武汉大学：《泛函分析》课程教学资源（教案讲义）第2讲 度量空间及其拓扑

第2讲度量空间及其拓扑 教学目的:介绍度量空间的公理及其拓扑性质。 授课要点: 度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相 互关系。 定义1设X是某个集合,d:XxX→R是一个二元映射,满足 (1)d(x,y)≥0;d(x,y)=0当且仅当x=y (2)d(x,y)=d(y,x) (3)d(x,-)≤d(x,y)+d(y,)(三角不等式) 则称d是X上的度量(距离)函数,称X为度量(距离)空间.有时为了明确,记为(X 度量空间的子集合E,仍以d为E上度量构成的度量空间称为(X,d)的子空间 例1对于n维空间Φ”中的点x=(x1…,x)和y=(1…,y),定义 d(x,y)=∑x-y 容易验证d是Φ"上的度量函数.其中的三角不等式即数学分析中用到的 Minkowski不等式 记此空间为(Φ,d).称之为n维欧几里德( Euclid)空间 实际上在”上还可以定义其他度量,例如d(x,y)=maxx1-y,此时(o,d)仍是度 量空间.但须注意应把(Φ",d1)与(Φ,d)视为不同的度量空间.此外注意今后当说到Φ”是 度量空间时,总意味着它带有欧氏度量 例2空间s 考虑上节例2中的线性空间Φ°,对于x=(x),y=(yn),定义 21 现证明d是度量函数,记此空间为s

第 2 讲 度量空间及其拓扑 教学目的：介绍度量空间的公理及其拓扑性质。 授课要点： 度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相 互关系。 定义 1 设 X 是某个集合， d : X × X → R 是一个二元映射，满足 （1） 0 d(x, y) ≥ ； d(x, y) = 0 当且仅当 x = y ． （2） ) d(x, y) = d( y, x ． （3） ) d(x,z) ≤ d(x, y) + d( y,z （三角不等式）． 则称 d 是 X 上的度量（距离）函数，称 X 为度量（距离）空间．有时为了明确，记为(X , d) ． 度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为(X , d) 的子空间． 例 1 对于 n 维空间 n Φ 中的点 ( , , ) 1 n x = x " x 和 ( , , ) 1 n y = y " y ，定义 1 2 2 1 (, ) , n i i i dxy x y =   = −     ∑ （1） 容易验证 d 是 n Φ 上的度量函数．其中的三角不等式即数学分析中用到的 Minkowski 不等式 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2        + −       ≤ −      ∑ − ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i i i x z x y y z , 记此空间为( ,d) n Φ . 称之为 n 维欧几里德（Euclid）空间． 实际上在 n Φ 上还可以定义其他度量，例如 i i i n d x y = x − y 1≤ ≤ 1 ( , ) max ，此时 ( , ) d1 n Φ 仍是度 量空间．但须注意应把 ( , ) d1 n Φ 与( ,d) n Φ 视为不同的度量空间．此外注意今后当说到 n Φ 是 度量空间时，总意味着它带有欧氏度量. 例 2 空间 s ． 考虑上节例 2 中的线性空间 ∞ Φ ，对于 ( ), ( ) n n x = x y = y ，定义 ∑ ∞ = + − − = 1 2 1 1 ( , ) i i i i i i x y x y d x y ． （2） 现证明 d 是度量函数，记此空间为 s ．

证明(1)显然d(x,y)≥0.若d(x,y)=0,则必有x-y=0,即x=y(=12 故 (2)d(x,y)=d(y,x)显然 (3)考虑函数∫()=,,t≥0.由于ω的递增性,对于任意实数a,b,由 +b≤a+b得到 a+b1++b1+l1+{b 所以 d(x,=)= a21+x- 211 x, y d(x,y)+d(,=) 例3空间Ca,b] Ca,b是区间[a,b]上的连续函数全体,对于x,y∈Ca,b],定义 d(x,y)=max x(0)-y(ol (3) 则d是Ca,b]上的度量函数.容易验证 1°d(x,y)≥0.若d(x,y)=0则vt∈[a,b,x()=y(),故x=y 2°显然d(x,y)=d(y,x) x()-() ≤max{x()-y()+10)-oW} < maxx(()-y(+maxx(0)-=(0 C[a,b是度量空间

