数学分析同步辅导及习题全解(上册) 解题分析本题主要考察周期函数的定义 题过程 其中 (1)错.比如f(x)=0.那么任何正实数都是它的周期,而无最小正实数 (2)错.设f(x)=[x]的周期为T>0,并设[T]=m≥0 当m=0时,则T=1-a,其中0<a<1,那么 [a+T]=1,[a]=0 这与T为周期矛盾 m≠0 当m>0时,[T+1]=m+1,[1] [1+T]≠[1].也矛盾 [x]不是周期函数 3)对,∵若∫(x)是定义域D上周期函数,那么存在函数T,使x∈D都有f(x±T)= f(x).这必须有x±T∈D.而本题定义域D=[0,+∞),若是周期函数,则0∈D,必 须-T∈D,但一T∈D,故不是周期函数 (4)对,用反证法,设f(x)= rcos T的周期为T>0,则 f(0)=0=f(T)=Tcos T cosT=0,T=nx+,m∈Z,且m≥0 f(o+T)=f(+nox)=(no+1)rcos [(no +1)x] f(2 0,由f(y+T)=f(y) cos(no+1)x=0,矛盾,即 rcos T不是周期函数 课后习题全解 §1实数 ◎1.设a为有理数,x为无理数,证明 (1)a+x是无理数; 2)当a≠0时,ax是无理数. 分析根据有理数集对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算的封闭性,用反证法证 证明(1)假设a+x是有理数,则(a+x)-a=x是有理数,这与题设x是无理数相矛盾,故a x是无理数 (2)假设ax是有理数,则当a≠0时,=x是有理数,这与题设x为无理数相矛盾.故 ax是无理数 ●2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0;(2)|x-1|<|x-3|; 解(1)由原不等式有 前一个不等式组的解集是A={x|x>1},后一个不等式组的解集是B={x|-1 x<0}.故(1)的解集是AUB.如图1-1 6
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 解题分析 本题主要考察周期函数的定义B 解题过程 选 ? 其中) !!$错B比如,!$$%#B那么任何正实数都是它的周期#而无最小正实数B !$$错B设,!$$%($’的周期为 C&##并设(C’%9-# 当 9%#时#则 C%!(%#其中#%%%!#那么 (%&C’%!#(%’%# <(%&C’"(%’ 这与 C 为周期矛盾B <9"# 当 9&#时#(C&!’%9&!#(!’%! <(!&C’"(!’#也矛盾B <($’不是周期函数B !’$对BD若,!$$是定义域 . 上周期函数#那么存在函数 >#使,$#. 都有,!$6>$% ,!$$!这必须有$6>#.!而本题定义域 .%(##&)$#若是周期函数#则##.#必 须(>#.#但(>4.#故不是周期函数! !*$对B用反证法#设,!$$%$=8+$的周期为>&##则 ,!#$%#%,!>$%>=8+> <=8+>%##>%&#(& ( $ #&##E#且&#-# ,!( $ &>$%,!(&&#($%!&#&!$(=8+(!&#&!$(’ ,!( $$% ( $=8+ ( $ %##由,!( $ &>$%,!( $$ <=8+!&#&!$(%##矛盾B即$=8+$不是周期函数! 课后习题全解 F! 实数 5!!设%为有理数#$为无理数!证明) !!$%?$是无理数* !$$当%"#时#%$ 是无理数! 分析 根据有理数集对加"减"乘"除!除数不为#$四则运算的封闭性#用反证法证! 证明 !!$假设%?$是有理数#则!%?$$@%A$是有理数#这与题设$是无理数相矛盾#故% ?$是无理数! !$$假设%$ 是有理数#则当%"#时#%$ % A$是有理数#这与题设$为无理数相矛盾!故 %$ 是无理数! 6$!试在数轴上表示出下列不等式的解) !!$$!$$ @!$&#* !$$B$@!B%B$@’B* !’$!$@!@ !$$@!- !’$@$! 解 !!$由原不等式有 $ &# $$ + @!&# 或 $ %# $$ + @!%# 前一个不等式组的解集是 C A +$B$ &!,#后一个不等式组的解集是D A +$B@!% $ %#,!故!!$的解集是 C *D!如图!E!! %&%
