数学分析同步辅导及习题全解(上册) (1)当x>0时,给①两端同乘以x得 1-x< (2)当x<0时,给①两端同乘以x得 1≤ §4.具有某些特性的函数 ○1.证明f(x)=-是R上的有界函数 证明利用不等式2|x1≤1+口有,对一切x∈R都有1(2)|-4-3≤ 成立,故f(x)是R上的有界函数 O2.(1)叙述无界函数的定义; (2)证明f(x)=1为(0,1)上的无界函数 (3)举出函数∫的例子,使f(x)为闭区间[0,1]上的无界函数 解(1)设f(x)为定义在D上的函数,若对任意的正数M都存在x。∈D,使|f(x0)|>M, 则称函数f(x)为D上的无界函数 (2)证明:对任意的正数M,存在x ∈(0,1),使|f(xn)|=与=M+1>M 所以∫(x)=与是(0,1)上的无界函数 (3)设f(x)=Jx,x∈(0,1由(2)的证明知f(x)为[0,1上的无界函数 ○3.证明下列函数在指定区间上的单调性 (1)y=3x-1在(-∞,十∞)上严格递增; (2)y=sinx在一 上严格递增 (3)y=cosx在[0,π]上严格递减 分析(2)、(3)两小题都是三角函数,要牢记三角函数的半角、倍角公式,后面讨论周期性以及 傅里叶级数时都会用到 证明(1)任取x、x2∈(∞,+∞),x1<x,则有 f(x1)-f(x2)=3(x1-1)-(3x2-1)=3(x1-x2)<0 可见∫(x1)<f(x2),所以∫(x)=3x-1在(一∞,+∞)上严格递增 (2)任取x,n∈[-2]n<a,则有 0. sin
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ !!$当$ &#时#给 # 两端同乘以$得 !@$ %$ ! ($ ’$! !$$当$ %#时#给 # 两端同乘以$得 !$$ ! ($ ’%!@$ F*!具有某些特性的函数 8!" 证明,!$$A $ $$ ?!是 $上的有界函数! 证明 利用不等式$B$B$!?$$ 有#对一切$# $都有B,!$$BA B$B $$ ?!A ! $ $B$B $$ ?!$ ! $ 成立#故,!$$是 $上的有界函数! 8$" !!$叙述无界函数的定义* !$$证明,!$$A ! $$ 为!##!$上的无界函数* !’$举出函数,的例子#使,!$$为闭区间(##!’上的无界函数! 解 !!$设,!$$为定义在 . 上的函数#若对任意的正数 (#都存在$# # .#使B,!$#$B& (# 则称函数,!$$为 . 上的无界函数! !$$证明)对任意的正数 (#存在$# A ! !( ?! # !##!$#使B,!$#$BA ! $$ # A (?!& (# 所以,!$$A ! $$ 是!##!$上的无界函数! !’$设,!$$A ! $$ # $ # !##!’ !# $ A ’ ( ) # 由!$$的证明知,!$$为(##!’上的无界函数! 8’" 证明下列函数在指定区间上的单调性) !!$-A’$@!在!@ )#? )$上严格递增* !$$-A+./$在 @ ( $ #( ( $ ’上严格递增* !’$-A=8+$在(##(’上严格递减! 分析 !$$"!’$两小题都是三角函数#要牢记三角函数的半角"倍角公式!后面讨论周期性以及 傅里叶级数时都会用到! 证明 !!$任取$!"$$ # !@ )#? )$#$! %$$#则有 ,!$!$@,!$$$A’!$! @!$@ !’$$ @!$A’!$! @$$$%# 可见,!$!$%,!$$$#所以,!$$A’$@!在!@ )#? )$上严格递增! !$$任取$!#$$ # @ ( $ #( ( $ ’#$! %$$#则有 @ ( $ %$! ?$$ $ % ( $ # @ ( $ $$! @$$ $ %# 因此 =8+$! ?$$ $ &## +./$! @$$ $ %# %!&%
