第一章实数集与函数 ○6.设S为非空数集,定义S={x|-x∈S}.证明: (1)inf S=-sup S: (2)sup S=-inf S 证明(1)F=infs,由下确界的定义知,对任意的x∈S,有x≥,且对任意的>,存在xo ∈S,使x<B由S={x|-x∈S}知,对任意的-x∈S,-x≤-,且对任意 的一B<一8,存在-x0∈S,使-x>-B,由上确界的定义知supS=-s,存在-xo ∈S,使-x0>-B,即infS=-supS 同理可证(2)成立 O7.设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B} iEH: (1)sup(A+B)=sup A+sup B: (2)inf (A+B)=inf A + inf 证明(1)设supA=m,supB=平,对任意的z∈A+B,存在x∈A,y∈B,使z=x+y 于是x≤n,y≤界,从而z≤十,对任意的e>0,必存在xo∈A,yo∈B,使xo >一2,y>一,则存在=x0+y∈A+B,使a>(列+)-所以 sup(A+ B)=n+p=sup A+ sup B 同理可证(2)成立 ●8.设a>0,a≠1,x为有理数,证明 nf{a|r为有理数,r<x},当a<1 分析利用指数函数的单调性,把指数函数化归为对数函数讨论,并运用有理数的稠密性概念来 证此题 证明只证a>1的情况,a<1的情况可以类似地加以证明 设A={a|r为有理数,r<x}.因为a>1,a严格递增,故对任意的有理数r<x,有a <a2,即a是A的一个上界.对任意的a<a2,由a'>0及有理数的稠密性,不妨设a 0且为有理数.于是必存在有理数r<x,使得a<a0<a 事实上,由 loga.x严格递增知:0<a<a等价于loga<loga‘=x,由有理数的稠密性 存在有理数ro使得loga<ro<x,所以a=a 故a=supA=sup{a|r为有理数,r<x},a>1 小结关于求数集的确界或证明数集确界的有关命题,主要利用确界的定义,进一步加深读者对 数集上、下确界概念的理解,这对进一步学习极限理论及实数的完备性,使整个数学分析 建立在坚实的基础上是十分重要的 §3函数概念 O1.试作下列函数的图象 (1)y=x2+1; (2)y=(x+1)2 (3)y=1-(x+1) (4)y= sgn(sin x); 3x,|x|>1, (5)y={x3,|x|<1, 解利用描点作图法,各函数的图象如图1-4至图1-8. ◎2.试比较函数y=c与y=lgx分别当a=2和a=时的图象
第一章 实数集与函数 84" 设’为非空数集#定义’@ A +$B@$ #’,!证明) !!$./0’@ A@+,-’* !$$+,-’@ A@./0’! 证明 !!$%A./0’@ #由下确界的定义知#对任意的$#’@ #有$-%#且对任意的&&%#存在$# #’@ #使$# %&!由’@ A +$B@$ #’,知#对任意的 @$ #’#@$ $@%#且对任意 的@&%@%#存在 @$# #’#使@$# &@&#由上确界的定义知+,-’A@%#存在 @$# #’#使 @$# &@&#即./0’@ A@+,-’! 同理可证!$$成立! 85" 设 C"D 皆为非空有界数集#定义数集C?D A +IBIA$?-#$ # C#- #D,! 证明)!!$+,-!C?D$A+,-C?+,-D* !$$./0!C?D$A./0C?./0D! 证明 !!$设+,-C A!!#+,-D A!$!对任意的I#C?D#存在$ #C#-#D#使IA$?-! 于是$$!!#-$!$!从而I$!! ?!$!对任意的#&##必存在$# #C#-# #D#使$# &!! @ # $ #-# &!$ @ # $ #则存在I# A$# ?-# #C?D#使I# & !!! ?!$$@#!所以 +,-!C?D$A!! ?!$ A+,-C?+,-D! 同理可证!$$成立! 6G" 设%&##%"!#$为有理数!证明 %$ A +,-+%JBJ为有理数#J%$,#当%&!# ./0+%J + BJ为有理数#J%$,#当%%!! 分析 利用指数函数的单调性#把指数函数化归为对数函数讨论#并运用有理数的稠密性概念来 证此题! 证明 只证%&!的情况#%%!的情况可以类似地加以证明! 