第一章实数集与函数 O2.设f和g都是D上的初等函数,定义 试问M(x)和m(x)是否为初等函数? 解由习题1得 M(x)=+[f(x)+g(x)+1f(x)-g(x) =1[f(x)+g(x)+√(x)=g(x) m(x)=-[f(r)+g(x)-If(r)-g(r)I] 所以,M(x)与m(x)都是由D上的初等函数f(x)、g(x)经四则运算和有限次复合而成的 函数,所以,M(x)和m(x)都是初等函数 O3.设函数f(x) (-x),f(x+1),(x)+1,/(x),(x5,f(x),J(f(x) f(x)+1 x=}+ f((r) o4.已知/(x)=x+√+x,求f(x 分析本题采用倒代换的方法,即工=,但是根号中移出的数要加绝对值 解令1-则x-÷所以=+√+()-1+开故(2)-+ 故f(x) O5.利用函数y=[x]求解: (1)某系各班级推选学生代表,每5人推选1名代表,余额满3人可增选1名,写出可推选代表 数y与班级学生数x之间的函数关系(假设每班学生数为30~50人); (2)正数x经四舍五入后得整数y,写出y与x之间的函数关系 解(1)因余额满3人可补选一名,即就是可在原来基础上增加2人后取整,于是 y (2)由[x]的定义知y=[x+0.5],x>0
第一章 实数集与函数 8$" 设,和1 都是. 上的初等函数!定义 (!$$A 9:;+,!$$#1!$$,#<!$$A 9./+,!$$#1!$$,#$ # .! 试问 (!$$和 <!$$是否为初等函数- 解 由习题!得 (!$$A ! $(,!$$?1!$$?B,!$$@1!$$B’ A ! $(,!$$?1!$$? !(,!$$@1!$$’$’ <!$$A ! $(,!$$?1!$$@B,!$$@1!$$B’ A ! $(,!$$?1!$$@ !(,!$$@1!$$’$’ 所以#(!$$与 <!$$都是由 . 上的初等函数,!$$"1!$$经四则运算和有限次复合而成的 函数!所以#(!$$和 <!$$都是初等函数! 8’" 设函数,!$$A!@$ !?$#求) ,!@$$#,!$?!$#,!$$?!#, ! !$ $# ! ,!$$ #,!$$$#,!,!$$$! 解 ,!@$$A!?$ !@$ * ,!$?!$A @$ $?$ * ,!$$?!A!@$ !?$?!A $ !?$ * , ! !$ $A !@ ! $ !? ! $ A$@! $?!* ! ,!$$A!?$ !@$* ,!$$$A!@$$ !?$$ * ,!,!$$$A !@!@$ !?$ !?!@$ !?$ A$$ $ A$ 5*" 已知, ! !$ $A$? !!?$$ #求,!$$! 分析 本题采用倒代换的方法#即 ! $ AK#但是根号中移出的数要加绝对值! 解 令 ! $ AK#则$ A ! K!所以,!K$A ! K ? !? ! ! !K $ $ A ! K ? !!?K$ BKB #故,!$$A ! $ ? !!?$$ B$B #故,!$$A ! $ ? !!?$$ B$B ! 83" 利用函数-A ($’求解) !!$某系各班级推选学生代表#每3人推选!名代表#余额满’人可增选!名!写出可推选代表 数-与班级学生数$ 之间的函数关系!假设每班学生数为’#)3#人$* !$$正数$经四舍五入后得整数-#写出-与$ 之间的函数关系! 解 !!$因余额满’人可补选一名#即就是可在原来基础上增加$人后取整#于是 -A $?$ ( 3 ’ !$ A’##’!##$ !$$由($’的定义知 -A ($?#"3’#$ &# %"!%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) ◎6.已知函数y=f(x)的图象,试作下列各函数的图象: (1)y=-f(x);(2)y=f(-x);(3)y=-f(-x) (4)y=|f(x)|;(5)y=sgnf(x); y=[|f(x)|+f(x) 分析作函数图象找出函数关于原函数的对称点、对称中心,有绝对值号的要分类讨论 解(1)y=-f(x)和y=f(x)的图象关于x轴对称 (2)y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称 (3)y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称 (4y=1f(x)1={(x),x∈D.=(x|(x)≥0 f(x),x∈D2={x|f(x)<0} x∈D1={x|f(x)>0 (5)y x∈D2={x|f(x)=0} ∈D3={x|f(x)<0} (6)y=[lf(x)|+f(x) f(x),x∈D1={x|f(x)≥0} x∈D2={x|f(x)<0} (7) 2()|-2]-{ x∈D1={x|f(x)≥0} f(x),x∈D2={x|f(x)<0} 其图象如图1-14至图1-17 (4)y=f(x) (2)y=f(-x) 图1-15 (7)y=U/x)x (6)y=[f(x)+(x 图 ◎7.已知函数f和g的图象,试作下列函数的图象: (1)o(r)= maxi/f(r),g(r)):(2)(r)= mint(r).g(x)) 22