证明 （1）显然 d(x, y) ≥ 0 ．若 d(x, y) = 0 ，则必有 − = 0 i i x y ，即 x = y (i =1,2,") i i ， 故 x = y ． （2） d(x, y) = d( y, x) 显然． （3）考虑函数 t t f t + = 1 ( ) ， t ≥ 0 ．由于 f (t) 的递增性，对于任意实数 a ， b ，由 a + b ≤ a + b 得到 b b a a a b a b a b a b + + + ≤ + + + ≤ + + + 1 1 1 1 ， 所以 ∑ ∞ = + − − = 1 2 1 1 ( , ) i i i i i i x z x z d x z ∑ ∞ = + − + − − + − = 1 2 1 1 i i i i i i i i i i x y y z x y y z ∑ ∞ =         + − − + + − − ≤ 1 2 1 1 1 i i i i i i i i i i y z y z x y x y = d(x, y) + d( y,z) ． 例 3 空间C[a,b]． C[a,b]是区间[a,b]上的连续函数全体，对于 x, y∈C[a,b]，定义 d(x, y) max x(t) y(t) a t b = − ≤ ≤ ． （3） 则 d 是C[a,b]上的度量函数．容易验证 1° d(x, y) ≥ 0 ．若 d(x, y) = 0 则∀t ∈[a,b] ， x(t) = y(t) ，故 x = y ． 2°显然 d(x, y) = d( y, x) ． 3° d(x,z) max x(t) z(t) a t b = − ≤ ≤ max{ } x(t) y(t) y(t) z(t) a t b ≤ − + − ≤ ≤ max x(t) y(t) max y(t) z(t) a t b a t b ≤ − + − ≤ ≤ ≤ ≤ ) = d(x, y) + d( y,z ． C[a,b]是度量空间．

定义2设(X,d)是度量空间,EcX (1)称damE=sup{d(x,y)x,y∈E}是E的直径.称E是有界集,若damE<∞ (2)对于xn,x∈X,称x(依度量d)收敛于x,若 d(xn,x)→0(n→>∞) 记之为lmxn=x或xn→>x 定理1度量空间中序列的极限是惟一的.收敛序列的元素构成有界集 证明若 d(x,x)→0,d(xn,y)→>0,(n→∞) 由三角不等式知道 0≤d(x,y)≤d(xn,x)+d(xn,y)→0,(n→>∞) 故d(x,y)=0,由定义知道x=y.后一结论是明显的 定理2d(x,y)是两个变元的连续函数,即当x→x,y→y时, d(xn,y)→d(x,y) 证明由三角不等式知道, 同样地 d(x,y)-d(x,-)≤d(,y)=d(y,-) 于是 d(x,y)-d(x,)≤d(y,2) (4) 应用(4),则 d( ym)-d(x,y)sd(m, m)-d(m, x)+d( d(x,x)+d(yn,y)→0 故