设 C A +%JBJ为有理数#J%$,!因为%&!#%J 严格递增#故对任意的有理数J%$#有%J %%$ #即%$ 是C 的一个上界!对任意的"%%$ #由%$ &#及有理数的稠密性#不妨设"& #且为有理数!于是必存在有理数J# %$#使得"%%J# %%$ ! 事实上#由781%$严格递增知)#%"%%$ 等价于781%"%781%%$ A$#由有理数的稠密性# 存在有理数J# 使得781%" %J# %$#所以"A%781%" %%J# %%$ ! 故%$ A+,-C A+,-+%JBJ为有理数#J%$,#%&!! 小结 关于求数集的确界或证明数集确界的有关命题#主要利用确界的定义#进一步加深读者对 数集上"下确界概念的理解#这对进一步学习极限理论及实数的完备性#使整个数学分析 建立在坚实的基础上是十分重要的! F’ 函数概念 8!" 试作下列函数的图象) !!$-A$$ ?!* !$$-A !$?!$$* !’$-A!@ !$?!$$* !*$-A+1/!+./$$* !3$-A ’$# B$B&!# $’# B$B%!# ’# B$BA! ’ ( ) ! 解 利用描点作图法#各函数的图象如图!E*至图!EG! 5$" 试比较函数-A%$ 与- A781%$ 分别当% A$和%A ! $ 时的图象! %!!%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 图1-5 图 图1-8 分析利用指数函数与对数函数性质,注意x在y=a2与y=logx的定义域上的取值范围是 不同的 解当a=2时y=是单调递增函数,当a一时,它是单调递减函数:当x=0时,() 2-1,即两函数的图象都过点(1)当x>0时,()<1<2,y=2的图象在y (2)的图象上方;当x<0时()>1>2y=()的图象在y=2的图象 上方;对任意的x∈R+,两函数值都大于0.即函数的图象都在x轴上方,且y=2的图象 与y=()的图象关 关于y轴对称
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 图!E* 图!E3 图!E4 图!E5 图!EG 分析 利用指数函数与对数函数性质#注意$在- A%$ 与- A781%$ 的定义域上的取值范围是 不同的! 解 当%A$时#-A%$ 是单调递增函数#当%A ! $ 时#它是单调递减函数*当$A#时#! $! $ $ A$$ A!#即两函数的图象都过点!##!$*当$&#时#! $! $ $ %!%$$ #-A$$ 的图象在- A ! $! $ $ 的图象上方*当$%#时#! $! $ $ &!&$$ #-A ! $! $ $ 的图象在- A$$ 的图象 上方*对任意的$ # $? #两函数值都大于##即函数的图象都在$轴上方#且-A$$ 的图象 与-A ! $! $ $ 的图象关于- 轴对称! %!"%
第一章实数集与函数 x是y=a的反函数当a=2时,是单调递增的,当a=1时,是单调递减的;当 0<x<1时,ogx>0>logx;当x=1时,logx=logx=0;当x>1时,lgx< 0<log2x;当x≤0时,两个函数无定义,因此函数图象在y轴右方,且过点(1,0).y=logx 与y=log2x的图象关于x轴对称 y=2与y=0gx的图象、y=(2)与y=ogx的图象皆关于直线y=x对称,如图 图1-9 图1-10 ○3.根据图1-10写出定义在[0,1]上的分段函数f1(x)和f2(x)的解析表达式 解利用直线的两点式方程或点斜式方程容易得到 0≤x≤ 16 f2(x)=18-16x ○4.确定下列初等函数的存在域 (I)y= sin(sin x); (2)y=lg(lg. x); 10 (1)因为sinx的存在域为R,所以y=sin(sinx)的存在域为R (2)因1gx>0等价于x>1,所以y=lg(lgx)的存在域是(1,+∞) (3)因为y= arcsin u的存在域是[-1,1],而-1≤lg≤1等价于1≤x≤10,所以y arcsin(gi0)的存在域是[1,100 4因y=kn的存在域是(,+0),而n-amn的值域为一哥由0<“≤受
