数学分析同步辅导及习题全解(上册) 因此 O5.试用定义1(见教材,下同)证明: (1)数列{—}不以1为极限:;(2)数列{n一”)发散 证明()n-则当n>1时,有一1≥号>即数列{)中有无穷多项落在 U(1·3)之外,故数列{}不以1为极限 (2)本题即证Ha∈R有limn-1)≠a,取Eo=1,则存在正整数N=|[a]|+1,当m N时,只要n=2m,m∈N,有n=2m>2|[a]|+2>a+1,即|n-1 >1.故数列{n1)}中有无穷多项落在U(a,1)之外,因此有lmn-1)≠a.由a的 任意性知数列{n-1}发散 O6.证明定理2.1,并应用它证明数列{1+二=1)的极限是1 证明定理2.1:数列{an}收敛于a的充要条件是,{an-a}为无穷小数列 充分性若im(an-a)=0,则对于V>0,3N>0,当n>N时,l(an-a)-0 必要性若 lim a=a,则对>0.3N>0,当n>N时,|an-al<ε,即|(an 设数列{1+二))为{an},a,=1+=1),a=1.下证{an-a}即(”}为无穷小 数列 ve>0,取N=「11+1,当n>N时,=1 为无穷小数列由此,得{1+ 的极限为1 ◎7.证明:若 lim a=a,则lim|an|=|a|.当且仅当a为何值时反之也成立 分析证明有绝对值的极限要利用绝对值不等式,证明极限发散可以用反证法 证明由 lim a=a可知,ε>0,彐N>0,当n>N时,|an-a|<ε.而‖an|-|a|< 故| l<e,因此im|an|=|al 当且仅当a=0时反之也成立,证明如下 若a≠0,则显然数列{(-1)°a}为发散数列,这与已知{(-1)°al}为收敛数列矛盾,故 此时反之不成立 ○8.按ε-N定义证明: (1)lim(√n+1-√n)=0 (2)lim1+2
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 因此 7.9&0) %& A% 83" 试用定义!O!见教材#下同$证明) !!$数列 ! +&,不以!为极限* !$$数列+&!@!$& ,发散! 证明 !!$取## A ! ’ #则当&&!时#有 ! & @! - ! $ & ! ’ #即数列 ! +&,中有无穷多项落在 * !!# $! ’ 之外!故数列 ! +&,不以!为极限! !$$本题即证 ,%#$有7.9&0) &!@!$& "%!取## A!#则存在正整数0# AB(%’B?!#当< & 0# 时#只要&A$<#< # %? #有&!@!$& A$< &$B(%’B?$&%?!#即B&!@!$& @% B&!!故数列+&!@!$& ,中有无穷多项落在*!%#!$之外#因此有7.9&0) &!@!$& "%!由%的 任意性知数列+&!@!$& ,发散! 84" 证明定理$"!#并应用它证明数列 !? !@!$& + & ,的极限是!! 证明 定理$"!)数列+%&,收敛于%的充要条件是#+%& @%,为无穷小数列! 充分性 若7.9&0) !%& @%$A##则对于 ,#&##10 &##当&& 0 时#B!%&@%$@#B% ##即B%& @%B%##故7.9&0) %& A%! 必要性 若7.9&0) %& A%#则对 ,#&##10 &##当&& 0 时#B%& @%B%##即B!%& @ %$@#B%##故7.9&0) !%& @%$A#! 设数列 !? !@!$& + & ,为+%&,#%& A!?!@!$& & #%A!!下证+%&@%,即 !@!$& + & ,为无穷小 数列! ,#&##取0 A ! (# ’?!#当&&0 时# !@!$& & @# A ! & %##故7.9&0) !@!$& & A##即 !@!$& + & ,为无穷小数列!由此#得 !? !@!$& + & ,的极限为!! 55!证明)若7.9&0) %& A%#则7.9&0) B%&BAB%B!当且仅当%为何值时反之也成立- 分析 证明有绝对值的极限要利用绝对值不等式#证明极限发散可以用反证法! 证明 由7.9&0) %& A%可知#,#&##10 &##当&& 0 时#B%& @%B%#!而BB%&B@B%BB%B %& @%B#故BB%&B@B%BB%##因此7.9&0) B%&BAB%B! 当且仅当%A#时反之也成立#证明如下! 由7.9&0) %& A#知#对 ,#&##10 &##当&& 0 时#BB%&B@#BAB%&BAB%&@#B%## 故 7.9&0) %& A# 若%"##则显然数列+!@!$& %,为发散数列#这与已知+B!@!$& %B,为收敛数列矛盾#故 此时反之不成立! 8G" 按#@0 定义证明) !!$7.9&0) !!&?!@!&$A#* !$$7.9&0) !?$? & ?& &’ A#* %#&%