定义 2 设(X , d) 是度量空间， E ⊂ X ． （1）称diamE = sup{d(x, y); x, y∈ E}是 E 的直径．称 E 是有界集，若diamE < ∞ ． （2）对于 n x ， x∈ X ，称 n x （依度量 d ）收敛于 x ，若 d(x , x) → 0(n → ∞) n ． 记之为 x x n n = →∞ lim 或 x x n → ． 定理 1 度量空间中序列的极限是惟一的．收敛序列的元素构成有界集． 证明 若 x x n → ， x y n → ，即 d(x , x) → 0 n ， d(x , y) → 0 n ，(n → ∞) ． 由三角不等式知道 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x , x) + d(x , y) → 0 n n ，(n → ∞) ． 故 d(x, y) = 0 ，由定义知道 x = y ．后一结论是明显的． 定理 2 ) d(x, y 是两个变元的连续函数，即当 x x n → ， y y n → 时， d(x , y ) d(x, y) n n → ． 证明 由三角不等式知道， d(x,z) − d(x, y) ≤ d( y,z) ， 同样地 d(x, y) − d(x,z) ≤ d(z, y) = d( y,z)， 于是 d(x, y) − d(x,z) ≤ d( y,z) （4） 应用（4），则 d(x , y ) d(x, y) d(x , y ) d( y , x) d( y , x) d(x, y) n n − ≤ n n − n + n − ≤ d(x , x) + d( y , y) → 0 n n ． 故

d(xny)→d(x,y) 例4设X是任一点集,定义 d(x,y) vx,y∈X 容易验证(X,d)是度量空间.称此类空间为离散度量空间 此例说明对于任一点集X,可以在X上规定某种度量函数使之成为度量空间.但是我 们研究度量空间的目的在于研究空间的性质并用于解决实际问题,因此我们通常所关心的 是与空间的某种性质紧密联系的度量函数.下面是这方面的例子 命题2C[a,b]中的序列x依度量收敛于x等价于xn在[a,]上一致收敛于x 由CIa,b]中度量函数的定义直接得出 例5空间S.设(,E,)是有限测度空间,A(2)<∞,关于∑可测的函数全体记为 S.定义 d(x,y)= +x(t)-y( 将S中关于μ几乎处处相等的函数视为同一元,由定义直接验证知道(S,d)是度量空间 命题3S中函数序列依度量(6)收敛等价于依测度收敛 证明若xn,x∈S,x依测度收敛于x,则对于任何a>0 (0)-x(2a}=0 记E,()=x0)-x(o≥),则 d(rm, x)= +lx, (0-x(ol x()-x() ≤(En(0)+,() 由于以()<∞,对于事先给定的E>0,先取σ足够小使第二项小于,再取n足够大使第 项小于,则知d(x,x)→0

d(x , y ) d(x, y) n n → ． 例 4 设 X 是任一点集，定义    ∀ ∈ ≠ = = x y X x y x y d x y , 1, , 0, , ( , ) ． （5） 容易验证(X , d) 是度量空间．称此类空间为离散度量空间． 此例说明对于任一点集 X ，可以在 X 上规定某种度量函数使之成为度量空间．但是我 们研究度量空间的目的在于研究空间的性质并用于解决实际问题， 因此我们通常所关心的 是与空间的某种性质紧密联系的度量函数．下面是这方面的例子． 命题 2 ] C[a,b 中的序列 n x 依度量收敛于 x 等价于 n x 在[a,b]上一致收敛于 x ． 由C[a,b]中度量函数的定义直接得出． 例 5 空间 S ．设(Ω,Σ ,µ) 是有限测度空间， µ(Ω) < ∞ ，关于Σ 可测的函数全体记为 S ．定义 µ Ω d 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ∫ + − − = x t y t x t y t d x y ， x, y∈S （6） 将 S 中关于 µ 几乎处处相等的函数视为同一元．由定义直接验证知道(S, d) 是度量空间． 命题 3 S 中函数序列依度量（6）收敛等价于依测度收敛． 证明 若 n x ， x ∈ S ， n x 依测度收敛于 x ，则对于任何σ > 0， lim { } , ( ) − ( ) ≥ = 0 →∞ µ t xn t x t σ n ． 记 En (σ ) = { } t, xn (t) − x(t) ≥ σ ， 则 µ µ σ Ω σ d 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ∫ ( ) ∫ \ ( ) + − − + + − − = n En n n E n n n x t x t x t x t x t x t x t x t d x x ( ) 1 ( ( )) µ Ω σ σ µ σ + ≤ En + ． 由于 µ(Ω) < ∞ ，对于事先给定的ε > 0 ，先取σ 足够小使第二项小于 2 ε ，再取 n 足够大使第 一项小于 2 ε ，则知 d(x , x) → 0 n ．