第一章实数集与函数 .:r 从而f f(x)所以(x)知x在一,上严格递增 (3)任取 [0,r],x1<x2,则有 0< <0,从而有 故f(n1)-f(n)=0n1-0n2=-2im当2im22>0,从而f(x)> f(x2),所以∫(x)在[0,π]上严格递减 O4.判别下列函数的奇偶性: (3)f(x)=x2e-2; (4)f(x)=1g(x+√1+x2 解(1)因为f(-x) 1是偶函数 (2)对任意的x∈ +∞)有,f(-x)=(-x)+sin(-x)=-x-sinx=-(x+sin f(x),故f(x)=x+sinx为(-∞,+∞)上的奇函数 (3)f(x)=x2e在(-∞,+∞)上有定义,对任意的x∈ +∞)有,f(-x)= f(x),故f(x)为(-∞,+∞)上的偶函数 (4)f(x)=1g(x+√1+x2)在(-∞,+∞)上有定义,对每一个x∈(-∞,+∞)有 f(x),所以f(x)=1g(x+√1+x2)为(-∞,+∞)上的奇函数 ◎5.求下列函数的周期 2+2in3 分析求三角函数周期时,应先转化为一次函数,再求周期,如(1).如果有两个或两个以上的函 数,分别求出它们各自的周期,再求最小公倍数,如(3) 解(1)f(x)=c0x=1(1+c0:2x),而1+cos2x的周期是x,所以f(x)=c02x的周期是 (2)因为tnx的周期是x,所以f(x)=1n3x的周期是3 (3)因sinx、cosx的周期是2x所以cos2的周期是4x,n的周期是6x,故f(x)=cos +2sinx的周期是12 ○6.设函数f(x)定义在[-a,a]上,证明 (1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数; (2)G(x)=f(x)-f(-x),x∈[-a,a]为奇函数; 17
第一章 实数集与函数 从而,!$!$@,!$$$A +./$! @+./$$ A $=8+$! ?$$ $ +./$! @$$ $ % ##,!$!$% ,!$$$!所以,!$$A+./$在 @ ( $ #( ( $ ’上严格递增! !’$任取$!#$$ # (##(’#$! %$$#则有 #%$! ?$$ $ %(# @ ( $ $$! @$$ $ %##从而有+./$! ?$$ $ &##+./$! @$$ $ %## 故,!$!$@,!$$$A=8+$! @=8+$$ A@$+./$! ?$$ $ +./$! @$$ $ &##从而,!$!$& ,!$$$#所以,!$$在(##(’上严格递减! 8*" 判别下列函数的奇偶性) !!$,!$$A ! $$* ?$$ @!* !$$,!$$A$?+./$* !’$,!$$A$$ K@$$ * !*$,!$$A71!$? !!?$$$! 解 !!$因为,!@$$A ! $!@$$* ?!@$$$ @!A ! $$* ?$$ @!A,!$$#故,!$$A ! $$* ?$$ @!是偶函数! !$$对任意的$# !@)#?)$有#,!@$$A !@$$?+./!@$$A@$@+./$A@!$?+./ $$A@,!$$#故,!$$A$?+./$为!@ )#? )$上的奇函数! !’$,!$$A$$ K@$$ 在!@ )#? )$上有定义#对任意的$ # !@ )#? )$有#,!@$$A !@$$$ K@!@$$$ A$$ K@$$ A,!$$#故,!$$为!@ )#? )$上的偶函数! !*$,!$$A71!$? !!?$$$在!@ )#? )$上有定义#对每一个$ # !@ )#? )$有# ,!@$$A71!@$? !!? !@$$$$A71!@$? !!?$$$A@71!$? !!?$$$A@ ,!$$#所以,!$$A71!$? !!?$$$为!@ )#? )$上的奇函数! 53" 求下列函数的周期) !!$=8+$ $* !$$J:/’$* !’$=8+$ $ ?$+./$ ’ ! 分析 求三角函数周期时#应先转化为一次函数#再求周期#如!!$!如果有两个或两个以上的函 数#分别求出它们各自的周期#再求最小公倍数#如!’$! 解 !!$,!$$A=8+$ $A ! $!!?=8+$$$#而!?=8+$$的周期是(#所以,!$$A=8+$ $的周期是 (! !$$因为J:/$的周期是(#所以,!$$AJ:/’$的周期是 ( ’ ! !’$因+./$"=8+$的周期是$(#所以=8+$ $ 的周期是*(#+./$ ’ 的周期是4(#故,!$$A=8+ $ $ ?$+./$ ’ 的周期是!$(! 84" 设函数,!$$定义在(@%#%’上#证明) !!$M!$$A,!$$?,!@$$#$ # (@%#%’为偶函数* !$$8!$$A,!$$@,!@$$#$ # (@%#%’为奇函数* %!’