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 54" 已知函数-A,!$$的图象#试作下列各函数的图象) !!$-A@,!$$* !$$-A,!@$$* !’$-A@,!@$$* !*$-AB,!$$B* !3$-A+1/,!$$* !4$-A ! $(B,!$$B?,!$$’* !5$-A ! $(B,!$$B@,!$$’! 分析 作函数图象找出函数关于原函数的对称点"对称中心!有绝对值号的要分类讨论! 解 !!$-A@,!$$和-A,!$$的图象关于$轴对称! !$$-A,!@$$的图象与-A,!$$的图象关于-轴对称! !’$-A@,!@$$的图象与-A,!$$的图象关于原点对称! !*$-AB,!$$BA ,!$$# $ # .! A +$B,!$$-#, @,!$$# $ # .$ A +$B,!$$%# ’ ( ) , !3$-A+1/,!$$A !# $ # .! A +$B,!$$&#, ## $ # .$ A +$B,!$$A#, @!# $ # .’ A +$B,!$$%# ’ ( ) , !4$-A ! $(B,!$$B?,!$$’A ,!$$# $ # .! A +$B,!$$-#, ## $ # .$ A +$B,!$$%# ’ ( ) , !5$-A ! $(B,!$$B@,!$$’A ## $ # .! A +$B,!$$-#, @,!$$# $ # .$ A +$B,!$$%# ’ ( ) , 其图象如图!E!*至图!E!5! 图!E!* 图!E!3 图!E!4 图!E!5 55" 已知函数,和1 的图象#试作下列函数的图象) !!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,* !$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,! %""%
第一章实数集与函数 . .:r 分析将max{f,g}与min{f,g}转化为分段函数再讨论 解(1)g(x)=max{f(x),g(x)f(x),x∈D1={xf(x)≥g(x)} ),x∈D2={x|f(x)<g(x) g(x),x∈D1={x|f(x)≥g(x)} (2)()=mini(x),g(r)) 其图象如图1-18和图1-19 y=f(x) 、(x)-maxf(x)g(x) 图1-18 图1-19 ◎8.设f、g和h为增函数,满足 f(x)≤g(x)≤h R 证明:f(f(x))≤g(g(x)≤h(h(x)) 分析本题己经给出了f、g、h为增函数,把g(x)与h(x)看成中间变量.利用复合函数及其单调 性质,可证得结论 证明因对任意的x∈R,有f(x)≤g(x)≤h(x),且f(x)、g(x)和h(x)均为增函数,所以,有 f(f(x))≤f(g(x))≤g(g(x)≤g(h(x))≤h(h(x)) 即 f(f(x)≤g(g(x)≤h(h(x)) O9.设f和g为区间(a,b)上的增函数,证明第7题中定义的函数g(x)和y(x)也都是(a,b)上的增 证明对任意的x1、x2∈(a,b),x1<x2,由f(x)、g(x)在(a,b)上递增知f(x2)≥f(x1),g(x2) ≥g(x1),因此g(x2)≥f(x2)≥f(x1),g(x2)≥g(x2)≥g(x1),所以g(x2) max{f(x1),g(x1)}=g(x1),故g(x)在(a,b)上是增函数 理可证yx)是(a,b)上的增函数 O10.设∫为-a,a]上的奇(偶)函数.证明:若∫在[0,a]上增,则∫在[一a,0]上增(减) 证明任取x1、x2∈[-a,0],x1<x2,有-x1、-x∈[0,a]且-x1>-x2,由f(x)为[-a a]上的奇函数及在[0,a]上递增得,f(x)=-f(-x)<-f(-x2)=f(x2).所以f(x) 在[-a,0]上是递增的 同理可证f(x)为偶函数时的相应结论成立, ○Il.证明 (1)两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数 (2)两个偶函数之和与积之都为偶函数; (3)奇函数与偶函数之积为奇函数 分析对于(1)来说,m(x)≤f(x),然后利用f(x)+g(x)-g(x)=f(x) 以及一inf{-f(x)}=sup{f(x)}证得结论