一 (3)iman=1,其中a n为奇数 证明(1)由于 2 故对于c>0,取N H+1,则当n>N时,有|vm+1-|<e 因此 lim(√n+1-√n)=0 (2)由于 1+2+ 故对于v>0取N-「1+1则当n>N时,有|+2计“+-k≤ 因此 (3)Ve>0,欲使|an-1|<ε,须 及 n(√m2+n+n) 同成立要,>÷即可,故>0取N[+,当,>N时,有1 因此 §2收敛数列的性质 」求下列极限: (1)1inn2+3n2+1 (2)lim1+2n (3)1 (4)Iim(√n2+n-n) (5)lim(T++…+√10); (6)lin 3 析极限运算方法很多,分子分母同除某数如(1)(3),拆项求和(2),分子有理化(4),极限与求 和互换(5),以及分子分母同时求极限(6)等,具体问题具体分析 解(1)im2+3n+1=lim 4n3+2n+3
第二章 数列极限 !’$7.9&0) %& A!#其中%& A &@! & # &为偶数# &$ ! ?& & # &为奇数 ’ ( ) ! 证明 !!$由于 !&?!@!& A ! !&?!?!&% ! $!& 故对于 ,#&##取 0 A ! (*#$ ’?!#则当&& 0 时#有 !&?!@!& %# 因此 7.9&0) !!&?!@!&$A# !$$由于 !?$? & ?& &’ A&!&?!$ $&’ A&?! $&$ $ $& $&$ A ! & 故对于 ,#&##取 0 A ! (# ’?!#则当&& 0 时#有 !?$? & ?& &’ @# $ ! & %# 因此 7.9&0) !?$? & ?& &’ A# !’$,#&##欲使B%& @!B%##须 &@! & @! A ! & %# 及 &$ ! ?& & @! A &$ ! ?&@& & A & &! &$ ! ?&?&$ % ! & %# 同时成立#这只要&& ! # 即可!故对#&##取 0 A ! (# ’?!#则当&& 0 时#有B%& @!B%# 因此 7.9&0) %& A! F$ 收敛数列的性质 6!" 求下列极限) !!$7.9&0) &’ ?’&$ ?! *&’ ?$&?’* !$$7.9&0) !?$& &$ * !’$7.9&0) !@$$& ?’& !@$$&?! ?’&?! * !*$7.9&0) ! &$ ! ?&@&$* !3$7.9&0) ! & !!?& !$? & ? & !!#$* !4$7.9&0) ! $ ? ! $$ ? & ? ! $& ! ’ ? ! ’$ ? & ? ! ’& ! 分析 极限运算方法很多#分子分母同除某数如!!$!’$#拆项求和!$$#分子有理化!*$#极限与求 和互换!3$#以及分子分母同时求极限!4$等#具体问题具体分析! 解 !!$7.9&0) &’ ?’&$ ?! *&’ ?$&?’A7.9&0) !? ’ & ? ! &’ *? $ &$ ? ’ &’ A ! * !$$7.9&0) !?$& &$ A7.9&0) ! &$ ? $ ! & $A# %#’%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) (4)lim(√n2+n-n)=lim lim (1 }+ 小结注意(2)(5)的方法,这两种方法在以后学习级数时会经常用到 lim b=b,且a<b.证明:存在正数N,使得当n>N时有an< 证明由 lim a=a,limb=b,得 lim(bm -an)=lim b.-lim a,=b-a>o 由极限的保号性知,存在正数N,使得当n>N时,有b-an>0,即an<bn O3.设{an}为无穷小数列,{bn}为有界数列.证明:{anb。}为无穷小数列 证明由于{b}为有界数列故存在M>0,使得n∈N,有|b|<M 而由lman=0知,对e>0,3N>0,当n>N时,有 a-01=1a,|b1<M+1·M<∈ 即 lim a h=0,因此{anbn}为无穷小数列 ●4.求下列极限 (2)lm(√y2…2); (3)lim (+2+…+22 (n+1)