第一章实数集与函数 .:r 图1-1 (2)由原不等式 -37/1,于是1+25<1.所以-1<1+ 3-x<1,则3-x>1,x<2.故(2)的解集为(-∞,2).如图1-2 ,,x (3)由原不等式应有√③3x-2≥0,√x-1-√2x-1≥0,从而对原不等式两端平方有 1+2x-1-2√(x-1)(2x-1)≥ 因此有2√(x-1)(2x-1)≤0,所以√(x-1)(2x-1)=0,由此得x=1,或x= 2但检验知x=1和x=均不符合原不等式所以原不等式的解集为g 小结在(2)中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解,若直接利用绝对值的几何 意义,其解集就是数轴上到点1的距离小于到点3的距离的点集,即数轴上点2左侧的点 若直接考虑(3)的解x应使不等式中三个二次根式有意义,则必有x≥1,但这时不等式 左端为负而右端为正,显然不成立,故其解集为 ◎3.设a、b∈R.证明:若对任何正数有|a-b|<E,则a=b. 分析用反证法,注意到题设中c的任意性,只要设法找到某一正数ε使条件不成立即可 证明假设a≠b,则根据实数集的有序性,必有a>b或a<b.不妨设a>b,令E=a-b>0 则|a-b|=a-b=g,但这与|a-b|=a-b<ε矛盾,从而必有a=b ◎4.设x≠0,证明x+-≥2,并说明其中等号何时成立 分析由(a-b)2=a2-2ab+b2≥0,有a2+b2≥2ab 证明因x≠0,则x与一同号,从而有 x+|-1x1+12≥2√1x·=2 等号当且仅当|x|=Tx即x=士1时成立 O5.证明:对任何x∈R有 (1)|x-1|+|x-2|≥1;(2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2. 证明直接由绝对值不等式的性质,对任意的x∈R有 (1)|x-1|+|x-2|≥1(x-1)-(x-2)|=|1|=1 2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2 6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合)证明
第一章 实数集与函数 图!E! !$$由原不等式有 $@! $@’ %!#于是 !? $ $@’ %!!所以 @!%!? $ $@’%!#即#% ! ’@$%!#则’@$ &!#$ %$!故!$$的解集为!@ )#$$!如图!E$! 图!E$ !’$由原不等式应有 !’$@$-##!$@!@ !$$@!-##从而对原不等式两端平方有 $@!?$$@!@$ !!$@!$!$$@!$-’$@$ 因此有$ !!$@!$!$$@!$$##所以 !!$@!$!$$@!$A##由此得$ A!#或$ A ! $ !但检验知$ A!和$ A ! $ 均不符合原不等式!所以原不等式的解集为 7! 小结 在!$$中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解!若直接利用绝对值的几何 意义#其解集就是数轴上到点!的距离小于到点’的距离的点集#即数轴上点$左侧的点 集! 若直接考虑!’$的解$应使不等式中三个二次根式有意义#则必有$ -!#但这时不等式 左端为负而右端为正#显然不成立#故其解集为 7! 5’" 设%";# $!证明)若对任何正数#有B%@;B%##则%A;! 分析 用反证法#注意到题设中#的任意性#只要设法找到某一正数#使条件不成立即可! 证明 假设%";#则根据实数集的有序性#必有%&;或% %;!不妨设%&;#令#A%@;&## 则B%@;BA%@;A##但这与B%@;BA%@;%#矛盾#从而必有%A;! 5*" 设$ "##证明 $? ! $ -$#并说明其中等号何时成立! 分析 由!%@;$$ A%$ @$%;?;$ -##有%$ ?;$ -$%;! 证明 因$ "##则$与 ! $ 同号#从而有 $? ! $ AB$B? ! B$B-$ B$B% ! ! B$B A$ 等号当且仅当B$BA ! B$B#即$ AF!时成立! 83" 证明)对任何$ # $有 !!$B$@!B?B$@$B-!* !$$B$@!B?B$@$B?B$@’B-$! 证明 直接由绝对值不等式的性质#对任意的$ # $有 !!$B$@!B?B$@$B-B!$@!$@ !$@$$BAB!BA! !$$B$@!B?B$@$B?B$@’B-B$@!B?B$@’B-B!$@!$@ !$@’$BA$ 64" 设%";"=# $? !$? 表示全体正实数的集合$!证明 B %$ ! ?;$ @ %$ ! ?=$ B$B;@=B! %’%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 你能说明此不等式的几何意义吗? 