2.4循环群 循环群必为交换群 例1：（亿，+）是循环群，Z=<1>=<-1>。 例2：Un是n阶循环群，任意一个n次单位原根都 是它的生成元
2.4 循环群 循环群必为交换群 例1：(Z, +)是循环群，Z=<1>=<-1>。 例2：Un是n阶循环群，任意一个n次单位原根都 是它的生成元
2.4循环群 定理：1)当a=+o时， G=(a={,a2,a1,a°=e,a,a2,…} 为无限循环群，且与（亿，+）同构。 2)当a=n时， G-a={e,a,a2,,a”-} 为n阶循环群，且与Un同构
2.4 循环群 定理：1) 当 时， 为无限循环群，且与(Z, +)同构。 2) 当 时， 为n阶循环群，且与Un同构。 a = + 2 1 0 2 G a a a a e a a = ={ , , , , , } − − = ， a n = 2 1 = ={ , , , } n G a e a a a −
2.4循环群 由此定理可知，无限循环群彼此同构，有限同阶 循环群彼此同构，因此，在同构的意义下，循环 群只有两种，即（亿，+）和Un(n∈Z+)。 推论：n阶群G是循环群<=>G有n阶元素 对n阶循环群，有且只有n阶元为生成元
2.4 循环群 由此定理可知，无限循环群彼此同构，有限同阶 循环群彼此同构，因此，在同构的意义下，循环 群只有两种，即(Z, +)和Un( )。 推论：n阶群G是循环群<=>G有n阶元素。 对n阶循环群，有且只有n阶元为生成元。 n Z+
2.4循环群 对于正整数n,Eulari函数on)是小于等于n的正 整数中与n互质的数的数量。 定理：无限循环群有两个生成元，即a与al,n 阶循环群有φ()个生成元。 例3：4、5、6阶循环群分别有2、4、2个生成元
2.4 循环群 对于正整数n，Eular函数φ(n)是小于等于n的正 整数中与n互质的数的数量。 定理：无限循环群有两个生成元，即a与a -1 ，n 阶循环群有φ(n)个生成元。 例3：4、5、6阶循环群分别有2、4、2个生成元
2.4循环群 定理：循环群的子群仍为循环群。 定理：无限循环群G有无限多个子群 G=<a>为n阶循环群时，对n的每个正因数k, G有且只有一个k阶子群，为(a)
2.4 循环群 定理：循环群的子群仍为循环群。 定理：无限循环群G有无限多个子群 G=<a>为n阶循环群时，对n的每个正因数k， G有且只有一个k阶子群，为 。 n k a