证明:E(Xx)=mp。 证E(x)=2mCmp"(-pym ∑m n p"(-p) n-m n n' p (m-1)|(-1-(m- (1-p)"m p·∑cm1p-(1-p)"m m-1=0 nplp+(1-p) -1 np 类似地可得:Ex2=m-1y2+m, 于是方差DX=EX2-(EX)2 npq
证明： E( ) X = np 。 [证] E( ) X = m n m n m m n m C p p − = ∑ ⋅ (1− ) 0 m n m n m p p m n m n m − = ⋅ − ⋅ − = ∑ ⋅ (1 ) !( )! ! m=0 m!(n m)! 0 1 ( 1) ( 1) (1 ) ( 1)![( 1) ( 1)]! ( 1)! − − − − − − − − − − = ⋅ ⋅∑ m n m n p p m n m n n p 1 ( 1)![( 1) ( 1)]! m= m− n− − m− ∑ − − − − − − = ⋅ − − 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 (1 ) n m m n m np Cn p p = +− − np p p n [ ( )] 1 1 = np ∑ m−1=0 类似地可得： EX = n n − p + np 2 2 ( 1) ， 于是方差 DX EX EX 2 2 于是方差 DX = EX − (EX ) = npq 2 2 ( )
例1.规定某种型号的电子元件使用寿命超过 1500小时为一级品。已知某一大批产品的一 级品率为02,现在从中随机地抽查20只, 问20只元件中,恰有k(k=0,…20)只为 级品的概率是多少? 解:由于产品的数量很大,可作为放回抽样处理。 随机变量X表示20中的级品个数, 则 X~B(20,p,p=02 P(X=k=Cp q 20-k k=0.1.2…20 Ⅹ0 56 P|020080137020502180150109022020000 列当k21时,P(x=)<000
例 1.规定某种型号的电子元件使用寿命超过 1500 小时为一级品。已知某一大批产品的一 级品率为 0.2，现在从中随机地抽查 20 只， 问 20 只元件中，恰有 k ( k = 0,, , 1 L 2 0 ) 只为一 级品的概率是多少？ 解：由于产品的数量很大，可作为放回抽样处理。 随机变量 X 表示 20 只中的一级品个数， 则X ～B(20 0 2 , p), . p = X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则 ( p) p P X k C pq k kk k ( ) , ,, , , == = − 20 20 0 1 2 20 L X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109 0.055 0.022 0.007 0.002 当k ≥ 11时，PX k ( ). = < 0 001
例2从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各 个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概 率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. 5(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 "解由题意xB6/3,于是X的分布律为 6-k 2 PX=k=C k=0,1,,6 (2)P(X≥5}=P{X=5}+P(X=6} + (3八(3八3/-729
例2.从某大学到火车站途中有 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各 个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概 率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:( ) 1 由题意,X∼B(6, /3), 1 于是,X的分布律为: 0,1,...,6 1 2 { } 6 6 ⎟ = ⎞ ⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛ = = − P X k C k k k k 0,1,...,6 3 3 { } 6 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ P X k C k (2) P{X ≥ 5} = P{X = 5}+ P{X = 6} 1 2 1 13 5 6 5 6 ⎟ = ⎞ ⎜⎛ ⎟ +⎞ ⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛ = C 3 3 3 729 6 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟ +⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ C
p(X AB(20.0.25) Bg20075) B2005) 0.15 0.05 5 10 15 20
p( ) x B(20,0.25) B(20,0.5) B(20,0.75) 0 x