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ !’$7.9&0) !@$$& ?’& !@$$&?! ?’&?! A7.9&0) !@ $$ ’ & ?! !@$$%!@ $$ ’ & ?’ A ! ’ !*$7.9&0) ! &$ ! ?&@&$A7.9&0) & &$ ! ?&?&A7.9&0) ! !? ! ! & ?! A ! 7.9&0) !? ! ! ! &$?! A ! $ !3$7.9&0) ! & !!?& !$? & ? & !!#$A ? !# 7A! 7.9&0) & !7 A!# !4$7.9&0) ! $ ? ! $$ ? & ? ! $& ! ’ ? ! ’$ ? & ? ! ’& A7.9&0) ! $ @ ! $&?! !@ ! $ % !@ ! ’ ! ’ @ ! ’&?! A7.9&0) $% !@ ! $& !@ ! ’& A$% !@7.9&0) ! $& !@7.9&0) ! ’& A$ 小结 注意!$$!3$的方法#这两种方法在以后学习级数时会经常用到! 8$" 设7.9&0) %& A%#7.9&0) ;& A;#且%%;!证明)存在正数 0#使得当&& 0 时有%& %;&! 证明 由7.9&0) %& A%#7.9&0) ;& A;#得 7.9&0) !;& @%&$A7.9&0) ;& @7.9&0) %& A;@%&# 由极限的保号性知#存在正数 0#使得当&& 0 时#有;& @%& &##即%& %;&! 8’" 设+%&,为无穷小数列#+;&,为有界数列!证明)+%&;&,为无穷小数列! 证明 由于+;&,为有界数列#故存在 ( &##使得 ,&# %? #有+;/+% (! 而由7.9&0) %& A#知#对 ,#&##10 &##当&& 0 时#有 B%&(#+%+%&+% + L&! 故 +%&;&(#+%+%&++R/+% # ( ?!%( %# 即7.9&0) %&;& A##因此+%&;&,为无穷小数列! 6*" 求下列极限) !!$7.9&0) ! !%$? ! $%’? & ? ! ! &!&?!$$* !$$7.9&0) !!$* !$G !$& $& !$$* !’$7.9&0) ! $ ? ’ $$ ? & ?$&@! ! $& $* !*$7.9&0) & !@ ! ! &* !3$7.9&0) ! &$ ? ! !&?!$$ ? & ? ! ! !$&$$ $* %#(%
第二章数列 (6)lim √m2+n 分析(1)利用拆项法,(2)把根式转化为指数,再求极限.(3)可以看成分母为同底数幂,分子为 奇数的级数求和,把级数的分子转化为同一个数和“1”,然后再分项求极限 (4)(5)(6)先用放缩法,再用极限迫敛性 解(1),m(1.2+2.3+…+m(n+15) (1-t)+(-)+…+(-+) (2)lim(·控……v)=1m2+2++ (3) 回[(+是+“+2)(+++2) [1+(受-)(一)+“+(2=-==2) [+2(1-)-2.2+2] -去2+] () (4)当n>2时,有<1-1<1,从而有 √<√-n 于y-m1-1,故根据极限的迫敛性得m√--1
第二章 数列极限 !4$7.9&0) ! &$ ! ?! ? ! &$ ! ?$ ? & ? ! &$ ! ! ?&$! 分析 !!$利用拆项法!!$$把根式转化为指数#再求极限!!’$可以看成分母为同底数幂#分子为 奇数的级数求和#把级数的分子转化为同一个数和/!0#然后再分项求极限! !*$!3$!4$先用放缩法#再用极限迫敛性! 解 !!$ 7.9 &0) ! !%$? ! $%’? & ? ! ! &!&?!$$ A7.9&0) !!@ $! $ ? ! $! @ $! ’ ? & ? ! & @ ! ( ! &?!$’ A7.9&0) !@ ! ! &?!$A! !$$7.9&0) !!$%* !$%&%$& !$$A7.9&0) $!! $?! $$?&?! $&$ A7.9&0) $! ! $@ ! $&?! !@! $ $ A7.9&0) $!@! $ & A$7.9&0) $& ! ! $ A$ !’$ 7.9&0) ! $ ? ’ $$ ? & ?$&@! ! $& $ A7.9&0) $ ! $ ? ’ $$ ? & ?$&@! ! $& $@ ! $ ? ’ $$ ? & ?$&@! ( ! $& $’ A7.9&0) !? ’ $ ? 3 $$ ? & ?$&@! $&@! @ ! $ @ ’ $$ & @$&@’ $&@! @$&@! ( $& ’ A7.9&0) !? ’ $! @ $! $ ? 3 $$ @ ’ ! $$ $? & ? $&@! $&@! @$&@’ ! $&@! $@$&@! ( $& ’ A7.9&0) !?!? ! $ ? ! $$ ? & ? ! $&@$ @$&@! ( $& ’ A7.9&0) !? !@ ! $&@! !@ ! $ @ & $&@! ? ! $ @ A B C & A7.9&0) !?$ !@ ! ! $&@! $@$%& $& ? ! ( $& ’ A7.9&0) ’@ * $& @$%& $& ? ! ( $& ’A7.9&0) ’@’%! $! $ & @$%& ( $&’ A7.9&0) ’@’7.9&0) ! $! $ & @$7.9&0) & $& A’ !