第一章 实数集与函数 分析 将 9:;+,#1,与 9./+,#1,转化为分段函数再讨论! 解 !!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,A ,!$$# $ # .! A +$B,!$$-1!$$, +1!$$# $ # .$ A +$B,!$$%1!$$, !$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,A 1!$$# $ # .! A +$B,!$$-1!$$, +,!$$# $ # .$ A +$B,!$$%1!$$, 其图象如图!E!G和图!E!H! 图!E!G 图!E!H 5G" 设,"1和N 为增函数#满足 ,!$$$1!$$$N!$$#$ # $! 证明),!,!$$$$1!1!$$$$N!N!$$$! 分析 本题己经给出了,"1"N为增函数#把1!$$与N!$$看成中间变量!利用复合函数及其单调 性质#可证得结论! 证明 因对任意的$#$#有,!$$$1!$$$N!$$#且,!$$"1!$$和N!$$均为增函数#所以#有 ,!,!$$$$,!1!$$$$1!1!$$$$1!N!$$$$N!N!$$$ 即 ,!,!$$$$1!1!$$$$N!N!$$$ 8H" 设,和1为区间!%#;$上的增函数#证明第5题中定义的函数*!$$和+!$$也都是!%#;$上的增 函数! 证明 对任意的$!"$$ # !%#;$#$! %$$#由,!$$"1!$$在!%#;$上递增知,!$$$-,!$!$#1!$$$ -1!$!$#因 此 *!$$$- ,!$$$- ,!$!$#*!$$$- 1!$$$- 1!$!$#所 以 *!$$$- 9:;+,!$!$#1!$!$,A*!$!$#故*!$$在!%#;$上是增函数! 同理可证+!$$是!%#;$上的增函数! 8!#" 设,为(@%#%’上的奇!偶$函数!证明)若,在(##%’上增#则,在(@%##’上增!减$! 证明 任取$!"$$ # (@%##’#$! %$$#有 @$!"@$$ # (##%’且 @$! &@$$!由,!$$为(@%# %’上的奇函数及在(##%’上递增得#,!$!$A@,!@$!$%@,!@$$$A,!$$$!所以,!$$ 在(@%##’上是递增的! 同理可证,!$$为偶函数时的相应结论成立! 8!!" 证明) !!$两个奇函数之和为奇函数#其积为偶函数* !$$两个偶函数之和与积之都为偶函数* !’$奇函数与偶函数之积为奇函数! 分析 对于!!$来说#./0$#. ,!$$$,!$$#然后利用,!$$?1!$$@1!$$A,!$$ 以及 @./0$#. +@,!$$,A+,-$#. +,!$$,证得结论! %"#%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 对于(2)也类似 证明设f1(x)、f2(x)为D上的奇函数,g1(x)、g2(x)为D上的偶函数 (1)记F1(x)=f1(x)+f2(x),F2(x)=f1(x)·f2(x),则对任意的x∈D有 F1(-x)=f1(-x)+f2(-x)=-f1(x)-f2(x)=-[f1(x)+f2(x)]=-F1(x) F2(-x)=f1(-x)·f2(-x)=[-f1(x)]·[-f2(x)]=f1(x)·f2(x)=F2(x) 所以,F1(x)为奇函数,F2(x)为偶函数 (2)记Gn1(x)=g1(x)+g2(x),G2(x)=g1(x)·g2(x),则对任意的x∈D有 G1(-x)=g1(-x)+g2(-x)=gn(x)+g2(x)=G1(x) G2(-x)=g1(-x)·g2(-x)=g1(x)·g2(x)=G2(x) 所以G1(x)、G2(x)都是D上的偶函数 3)记H(x)=f1(x)·g1(x),则对任意的x∈D有 f1(x)g1(x)=-H(x) 所以,H(x)为D上的奇函数 12.