反之,对于每个a>0,由于 (E()≤ d≤d(xn,x) E.o1+x()-x() 所以当d(xn,x)→0时,im(En(σ)=0,这说明xn依测度收敛于x 思考题 空间s中依度量d收敛等价于依坐标收敛. 2、证明当d是x上的度量时,mn(d,l与、4 也是 3、对于例4中定义的离散度量空间,若x∈X,0<E≤1,r>1,写出O(x,E)=? O(x,r)=? 个线性空间上未必定义有度量.反过来一个度量空间也未必是线性的.同时是线性又 是度量的空间称为是线性度量空间,假若加法和数乘关于此度量是连续的.即当在X中, xn→x,yn→y,在标量域φ中λ→>λ时 x+y→x+y, →Ax 定义3设(X,d)是度量空间. (1)若x∈X,r>0,称 O(xo, r)=xeX; d(x, xo)<r) S(x,r)={x∈x;d(x,x)≤r}, 分别是以x为中心,r为半径的球和闭球. (2)集合BcX称为开集,若x∈B,存在r>0,使得O(x,r)cB (3)包含x的任一开集称为x的邻域 (4)集合EcX称为闭集,若X\E为开集 引理球O(xnr)(r>0)是开集 证明对于任意的y∈O(x,r),取r=r-d(y,x), 则r>0,此时v∈O(yr (=,x0)≤d(=,y)+d(y,x)<r+d(y,x)=r, 故z∈O(x,r).z是任意的,所以O(,r)cO(x0,r) 由定义知道O(x,)是开集

反之，对于每个σ > 0，由于 d ( , ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 1 ( ) d x x x t x t x t x t E n E n n n n ≤ + − − ≤ + ∫ µ σ µ σ σ σ ， 所以当 d(xn , x) → 0 时， lim ( ( )) = 0 →∞ µ n σ n E ，这说明 n x 依测度收敛于 x ． 思考题 1、 空间 s 中依度量 d 收敛等价于依坐标收敛． 2、 证明当 d 是 X 上的度量时， min{ ,1} d 与 1 d + d 也是。 3、 对于例 4 中定义的离散度量空间，若 x ∈ X , 0 1, 1 < ε ≤ > r ，写出 O x(, ) ? ε = Oxr (,) ? = 一个线性空间上未必定义有度量．反过来一个度量空间也未必是线性的．同时是线性又 是度量的空间称为是线性度量空间，假若加法和数乘关于此度量是连续的．即当在 X 中， x x n → ， y y n → ，在标量域Φ 中λn → λ 时 x y x y n + n → + ， x x λn n → λ ． 定义 3 设(X , d) 是度量空间． （1）若 x0 ∈ X ， r > 0 ，称 O(x ,r) = { } x ∈ X;d(x, x ) < r 0 0 ， S(x ,r) = { } x∈ X;d(x, x ) ≤ r 0 0 ， 分别是以 0 x 为中心， r 为半径的球和闭球． （2）集合 B ⊂ X 称为开集，若∀x∈ B ，存在 rx > 0，使得O(x0 ,r) ⊂ B ． （3）包含 x 的任一开集称为 x 的邻域． （4）集合 E ⊂ X 称为闭集，若 X \ E 为开集． 引理 球 ( , ) ( 0) O x0 r r > 是开集． 证明 对于任意的 ( , ) 0 y∈O x r ，取 ( , )0 r′ = r − d y x ， 则 r′ > 0 ，此时∀z ∈O( y,r′) ， d(z, x ) ≤ d(z, y) + d( y, x ) < r′ + d( y, x ) = r 0 0 0 ， 故 ( , ) 0 z ∈O x r ． z 是任意的，所以 ( , ) ( , ) 0 O y r′ ⊂ O x r ． 由定义知道 ( , ) 0 O x r 是开集．