*$当&&$时#有 ! $ %!@ ! & %!#从而有 & ! ! $ % & !@ ! ! & %! !&&$$ 由于7.9&0) & ! ! $ A7.9&0) !A!#故根据极限的迫敛性#得7.9&0) & !@ ! ! & A!! %#)%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 5)由+1∠+(m+D+…+2<n+1,且 (2n) (2n) lim 故根据极限的追敛性,得1m+(m+D+…+ G++”+ 1,且 +-1,加 故根据极限的追敛性得回(千+2+ 小结求极限问题在一定程度上可以看成是级数求和问题,把一个复杂的极限转化为几个简单 的极限之和.注意迫敛性在极限中的运用, D5」设{a}与{}中一个是收敛数列另一个是发散数列证明{a±b}是发散数列又问{a,b, 和{}(b≠0)是否必为发散数列? 分析证明数列发散通常可以采用反证法,构造收敛级数,得出矛盾的结论,也可以举出反例,本 题后两个采用这种方法,对于未知参数要分类讨论 证明设 t lim a=a,数列{bn}发散 反证法:若{an±bn}是收敛数列,即lim(an+bn)=c.由于 lim a=a,则 lim b= lim(a+b-a)=lim(a +b 即{bn}为收敛数列.这与已知矛盾,故{an土bn}为发散数列 若取a,=1,bn=(-1)(m=1,2…),则{an}为收敛数列,b}为发散数列,但此时 lim- 故{abn}与{2-)不一定是发散数列 若么≠0,且1m=b≠0,数列()发散,则(4)与{:}必发散,证明如下 反证法:若 lim a b=A,由 lim b=b≠0知 这与已知矛盾.类似地若imam=B,由 lim b=b≠0知
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ !3$由于&?! !$&$$ % ! &$ ? ! !&?!$$ ? & ? ! !$&$$ %&?! &$ #且 7.9&0) &?! !$&$$ A7.9&0) &?! *&$ A7.9&0) ! *&? ! ! *&$ $A# 7.9&0) &?! &$ A7.9&0) ! & ? ! ! &$ $A# 故根据极限的迫敛性#得7.9&0) ! &$ ? ! !&?!$$ ? & ? ! ( !$&$$ ’A#! !4$因 & &$ ! ?&% ! &$ ! ?! ? ! &$ ! ?$ ? & ? ! &$ ! ?&% & !&$ A!#且 7.9&0) & &$ ! ?&A7.9&0) ! !? ! ! & A!# 7.9&0) !A! 故根据极限的迫敛性#得7.9&0) ! &$ ! ?! ? ! &$ ! ?$ ? & ? ! &$ ! ! ?&$A!! 小结 求极限问题在一定程度上可以看成是级数求和问题#把一个复杂的极限转化为几个简单 的极限之和!注意迫敛性在极限中的运用! 53" 设+%&,与+;&,中一个是收敛数列#另一个是发散数列!证明+%& F;&,是发散数列!又问+%&;&, 和 %& +;& ,!;& "#$是否必为发散数列- 分析 证明数列发散通常可以采用反证法#构造收敛级数#得出矛盾的结论#也可以举出反例#本 题后两个采用这种方法#对于未知参数要分类讨论! 证明 设7.9&0) %& A%#数列+;&,发散! 反证法)若+%& F;&,是收敛数列#即7.9&0) !%& ?;&$A=!由于7.9&0) %& A%#则 7.9&0) ;& A7.9&0) !%& ?;& @%&$A7.9&0) !%& ?;&$@7.9&0) %& A=@% 即+;&,为收敛数列!这与已知矛盾#故+%& F;&,为发散数列! 若取%& A ! &$ #;& A !@!$&!&A!#$&$#则+%&,为收敛数列#+;&,为发散数列#但此时 7.9&0) %&;& A7.9&0) !@!$& ! &$ A## 7.9&0) %& ;& A7.9&0) !@!$& ! &$ A# 故+%&;&,与 %& +;& ,不一定是发散数列! 若;& "##且7.9&0) ;& A;"##数列+%&,发散#则+%&;&,与 %& +;& ,必发散!证明如下! 反证法)若7.9&0) %&;& A C#由7.9&0) ;& A;"#知 7.9&0) %& A7.9&0) %&;& ;& A C ; 这与已知矛盾!类似地若7.9&0) %& ;& AD#由7.9&0) ;& A;"#知 7.9&0) %& A7.9&0) %& ;& %;& AD; %$*%