保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数在确定了p（u）是u的连续函数之后，就有可能来考察它在区间[α，β]上的积分Bf(a,u)dc du.p(u)du =当函数f（a,u）在I上连续时，上式右端积分等于f（a,u）在I上的二重积分，故也可写成f(ar,u)da du =f(a,u)du da这便是定理 2 如果函数 f(αc,u) 在 I =[a,b] ×[α,β] 上连续,则f(ac,u)da 在[α,β] 可积,并有p(u) :=Gf(r, u)da du =f(a,u)du一p(u)du :.da返回全屏关闭退出146/20
ëY5 È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê 3(½ ϕ(u) ´ u ëY¼ê, ÒkU5 §3«m [α, β] þÈ© Z β α ϕ(u)du = Z β α Z b a f(x, u)dx du. ¼ê f(x, u) 3 I þëY, þªmàÈ© u f(x, u) 3 I þÈ ©, ¤ Z β α Z b a f(x, u)dx du = Z b a Z β α f(x, u)du dx. ùB´ ½n 2 XJ¼ê f(x, u) 3 I = [a, b] × [α, β] þëY, K ϕ(u) = Z b a f(x, u)dx 3 [α, β] È, ¿k Z β α ϕ(u)du = Z β α Z b a f(x, u)dx du = Z b a Z β α f(x, u)du dx. 6/20 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数a1例2计算dc, 0< a<b.IncJo解早注意到.b26raaudu,Ina0且二元函数hc,u)=acu在[0,1]×[a,b]连续，因而有Or"duaudrdudrS0h11au+1duduu+lu+l0b+1Im二a+l返回全屏关闭退出7/20
ëY5 È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê ~ 2 O Z 1 0 x b − x a ln x dx, 0 < a < b. ) 5¿ x b − x a ln x = Z b a x u du, ¼ê h(x, u) = x u 3 [0, 1] × [a, b] ëY, Ï k I = Z 1 0 Z b a x udu dx = Z b a Z 1 0 x u dx du = Z b a 1 u + 1 x u+1 1 0 du = Z b a 1 u + 1 du = ln b + 1 a + 1 . 7/20 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