%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) (3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和 证明(1)因[-a,a]关于原点对称,F(x)在[-a,a]上有定义,对每一个x∈[a,a]有 F(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=F(x),故F(x)为[-a,a]上的偶函 数 (2)因[a,a]关于原点对称,G(x)在[-a,a]上有定义,对每一个x∈[a,a]有 G(-x)=f(-x)=-f(x)=-[f(x)-f(-x)] x).故G(x)为[一a,a]上 的奇函数 (3)由(1)、(2)得F(x)+G(x)=2(x),从而有f(x)=F(x)+G(x=1F(x)+ 1G(x),而1F(x)是偶函数,G(x)是奇函数.从而f(x)可表示为一个奇函数 G(x)与一个偶函数F(x)之和 ○7.设f、g为定义在D上的有界函数,满足 f(x)≤g(x),x∈D. 证明:(1)sf(x)≤sug(x);(2)inf(x)≤inDg(x) 证明 g(x),则对任意的x∈D有,g(x)≤又因f(x)≤g(x),所以f(x)≤ g(x)≤界因此n是f(x)的上界,而f(x)是f(x)的最小上界,故Bf(x)≤ supg(r) (2)同理可证 O8.设f为定义在D上的有界函数,证明: (1)supi-f(r))=-inf /(r);(2)inf(-/(r))=-sup 证明(1)记inff(x)=.由下确界的定义知,对任意的x∈D,f(x)≥,即一f(x)≤一5,可 见一是一f(x)的一个上界;对任意的c>0,存在x0∈D,使f(x0)>+,即一 f(xo)<-F-e,可见一是-f(x)的上界中最小者所以B{-f(x)}=一=m (2)同理可证结论成立.也可直接用(1)的结论来证.事实上,在(1)中换f(x)为一f(x) 得,Bf(x)=出:B-((x)=-14-f(x),两边同乘以-1得 .证明:nx在(-2·2)上无界而在(-2·2)内任一闭区间[,上有界 分析要证mr在()上无界只而在x∈()取一点,使mn>M即可证在( )上,存在区间[ab使anx有界,只需证|anx|≤M,且有ana<tanx<tanb 证明对任意的M>0,取x=atm(M+1)∈(-22),有tmnl tan( arctan(M+1)=M+1>M,所以f(x)=1nx在(-2,2)内是无界函数 但任取[(一2,)由于mx在[:上严格递增,从而当x∈【n,时,ma
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ !’$,可表示为某个奇函数与某个偶函数之和! 证明 !!$因(@%#%’关于原点对称#M!$$在(@%#%’上有定义#对每一个$ # (@%#%’有 M!@$$A,!@$$?,!$$A,!$$?,!@$$AM!$$!故M!$$为(@%#%’上的偶函 数! !$$因(@%#%’关于原点对称#8!$$在(@%#%’上有定义#对每一个$ # (@%#%’有 8!@$$A,!@$$A@,!$$A@(,!$$@,!@$$’A@8!$$!故8!$$为(@%#%’上 的奇函数! !’$由!!$"!$$得 M!$$?8!$$A$,!$$#从而有,!$$A M!$$?8!$$ $ A ! $M!$$? ! $8!$$#而 ! $M!$$是偶函数#! $8!$$是奇函数!从而,!$$可表示为一个奇函数 ! $8!$$与一个偶函数 ! $M!$$之和! 85" 设,"1为定义在. 上的有界函数#满足 ,!$$$1!$$#$ # .! 证明)!!$+,-$#. ,!$$$+,-$#. 1!$$* !$$./0$#. ,!$$$./0$#. 1!$$! 证明 !!$记!A+,-$#. 1!$$#则对任意的$ #. 有#1!$$$!#又因,!$$$1!$$#所以,!$$$ 1!$$$!!因此!是,!$$的上界#而+,-$#. ,!$$是,!$$的最小上界#故+,-$#. ,!$$$!A +,-$#. 1!$$! !$$同理可证! 8G" 设,为定义在. 上的有界函数#证明) !!$+,-$#. +@,!$$,A@./0$#. ,!$$* !$$./0$#. +@,!$$,A@+,-$#. ,!$$! 证明 !!$记./0$#. ,!$$A%!由下确界的定义知#对任意的$ #.#,!$$-%#即 @,!$$$@%#可 见 @%是 @,!$$的一个上界*对任意的#&##存在$# # .#使,!$#$&%?