分析用分析法证明 欲证 1√a2+b2-√a2+c2|≤|b-c 只需证 (√a+b-√a+x)2≤(b-c)2 即证 2a2-2√(a2+b2)(a2+c2)≤-2b 只需证 只需证 )2≤(a2+b2)(b2 即证 2a2kx≤a2(b2+c2) 由于a、b、c∈R+,所以2≤b2+c2,a2>0,所以有2a2b≤a2(b2+c2)成立, 所以原不等式成立 其几何意义为:当b≠c时,平面上以点A(a,b)、B(ac)、O(0,0)为顶点的三角形中,l AO|-|BO|<|AB|;当b=c时,此三角形变成以点O(0,0),A(a,b)为端点的线段 如图1-3 图1-3 小结利用分析法找到证题思路,再用综合法证明,过程更为简捷 .设x>0,b>0,a≠b,证明十x介于1与之间 分析本题实质是要比较两数的大小,且该数符号不定,可用作差法 证明因x>0,b>0,a≠b,则由1-ax=b-a b+r b(b 当a>b时,1<+x<:当a<时,<x<1 故总有“十介于1与之间 小结通常要证某数a介于另两数b与c之间,可转化为证(c-a)(b-a)<0,这种方法在b与 c大小关系不完全确定时,也不必分情况讨论,较为简捷,例如本题中 因为x>0,b>0,a≠b,则有 bCb+ 所以红十必介于1与之间 ●8.设p为正整数.证明:若p不是完全平方数,则√p是无理数 分析本题采用反证法,联想到互质、最大公约数以及辗转相除法的有关知识点,可得结论 证明用反证法.假设为有理数,则存在正整数m、n使√p 且m与n互质.于是m2 8
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 你能说明此不等式的几何意义吗- 分析 用分析法证明! 证明 欲证 B %$ ! ?;$ @ %$ ! ?=$ B$B;@=B 只需证 ! %$ ! ?;$ @ %$ ! ?=$$$ $ !;@=$$ 即证 $%$ @$ !%$ ?;$$!%$ ! ?=$$$@$;= 只需证 %$ ?;= $ !%$ ?;$$!%$ ! ?=$$ 只需证 !%$ ?;=$$ $ !%$ ?;$$!;$ ?=$$ 即证 $%$ ;= $%$!;$ ?=$$ 由于%";"=# $? #所以$;= $;$ ?=$#%$ &##所以有$%$ ;= $%$!;$ ?=$$成立! 所以原不等式成立! 其几何意义为)当;"=时#平面上以点 C!%#;$"D!%#=$"G!###$为顶点的三角形中#BB CGB@BDGBB%BCDB*当;A=时#此三角形变成以点G!###$#C!%#;$为端点的线段! 如图!@’! 图!E’ 小结 利用分析法找到证题思路#再用综合法证明#过程更为简捷! 65" 设$ &##;&##%";#证明%?$ ;?$介于!与% ; 之间! 分析 本题实质是要比较两数的大小#且该数符号不定#可用作差法! 证明 因$ &##;&##%";#则由!@%?$ ;?$A;@% ;?$ #% ; @%?$ ;?$A$!%@;$ ;!;?$$得 当%&;时#!%%?$ ;?$% % ; *当%%;时#% ; %%?$ ;?$ %!! 故总有%?$ ;?$介于!与% ; 之间! 小结 通常要证某数%介于另两数;与=之间#可转化为证!=@%$!;@%$%##这种方法在;与 =大小关系不完全确定时#也不必分情况讨论#较为简捷!例如本题中) 因为$ &##;&##%";#则有 !@%?$ ! ;?$$ % ; @%?$ ! ;?$$A @$!;@%$$ ;!;?$$$ %# 所以%?$ ;?$必介于!与% ; 之间! 6G" 设"为正整数!证明)若"不是完全平方数#则!" 是无理数! 分析 本题采用反证法#联想到互质"最大公约数以及辗转相除法的有关知识点#可得结论! 证明 用反证法!假设!" 为有理数#则存在正整数 <"&使!" A < & #且 < 与& 互质!于是 <$ A %(%
第一章实数集与函数 m2,m2=n·(m),可见n能整除m2,由于m与n互质,从而它们的最大公约数为1,由辗 转相除法知:存在整数u、υ使mu+m=1,则m2u+m=m.因n既能整除m2u又能整 除m,故能整除其和,于是n能整除m,这样n=1,所以p=m2.这与p不是完全平方 数相矛盾 小结本题证明过程比较独特,先假设有理数为互质的两个数的商,利用这两个数与p之间的关 系,运用辗转相除法得出结论,注意知识点之间的内在联系 §2数集·确界原理 ○1.