设f,g为D上的有界函数,证明: (1)inf(f()+g(x))< inf f(r)+sup g(x) (2)sup f(r)+ inf g(x)< suff(x)+g(r)3 证明(1)对任意的x∈D,由于 所以inff(x)+infg(x)≤f(x)+g(x),故有 inf f(x)+ infg(x)< inf((r)+g(x)) 据不等式①又有 inf(f(x)+g(x))+ inft-g(x))< inf(f(x)+g(r)-g(x))=inf f(r) ))< inf f(r)-inff-g(x)) inf f(r)+sup g(r) (2)对任意的x∈D,由于 f(x)≤supf(x),g(x) f(r)+g(r)s sup f(x)+ sup g(x) 所以 据不等式②知 9((x)+g(x)-g()≤:B((x)+g(x)+-g(x) 故 supl-g(x))+sup f(x)s sup(f(x)+g(r)) p(x)+mg(x)≤出B((x)+g(x) ○13.设f,g为D上的非负有界函数,证明: (1)inff(x)·infg(x)≤inf{f(x)g(x)} (2)sBf(x)g(x)}≤sB!(x)·SBg(x) 证明(1)对任意的x∈D,f(x)≥0,g(x)≥0 有0≤imf(x)≤f(x),0≤mg(x)≤g(x),于是有 24
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 对于!$$也类似! 证明 设,!!$$",$!$$为 . 上的奇函数#1!!$$"1$!$$为 . 上的偶函数! !!$记M!!$$A,!!$$?,$!$$#M$!$$A,!!$$%,$!$$#则对任意的$ # . 有 M!!@$$A,!!@$$?,$!@$$A@,!!$$@,$!$$A@(,!!$$?,$!$$’A@M!!$$ M$!@$$A,!!@$$%,$!@$$A (@,!!$$’%(@,$!$$’A,!!$$%,$!$$AM$!$$ 所以#M!!$$为奇函数#M$!$$为偶函数! !$$记8!!$$A1!!$$?1$!$$#8$!$$A1!!$$%1$!$$#则对任意的$ # . 有 8!!@$$A1!!@$$?1$!@$$A1!!$$?1$!$$A8!!$$ 8$!@$$A1!!@$$%1$!@$$A1!!$$%1$!$$A8$!$$ 所以8!!$$"8$!$$都是 . 上的偶函数! !’$记 9!$$A,!!$$%1!!$$#则对任意的$ # . 有 9!@$$A,!!@$$%1!!@$$A@,!!$$1!!$$A@9!$$ 所以#9!$$为 . 上的奇函数! 6!$" 设,#1为. 上的有界函数!证明) !!$./0$#. +,!$$?1!$$,$./0$#. ,!$$?+,-$#. 1!$$* !$$+,-$#. ,!$$?./0$#. 1!$$$+,-$#. +,!$$?1!$$,! 证明 !!$对任意的$ # .#由于 ./0$#. ,!$$$,!$$#./0$#. 1!$$$1!$$ 所以./0$#. ,!$$?./0$#. 1!$$$,!$$?1!$$#故有 ./0$#. ,!$$?./0$#. 1!$$$./0$#. +,!$$?1!$$, # 据不等式 # 又有 ./0$#. +,!$$?1!$$,?./0$#. +@1!$$,$./0$#. +,!$$?1!$$@1!$$,A./0$#. ,!$$ 故 ./0$#. +,!$$?1!$$,$./0$#. ,!$$@./0$#. +@1!$$, A./0$#. ,!$$?+,-$#. 1!$$ !$$对任意的$ # .#由于 ,!$$$+,-$#. ,!$$#1!$$$+,-$#. 1!$$ 有 ,!$$?1!$$$+,-$#. ,!$$?+,-$#. 1!$$ 所以 +,-$#. +,!$$?1!$$,$+,-$#. ,!$$?+,-$#. 1!$$ $ 据不等式 $ 知 +,-$#. +,!$$?1!$$@1!$$,$+,-$#. +,!$$?1!$$,?+,-$#. +@1!$$, 故 @+,-$#. +@1!$$,?+,-$#. ,!$$$+,-$#. +,!$$?1!$$, 即 +,-$#. ,!$$?./0$#. 1!$$$+,-$#. +,!$$?1!$$, 8!’" 设,#1为. 上的非负有界函数!证明) !!$./0$#. ,!$$%./0$#. 1!$$$./0$#. +,!$$1!$$,* !$$+,-$#. +,!$$1!$$,$+,-$#. ,!$$%+,-$#. 1!$$! 证明 !!$对任意的$ # .#,!$$-##1!$$-# 有 #$./0$#. ,!$$$,!$$##$./0$#. 1!$$$1!$$#于是有 %"$%
