在正整数N,使得当n,m>N时有|an
第二章 数列极限 ’;(% $ %%&%%&; $ %;&%’;(% $ < %&%;& 即存在正数 0#使得当&&0 时有%&%;&! %例"& 设#%6%!#%!%6 $ #%&&!%6 $ &%& $ $ !证明)+%&,收敛#并求其极限! 分析 利用数学归纳法#根据单调有界数列性质! 证明 我们用两种证明方法! 证法! 用数学归纳法可以证明 #%%&%=#!&%!#$#&&$ 令,!$$%= $ &$$ $ #则,O!$$%$ +%&&!(%&+%+,!%&$(,!%&(!$+%,O!%$+%+%&(%&(!+ %%%+%&(%&(!+%=+%&(%&(!+ # 其中%介于%& 与%&(!之间#由于#%=%!#再由#式可知+%&,为压缩数列#故收敛#设 7.9&0) %&%Q! 由于 %&&!%= $ (%$ & $ < Q%= $ &Q$ $ #Q$($Q&=%# Q%!& !!(=!舍去$#Q%!( !!(= < 7.9&0) %&%!( !!(= 证法" 先用数学归纳法可证 #%%&%! !&%!#$#’&&$ $ 再用数学归纳证明 %&&!-%& !&%!#$#’&&$ % 显然%$-%!#归纳假设%7-%7(!#则 %7&!(%7% ! $!%$ 7(%$ 7(!$% ! $!%7&%7(!$!%7(%7(!$-# 从而%成立! 由$#%知+%&,单调递增有上界 < 7.9&0) %&%Q!存在$ < Q%= $ &Q$ $ #注意到Q%! < 7.9&0) %&%Q%!( !!(= %例#& 利用 @:,=MO收敛原理讨论下列数列的收敛性! !!$$&%!& ! $ & ! ’ &&& ! &* !$$$&%!( ! $ & ! ’ (&&!(!$&&! ! &! 解题分析 数列+%&,收敛的充要条件是)对任给的#&##存在正整数 0#使得当&#<&0 时有+%&( %")%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 题过程(1) Im-TRI= 取m=2nx-n1>2n+2+…+2 对c=1,yn,3n,m=2n,1xx|>,故数列发散 1 ve>0,3N=[1],当m>n>N时,|x-x|< 【求根限回(++) 解题分析题中极限式与m(1+)相近但有区别在(1++2)中比(+)多出了一项 合理的途径是化简(++)为(++) 然后应用迫敛性来求 解题过程因为n+元=n2<n2-1二n,所以 (1++ 应用迫敛性,即有 m(1 【例5】有界数列{xn}若不收敛,则必存在两个子列,即 分析根据 bolzano- Weierstrass致密性定理,有界数列必有收敛子列 证明由致密性定理,有界数列{x}存在收敛子列,记为x,设其极限为a,即x2→a 由题可知x。不收敛于a.于是,彐ε>0,N,彐n>N,使得|xn-a|≥E 彐e>0,对N=1,彐n>N=1,使得|xn1-al|≥e 对N=n1,3n2>n1,使得|xn2-a|≥e 同理,对N=m-1,3m>m-,使得|x-a|≥e 如上选取的数列{x2},显然不收敛于a.而{x}为有界数列,存在收敛子列{x2},设其极限 为b,即x2)→b,显然b≠a
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ %<+%#! 解题过程 !!$ +$< ($&+% ! &&!& ! &&$&&& ! <!<&&$ 取 <%$&#+$< ($&+& ! $&& ! $&&&& ! $&% ! $ 对#% ! $ #,&#<%$&#+$< ($&+&##故数列发散! !$$+$< ($&+% !(!$&&$ ! &&!&!(!$&&’ ! &&$&&&!(!$<&! ! < !<&&$ % ! &&!( ! &&$&&&!(!$<(&(! ! < % ! &&!%# ,#&##10%(! #’#当 <&&&0 时#+$< ($&+%#! %例’& 求极限7.9&0) !& ! && ! ! &$ $ & ! 解题分析 题中极限式与7.9&0) !& ! ! &$ & 相近但有区别#在 !& ! && ! ! &$ $中比 !& ! ! &$多出了一项 ! &$ !合理的途径是化简 !& ! && ! ! &$ $ & 为 !&&&! ! &$ $ & #然后应用迫敛性来求解! 解题过程 因为 ! && ! &$ %&&! &$ %&&! &$(!% ! &(!#所以 !& ! ! &$ & % !& ! && ! ! &$ $ & % !& ! ! &(!$ & 7.9&0) !& ! ! &$ & %K 7.9&0) !? ! ! &@!$ & A7.9&0) !? ! ! &@!$ &@! 7.9&0) !? ! ! &@!$AK 应用迫敛性#即有 7.9&0) !? ! & ? ! ! &$ $ & AK %例(& 有界数列+$&,若不收敛#则必存在两个子列#即 $!!$ &7 0%#$!$$ &7 0;!%";$! 分析 根据 ?87P:/81QK.KI+JI:++致密性定理#有界数列必有收敛子列! 证明 由致密性定理#有界数列+$&,存在收敛子列#记为$!!$ &7 #设其极限为%#即$!!$ &7 0%! 由题可知$& 不收敛于%!于是#1#&##,0#1&&0#使得+$&(%+-#! 1#&##对 0%!#1&!&0%!#使得+$&!(%+-#! 对 0%&!#1&$&&!#使得+$&$(%+-#! 同理#对 0%&7(!#1&7&&7(!#使得+$&7 (%+-#! 如上选取的数列+$&7,#显然不收敛于%!而+$&7,为有界数列#存在收敛子列+$!$$ &7 ,#设其极限 为;#即$!$$ &7 0;#显然;"%! %#*%