##即 @ ,!$#$%@%@##可见@%是@,!$$的上界中最小者!所以+,-$#. +@,!$$,A@%A@./0$#. ,!$$! !$$同理可证结论成立!也可直接用!!$的结论来证!事实上#在!!$中换,!$$为 @,!$$ 得#+,-$#. ,!$$A+,-$#. +@ !,!$$$,A@./0$#. +@,!$$,#两边同乘以 @!得 ./0$#. +@,!$$,A@+,-$#. ,!$$ 6H" 证明)J:/$在 @ ( $ #( ! $ $上无界!而在 @ ( $ #( ! $ $内任一闭区间(%#;’上有界! 分析 要证J:/$在!@ ( $#( $$上无界#只需在$# # !@ ( $#( $$取一点#使J:/$# &( 即可!证在!@ ( $#( $$上#存在区间(%#;’使J:/$有界#只需证 J:/$ $ (##且有J:/%%J:/$%J:/;! 证明 对任意的 ( &##取$# A:I=J:/!(&!$# ( ( $ #( ! $ $#有+J:/$#+% +J:/!:I=J:/!L&!$$+%L&!&L#所以,!$$%J:/$在 (( $ #( ! $ $内是无界函数! 但任取(%#;’. @ ( $ #( ! $ $#由于J:/$在(%#;’上严格递增#从而当$# (%#;’时#J:/% %!(%
第一章实数集与函数 ≤tanx≤tanb,记M=max{ I tan a|, I tan b|},则对一切x∈[a,b有|tanx|≤M 所以tanx是[a,b上的有界函数 小结证明函数的有界性,往往要利用函数的单调性,同时往往利用放缩法,这是极限理论的基 础,也是今后学习分析学的基础 ●10.讨论狄利克雷函数 DCr) 当x为有理数 0,当x为无理数 的有界性、单调性与周期性 分析狄利克雷函数由定义可证得有界性,单调性也比较明显,对周期性分有理数与无理数讨 论 解由D(x)的定义知,对任意的x∈R,有|D(x)|≤1,所以D(x)是R上的有界函数 由于对任意的有理数x1与无理数x2,无论x1<x2还是x2<n,都有D(x1)>D(x2).所 以D(x)在R上不具有单调性 对任意的有理数r有 x+r=有理数,当x为有理数时 无理数,当x为无理数时 于是对任一x∈R,有 D(x+)=1当x为有理数时=D(x) o.当x为无理数时 所以,任意有理数r都是D(x)的周期但任何无理数都不是D(x)的周期.事实上,对任一 无理数a,对无理数一a,D(-a)=0,而D(a+(-a))=D(0)=1≠D(-a) 小结狄利克雷函数与黎曼函数是一类特殊函数,在以后的连续性以及极限理论中具有重要地 位,要特别注意 O11.证明:f(x)=x+sinx在R上严格增 证明任取x1、x2∈(-∞,+∞),x1<x2,则 x2-,x1 即f(x1)<f(x2),所以f(x)=x+sinx在(-∞,+∞)上严格增 12设定义在[a+∞)上的函数∫在任何闭区间[a,b]上有界.定义[a,+∞)上的函数 f(y) 试讨论m(x)与M(x)的图象,其中
第一章 实数集与函数 $J:/$ $J:/;#记 ( A 9:;+BJ:/%B#BJ:/;B,#则对一切$# (%#;’有BJ:/$B$ (# 所以J:/$是(%#;’上的有界函数! 小结 证明函数的有界性#往往要利用函数的单调性#同时往往利用放缩法#这是极限理论的基 础#也是今后学习分析学的基础! 6!#" 讨论狄利克雷函数 .!$$A !# 当$为有理数# ## 当$ ’ ( ) 为无理数 的有界性"单调性与周期性! 分析 狄利克雷函数由定义可证得有界性#单调性也比较明显#对周期性分有理数与无理数讨 论! 解 由 .!$$的定义知#对任意的$ # $#有B.!$$B$!#所以 .!$$是 $上的有界函数! 由于对任意的有理数$! 与无理数$$#无论$! %$$ 还是$$ %$!#都有.!$!$&.!$$$!所 以 .!$$在 $上不具有单调性! 对任意的有理数J有 $?JA 有理数#当$为有理数时 无理数#当$ ’ ( ) 为无理数时 于是对任一$ # $#有 .!$?J$A !#当$为有理数时 ##当$ ’ ( ) 为无理数时A .!$$ 所以#任意有理数J都是.!$$的周期!但任何无理数都不是 .!$$的周期!事实上#对任一 无理数"#对无理数 @"#.!@"$A##而 .!"? !@"$$A .!#$A!" .!@"$! 