第一章实数集与函数 i(x)·img(x)≤f(x)g(x) 故 inff(x)·infg(x)≤inf{f(x)·g(x) (2)对任意的x∈D,f(x)≥0,g(x)≥0,则有 0≤f(x)≤:Bf(x),0≤g(x)≤sB(x) 从而有 f(x)·g(x)≤sBf(x)supg(x) 故有 O14.将定义在(0,+∞)上的函数∫延拓到R上,使延拓后的函数为(i)奇函数;(i)偶函数.设 (1)f(x)=sinx+1; (2)f(x)= 解(1)令 r>> <0 fi(r)=sin r+1. ≥ x<0 则f1(x)是奇函数,f2(x)是偶函数,且都是f(x)的延拓 1-√1-x2,0≤x≤ f1(x)= 1,-1≤x<0 则f1(x)、f2(x)都是f(x)的延拓,且f1(x)为奇函数,f2(x)为偶函数 ●15.设∫为定义在R上以h为周期的函数,a为实数.证明:若f在[a,a+h]上有界,则∫在R上 有界 分析要证有界性首先想到彐M,使{f(x)}≤M,又因为f(x)在R上以h为周期,即有f(nh+ x)=f(x),再在[a,na+h]上的x使t=nh+x,f(t)=f(nh+x)=f(x),最终证得结论 证明因f(x)在[a,a+h]上有界,从而存在M>0,对任意的x∈[a,a+h],有|f(x)|≤M 对任意的t∈(-∞,+∞),设n ∈Z,则有0≤-n=0<1,从而有函 ∈[0,h),x=a+m∈[a,a+h].由t=mh+a+=mh+x及f(x)的周期性,有f(t) f(mh+x)=f(x).所以|f(t)|=|f(x)|≤M.故f(x)在R上有界 小结本题不仅应用到函数的周期性、有界性的概念,还应注意到函数的构造,有利于今后学习 ●16.设∫在区间I上有界.记 f(r)
第一章 实数集与函数 ./0$#. ,!$$%./0$#. 1!$$$,!$$1!$$ 故 ./0$#. ,!$$%./0$#. 1!$$$./0$#. +,!$$%1!$$, !$$对任意的$ # .#,!$$-##1!$$-##则有 #$,!$$$+,-$#. ,!$$##$1!$$$+,-$#. 1!$$ 从而有 ,!$$%1!$$$+,-$#. ,!$$%+,-$#. 1!$$ 故有 +,-$#. +,!$$%1!$$,$+,-$#. ,!$$%+,-$#. 1!$$ 8!*" 将定义在!##? )$上的函数,延拓到 $上#使延拓后的函数为!!$奇函数*!"$偶函数!设 !!$,!$$A+./$?!* !$$,!$$A !@ !!@$$ # #%$ $!# +$’# $ &!! 解 !!$令 ,!!$$A +./$?!# $ &# ## $ A# +./$@!# $ % ’ ( ) # ,$!$$A +./$?!# $ -# +!@+./$# $ %# 则,!!$$是奇函数#,$!$$是偶函数#且都是,!$$的延拓! !$$令 ,!!$$A $’# !%$ %? ) !@ !!@$$ ##$$ $! !!@$$ @!# @!$$ %# $’# @ ) %$ %@ ’ ( ) ! ,$!$$A $’# !%$ %? ) !@ !!@$$ # @!$$ $! @$’# @ ) %$ %@ ’ ( ) ! 则,!!$$",$!$$都是,!$$的延拓#且,!!$$为奇函数#,$!$$为偶函数! 6!3" 设,为定义在 $上以N为周期的函数#%为实数!证明)若,在(%#%?N’上有界#则,在 $上 有界! 分析 要证有界性首先想到 1(#使+,!$$,$ (#又因为,!$$在!上以M为周期#即有0!/M& ;$%0!;$#再在(:#:&M’上的;使J%/M&;#0!J$%0!/M&;$%0!;$#最终证得结论B 证明 因0!;$在(:#:&M’上有界#从而存在 L &##对任意的;# (:#:&M’#有N0!;$N$ LB 对任意的J# !( )#& )$#设/% J(: (M ’#&#则有#$K@% N @&A,%!#从而有,N # (##N$#$ A%?,N # (%#%?N’!由KA&N?%?,NA&N?$及,!$$的周期性#有,!K$ A,!&N?$$A,!$$!所以B,!K$BAB,!$$B$ (!故,!$$在 $上有界! 小结 本题不仅应用到函数的周期性"有界性的概念#还应注意到函数的构造#有利于今后学习! 6!4" 设,在区间 * 上有界!记 ( A+,-$#: ,!$$# < A./0$#: ,!$$! %"%%