用区间表示下列不等式的解 (1)11-x|-x≥0;(2)x+≤6; (3)(x-a)(x-b)(x-c)>0(a,b,c为常数,且a<b<c); (4)imx≥2 解(1)原不等式等价于下列不等式组 或 前一个不等式组的解为x≤1;后一个不等式组的解集为空集,所以原不等式的解集 为 (2)绝对值不等式x+≤6等价于-6≤x+1≤6.这又等价于不等式组 6x≤x2+1≤-6 而前一个不等式组的解集为[3-22,3+2√2],后者的解集为[-3-2√2,-3+2 因此原不等式的解集为 √2,-3+2√2]U[3-2√2,3+2 (3)作函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),x∈R.则由a<b<c知 <0,当x∈(-∞,a)U(b,c) f(x)=0,当 >0,当x∈(a,b)∪(c,+∞) 因此f(x)>0,当且仅当 x∈(a,b)U(c 故原不等式的解集为 (a,b)U(c,+∞) (4)若0≤x≤2x,则当且仅当x 3x时,sinx≥y2,再由正弦函数的周期性知: 如mx≥2的解集是[2+,2kx+可其中k为整数 ○2.设S为非空数集.试对下列概念给出定义: (1)S无上界; (2)S无界
第一章 实数集与函数 "&$#<$ A&%!"&$#可见&能整除<$!由于<与&互质#从而它们的最大公约数为!#由辗 转相除法知)存在整数3"H使<3?&HA!#则<$ 3?<&HA<!因&既能整除<$ 3又能整 除 <&H#故能整除其和#于是&能整除<#这样&A!#所以"A <$!这与"不是完全平方 数相矛盾! 小结 本题证明过程比较独特#先假设有理数为互质的两个数的商#利用这两个数与"之间的关 系#运用辗转相除法得出结论#注意知识点之间的内在联系! F$ 数集"确界原理 8!" 用区间表示下列不等式的解) !!$B!@$B@$ -#* !$$$? ! $ $4* !’$!$@%$!$@;$!$@=$&#!%#;#=为常数#且%%;%=$* !*$+./$ - !$ $ ! 解 !!$原不等式等价于下列不等式组 $ %! +!!@$$@$ -# 或 $ -! +!$@!$@$ -# 前一个不等式组的解为$ $ ! $ *后一个不等式组的解集为空集#所以原不等式的解集 为 !@ )# ’! $ ! !$$绝对值不等式 $? ! $ $4等价于 @4$$? ! $ $4!这又等价于不等式组 $ &# @4$ $$$ + ?!$4$ 或 $ %# 4$ $$$ + ?!$@4$ 而前一个不等式组的解集为(’@$!$#’?$!$’#后者的解集为(@’@$!$#@’?$!$’! 因此原不等式的解集为 (@’@$!$#@’?$!$’* (’@$!$#’?$!$’ !’$作函数,!$$A !$@%$!$@;$!$@=$#$ # $!则由%%;%=知 ,!$$ %##当$ # !@ )#%$* !;#=$ A##当$ A%#;#= &##当$ # !%#;$* !=#? ) ’ ( ) $ 因此,!$$&##当且仅当 $ # !%#;$* !=#? )$ 故原不等式的解集为 !%#;$* !=#? )$ !*$若#$$ $$(#则当且仅当$ # ( * #’ ( *(’时#+./$ - !$ $ !再由正弦函数的周期性知) +./$ - !$ $ 的解集是 $7(? ( * #$7(? ’ ( *(’#其中7为整数! 8$" 设’为非空数集!试对下列概念给出定义) !!$’无上界* !$$’无界! %)%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 解(1)设S是一非空数集,若对任意的M>0,总存在x。∈S,使x0>M,则称数集S无上界 (2)设S是一非空数集.若对任意的M>0,总存在x0∈S,使|xo|>M,则称数集S无界 ○3.试证明由(3)式所确定的数集S有上界而无下界 证明由(3)式所确定的数集S={y|y=2-x2,x∈R},对任意的x∈R,y=2-x2≤2 所以数集S有上界2.而对任意的M>0,取x0=√3+M∈R,存在y=2-x=2 3-M=-1-M∈S,而y<-M,因此数集S无下界 ○4.求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证: (1)S={x|x2<2};(2)S={x|x=n!,n∈N}; (3)S={x|x为(0,1)内的无理数}; (4)S={x|x=1-,n∈N 解(1)supS=√2,infS=-√,下面依定义加以验证 因x2<2,等价于一2<x<√2,所以对任意的x∈S,有x<V2且x>-√2,即2、 √2分别是S的上、下界又对任意的正数c,不妨设c<2,于是存在x=V2-2 x1=2+2,使x0、x∈S,使x>2-e,x<-2+e,所以由上、下确界的定义 (2)supS=+∞,infS=1,下面依定义验证 对任意的x∈S,1≤x<+∞,所以1是S的下界.