小结 狄利克雷函数与黎曼函数是一类特殊函数#在以后的连续性以及极限理论中具有重要地 位#要特别注意! 8!!" 证明),!$$A$?+./$在 $上严格增! 证明 任取$!"$$ # !@ )#? )$#$! %$$#则 ,!$$$@,!$!$A !$$ @$!$? !+./$$ @+./$!$ A !$$ @$!$?$=8+$! ?$$ $ +./$$ @$! $ - !$$ @$!$@$ =8+$! ?$$ $ % +./$$ @$! $ & !$$ @$!$@$% $$ @$! $ A# D +./$$ @$! $ %B$$ @$!B ! $ $ 即,!$!$%,!$$$#所以,!$$A$?+./$在!@ )#? )$上严格增! 6!$" 设定义在(%#? )$上的函数,在任何闭区间(%#;’上有界!定义(%#? )$上的函数) <!$$A ./0 %$-$$ ,!-$#(!$$A +,- %$-$$ ,!-$! 试讨论 <!$$与 (!$$的图象#其中 !!$,!$$A=8+$#$ # (##? )$* !$$,!$$A$$#$ # (@!#? )$! %!)%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 分析在讨论上述两个函数时,首先应分割区间,在区间内讨论其单调性然后再讨论有界性 解(1)由m(x)及M(x)的定义知,对a<x,当f(y)在[a,x]上为递增函数时,m(x)=f(a) M(x)=f(x).当f(y)在[a,x上为减函数时,m(x)=f(x),M(x)=f(a).由此可知 对f(x)=cosx,当0≤x≤x时,m(x)=cosx,M(x)=1.而x∈[x,+∞)时,由于 1≤cosx≤1,所以,m(x)=-1,M(x)=1,即有 其图象见图1-12. M(x) M(x) 图1-13 (2)同上理,当x∈[-1,0]时,M(x)=1,m(x)=x2;当x∈(0,+∞)时,m(x)≡0;当 x∈[1,1]时,M(x)≡1;当x∈(1,+∞)时,M(x)=x2.即有 [1,0 10,当x∈(0,+∞] x∈[-1,1]时 当x∈(1,+∞)时 其图象见图1-13 小结确界理论是学习数学分析的基础,对后面学习连续、微分、积分等都具有重要作用 总练习题 (1)max{a,b}=1(a+b+1a-b1); (2)min(a,b)=o(a+b-la-bD) 证明因为 当a≥b时 (a+b+|a-b|)= (a+b-|a-b) 当a<b时 所以max{a,b}=-(a+b+|a-b|)
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 分析 在讨论上述两个函数时#首先应分割区间#在区间内讨论其单调性然后再讨论有界性! 解 !!$由<!$$及 (!$$的定义知#对%%$#当,!-$在(%#$’上为递增函数时#<!$$A,!%$# (!$$A,!$$!当,!-$在(%#$’上为减函数时#<!$$A,!$$#(!$$A,!%$!由此可知) 对,!$$A=8+$#当#$$$(时#<!$$A=8+$#(!$$A!!而$# ((#?)$时#由于 @!$=8+$ $!#所以#<!$$A@!#(!$$A!#即有 <!$$A =8+$# #$$ $( +@!# ($$ %? ) (!$$<!#$ # (##? )$ 其图象见图!E!$! 图!E!$ 图!E!’ !$$同上理#当$ # (@!##’时#(!$$A!#<!$$A$$*当$# !##? )$时#<!$$<#*当 $ # (@!#!’时#(!$$<!*当$ # !!#? )$时#(!$$A$$!即有 <!$$A $$# $ # (@!##’ +## 当$ # !##? )’ (!$$A !# $ # (@!#!’时 +$$# 当$ # !!#? )$时 其图象见图!E!’! 小结 确界理论是学习数学分析的基础#对后面学习连续"微分"积分等都具有重要作用! 总练习题 8!" 设%#;# $#证明) !!$9:;+%#;,A ! $!%?;?B%@;B$* !$$9./+%#;,A ! $!%?;@B%@;B$! 证明 因为 ! $!%?;?B%@;B$A %# 当%-;时 +;# 当%%;时 ! $!%?;@B%@;B$A %# 当%%;时 +;# 当%-;时 所以 9:;+%#;,A ! $!%?;?B%@;B$ 9./+%#;,A ! $!%?;@B%@;B$ %"*%