第一章 实数集与函数 -A781%$ 是- A%$ 的反函数!当%A$时#是单调递增的#当%A ! $ 时#是单调递减的*当 #%$ %!时#781! $$ &#&781$$*当$ A!时#781! $$A781$$A#*当$ &!时#781! $$ % #%781$$*当$$#时#两个函数无定义#因此函数图象在-轴右方#且过点!!##$!-A781! $$ 与-A781$$的图象关于$ 轴对称! -A$$ 与- A781$$的图象"-A ! $! $ $ 与- A781! $$的图象皆关于直线- A$对称!如图 !EH! 图!EH 图!E!# 8’" 根据图!E!#写出定义在(##!’上的分段函数,!!$$和,$!$$的解析表达式! 解 利用直线的两点式方程或点斜式方程容易得到 ,!!$$A *$# #$$ $ ! $ *@*$# ! $ %$ $ ’ ( ) ! ,$!$$A !4$# #$$ $ ! * G@!4$# ! * %$ $ ! $ ## ! $ %$ $ ’ ( ) ! 8*" 确定下列初等函数的存在域) !!$-A+./!+./$$* !$$-A71!71$$* !’$-A:I=+./ 71$ ! !#$* !*$-A71 :I=+./$ ! !#$! 解 !!$因为+./$的存在域为 $#所以-A+./!+./$$的存在域为 $! !$$因71$ &#等价于$ &!#所以-A71!71$$的存在域是!!#? )$! !’$因为-A:I=+./3的存在域是(@!#!’#而 @!$71$ !#$!等价于!$$$!###所以- A:I=+./ 71$ ! !#$的存在域是(!#!##’! !*$因-A713的存在域是!##?)$#而3A:I=+./$ !#的值域为 @ ( $ #( ( $ ’#由#%3$ ( $ %!#%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 有0<10≤1,即0<x≤10,所以y=g( arcsin 10)的存在域是(o,10 O5.设函数 ≤0 求:(1)f(-3),f(0),f(1);(2)f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0)(△x>0) 解(1)f(-3)=2+(-3)= f(0)=2+0=2 (2)因为△x>0,所以 f(△x)-f(0)=24-(2+0)=2-2 f(-△x)-f(0)=2+(-△x)-(2+0) O6.设函数f(x) 求(2+)(2n,(x),(m),(rC) 解f(2+x) f(2x) 1+2xf(x2)=-1 f(f(x))= 1+(1+ ○7.试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成 (1)y=(1+x)2;(2)y=( arcsin r2)2;(3)y=lg(1+√1+x2);(4)y=2m2 Af (1)y=u2,u=v+v, v=1,v=x S,S=动+t,t ◎8.在什么条件下,函数 的反函数就是它本身? 先把反函数求出,分别讨论原函数与反函数的定义域,再讨论参数 首先k≠a,由y=“+b,解得x=,交换x与y得y=2-.当c≠0时,原 函数的定义域为x≠-,反函数的定义域为x≠三,因此,要使二函数相同,必须a d,这时原函数为x+bb 1为反函数.另外,当b 且a=d≠0时亦满足, 故当“b≠ad且a=-d”或“b=c=0且a=d≠0”时,该函数的反函数就是其本身 O9.试作函数y= arcsin(sinx)的图象 14
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 有#% $ !# $!#即#%$ $!##所以-A71 :I=+./$ ! !#$的存在域是!##!#’! 83" 设函数 ,!$$A $?$# $ $## +$$ # $ &#! 求)!!$,!@’$#,!#$#,!!$* !$$,!)$$@,!#$#,!@)$$@,!#$!)$ &#$! 解 !!$,!@’$A$? !@’$A@! ,!#$A$?#A$ ,!!$A$! A$ !$$因为 )$ &##所以有 ,!)$$@,!#$A$)$ @ !$?#$A$)$ @$ ,!@)$$@,!#$A$? !@)$$@ !$?#$A@)$ 84" 设函数,!$$A ! !?$#求,!$?