因为对任意的M>0,令n=[M] +1,则n!>M,故S无上界,所以supS=+∞;对任意的c>0,存在x1=1!=1∈ S,使x1<1+c,所以infS (3)supS=1,infS=0,下面依定义验证 对任意的x∈S,有0<x<1,所以1、0分别是S的上、下界.又对任意的E>0,不妨设 E<1,由无理数的稠密性,总存在无理数n∈(0,e),则有无理数x 7∈S.使x 1-n>1-e;有无理数x1=n∈S,使x1=<0+e,所以supS=1,infS=0 (4)supS=1,inS=2,下面依定义验证 对任意的x∈S,有≤x<1,所以1、分别是S的上、下界.对任意的e>0,必有 正整数m∈N使六<c,则存在n=1-2∈S使n>1-所以spS 又存在-1-=∈5.使x1<+所以mS= ○5.设S为非空有下界数集,证明 nfS=∈S=minS. 证明→)设infS=s∈S,则对一切x∈S有x≥,而∈S,故是数集S中最小的数,即 ←)设=minS,则∈S;下面验证s=inf (i)对一切x∈S,有x≥,即安是S的下界 (i)对任何B>,只需取x=∈S,则x0<B.从而满足=infS的定义
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 解 !!$设’是一非空数集!若对任意的 ( &##总存在$# #’#使$# & (#则称数集’无上界! !$$设’是一非空数集!若对任意的 ( &##总存在$# #’#使B$#B& (#则称数集’无界! 8’" 试证明由!’$式所确定的数集’有上界而无下界! 证明 由!’$式所确定的数集’ A +-B-A$@$$#$ # $,#对任意的$ # $#-A$@$$ $$# 所以数集’有上界$!而对任意的 ( &##取$# A !’?( # $#存在-# A$@$$ # A$@ ’@( A@!@( #’#而-# %@(#因此数集’无下界! 8*" 求下列数集的上"下确界#并依定义加以验证) !!$’ A +$B$$ %$,* !$$’ A +$B$ A&.#&# %? ,* !’$’ A +$B$为!##!$内的无理数,* !*$’ A +$B$ A!@ ! $&#&# %? ,! 解 !!$+,-’ A !$#./0’ A@!$#下面依定义加以验证! 因$$ %$#等价于 @!$%$% !$#所以对任意的$#’#有$% !$且$ &@!$#即!$" @!$分别是’的上"下界!又对任意的正数##不妨设#%$!$#于是存在$# A !$@ # $ " $! A@!$? # $ #使$#"$! #’#使$# & !$@##$! %@!$?##所以由上"下确界的定义 +,-’ A !$#./0’ A@!$! !$$+,-’ A? )#./0’ A!#下面依定义验证! 对任意的$ #’#!$$ %? )#所以!是’的下界!因为对任意的 ( &##令&A ((’ ?!#则&. & (#故’无上界#所以+,-’ A? )*对任意的#&##存在$! A!. A!# ’#使$! %!?##所以./0’ A!! !’$+,-’ A!#./0’ A##下面依定义验证! 对任意的$#’#有#%$%!#所以!"#分别是’的上"下界!又对任意的#&##不妨设 #%!#由无理数的稠密性#总存在无理数!# !###$#则有无理数$# A!@!#’#使$# A!@!&!@#*有无理数$! A!#’#使$! A!%#?##所以+,-’ A!#./0’A#! !*$+,-’ A!#./0’ A ! $ #下面依定义验证! 对任意的$ #’#有 ! $ $$ %!#所以!"! $ 分别是’的上"下界!对任意的#&##必有 正整数&# # 0/ 使 ! $&# %##则存在$# A!@ ! $&# #’#使$# &!@##所以+,-’ A!! 又存在$! A!@ ! $ A ! $ #’#使$! % ! $ ?##所以./0’ A ! $ ! 83" 设’为非空有下界数集#证明) ./0’ A%#’9%A 9./’! 证明 :$ 设./0’A%#’#则对一切$#’有$ -%#而%#’#故%是数集’ 中最小的数#即 %A 9./’! ;$ 设%A 9./’#则%#’*下面验证%A./0’) !!$对一切$ #’#有$ -%#即%是’ 的下界* !"$对任何&&%#只需取$# A%#’#则$# %&!从而满足%A./0’的定义! %!*%