$$#,!$$$#,!$$$#,!,!$$$#, ! !,!$$$! 解 ,!$?$$A ! !? !$?$$A ! ’?$ ,!$$$A ! !?$$*,!$$$A ! !?$$ ,!,!$$$A ! !? ! !?$ A$?! $?$ , ! !,!$$$A ! !? ! ,!$$ A ! !? !!?$$A ! $?$ 85" 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成) !!$-A !!?$$$#* !$$-A !:I=+./$$$$* !’$-A71!!? !!?$$$* !*$-A$+./$$ ! 解 !!$-A3$##3AH! ?H$#H! A!#H$ A$ !$$-A3$#3A:I=+./H#HA$$ !’$-A713#3AH! ?H$#H! A!#H$ A !’#’ AH! ?K#KA$$ !*$-A$3 #3AH$#HA+./$ 5G" 在什么条件下#函数 -A%$?; =$?L 的反函数就是它本身- 分析 先把反函数求出#分别讨论原函数与反函数的定义域#再讨论参数! 解 首先;= "%L#由-A%$?; =$?L #解得$ A;@L- =-@%#交换$与- 得- A;@L$ =$@%!当="#时#原 函数的定义域为$ "@ L = #反函数的定义域为$ " % = !因此#要使二函数相同#必须% A@ L#这时原函数为%$?; =$?LA;@L$ =$@%#即为反函数!另外#当;A=A##且%AL"#时亦满足! 故当/;= "%L 且% A@L0或/;A=A#且%AL "#0时#该函数的反函数就是其本身! 8H" 试作函数-A:I=+./!+./$$的图象! %!$%
第一章实数集与函数 .:r 解y-s(mn)是以2x为属期的函数,其定义域为R,值域为[一受,]的分段函数其 在一个周期区间[-x,]上的表达式为 (x+x),一r≤x< 2 其图象如图1-11 图1-11 ○10.试问下列等式是否成立 (I)tan(arctan x)=I,I ER (2) arctan(tanx)=x,x≠kr+,k=0,±1,±2 解(1)由tanx与 arctan x的定义知,(1)式成立 (2)因为tanx的定义域为x≠kx+,k=0,±1,±2,…,而 arctan r的值域仅为 (一2·2)所以(2)式不成立例如当x一平时, arctan(anx)=artn(-1) O11.试问y=|x|是初等函数吗? 解因y=|x|=√x2是 与u=x2复合而成的,所以y=|x|是初等函数 O12.证明关于函数y=[x]的如下不等式: (1)当x>0时,1-x<x11≤1 (2)当x<0时,1≤x11<1-x. 证由定义知是不超过的最大整数,故有 所以 1<11≤
第一章 实数集与函数 解 -A:I=+./!+./$$是以$(为周期的函数#其定义域为 $#值域为 @ ( $ #( ( $ ’的分段函数#其 在一个周期区间(@(#(’上的表达式为 -A (@$# ( $ %$ $( $# @ ( $ $$ $ ( $ @ !(?$$# @($$ %@ ( ’ ( ) $ 其图象如图!E!!! 图!E!! 8!#" 试问下列等式是否成立) !!$J:/!:I=J:/$$A$#$ # $* !$$:I=J:/!J:/$$A$#$ "7(? ( $ #7A##F!#F$#&! 解 !!$由J:/$与:I=J:/$的定义知#!!$式成立! !$$因为J:/$ 的定义域为$ "7(? ( $ #7 A ##F!#F$#&#而 :I=J:/$ 的值域仅 为 @ ( $ #( ! $ $!所以!$$式不成立!例如当$A ’ *(时#:I=J:/!J:/$$A:I=J:/!@!$A@ ( * "$! 8!!" 试问-AB$B是初等函数吗- 解 因-AB$BA !$$ 是由-A !3与3 A$$ 复合而成的#所以-AB$B是初等函数! 8!$" 证明关于函数-A ($’的如下不等式) !!$当$ &#时#!@$ %$ ! ($ ’$!* !$$当$ %#时#!$$ ! ($ ’%!@$! 证 由定义知 ! ($ ’是不超过 ! $ 的最大整数#故有 #$ ! $ @ ! ($ ’%! 所以 ! $ @!% ! ($ ’$ ! $ # %!%%