第16讲w收敛与w收敛 教学目的 掌握弱收敛与弱'收敛的概念和基本性质。 授课要点 序列弱收敛的定义和基本性质。 2序列弱收敛的定义和基本性质 3强弱序列有界性,闭性,完备性,紧性的比较, 有了共轭空间的知识,现在让我们引入一种新的收敛概念 定义1设X是线性赋范空间,X是X的共轭空间,xn,x∈X, 若对于每个∫∈X",imf(x)=f(x),则称序列{xn}弱(O)收敛 于x,记为x=O- limx,或xn-。>x。 以往所讲的依范数收敛,有时又称为强收敛.必要时记之为 定理1弱收敛序列的极限是惟一的. 证明设xn∈X,xnx,xn—"→y,则f∈X f(x)→f(x),f(xn)→f(y).于是f(x)=f(y),由Hahn- Banach 定理的推论知道x=y 定理2设X是线性赋范空间,xn,x,yn,y∈X,,元∈Φ, →>x,yn—>y,A→元,则 xn+yn—>x+y,克nxn 这一结论表明弱极限运算是线性的 证明f∈X”,直接计算得到 f(r,+yn)=f(r)+f(o,)f(x)+f()=f(+y
1 第 16 讲 w收敛与 w∗收敛 教学目的： 掌握弱收敛与弱 * 收敛的概念和基本性质。 授课要点： 1 序列弱收敛的定义和基本性质。 2 序列弱 * 收敛的定义和基本性质。 3 强弱序列有界性，闭性，完备性，紧性的比较。 有了共轭空间的知识，现在让我们引入一种新的收敛概念. 定义 1 设 X 是线性赋范空间，X ∗ 是 X 的共轭空间， n x ，x∈ X ， 若对于每个 f X ∗ ∈ ， lim ( n ) ( ) n f x fx →∞ = ，则称序列 {xn} 弱（ ω ）收敛 于 x ,记为 lim n n x ω x →∞ = − ，或 n x x ω → 。 以往所讲的依范数收敛，有时又称为强收敛 . 必要时记之为 s n x → x 。 定理 1 弱收敛序列的极限是惟一的. 证 明 设 n x ∈ X ， w n x → x ， w n x → y ， 则 f X ∗ ∀ ∈ ， f ( ) x fx n → ( ) ，f ( ) x fy n → ( ) .于是 f ( x fy ) = ( ) ，由 Hahn－Banach 定理的推论知道 x = y . 定 理 2 设 X 是线性赋范空间， ,, , n n x xy y X ∈ ， , λn λ ∈Φ ， w n x → x ， w n y y → ， λn → λ ，则 w n n x + y xy → + ， w n n λ x →λx . 这一结论表明弱极限运算是线性的. 证明 f X ∗ ∀ ∈ ，直接计算得到 f ( x y fx fy fx fy fx y nn n n += + → + = + ) () ( ) ( ) ( ) ( )
f(nxn)=λf(xn)→f(x)=f(xx) 即是所要的结论 定理3若x-→x,则xn-">x 证明对于每个∫∈X”, f(x)-f(x)s/|x,-对 若|xn-x→0,则f(x)→f(x),故得之 例1弱收敛的序列可能不是强收敛的。设en∈P(p>1) e.={0-010…,n21对于每个/∈()=P(p2+q2=小),不 妨设∫=(n,nh2…),其中∑mn<∞,于是mn→>0 此时f(e)=n→0,故en一”→0.但|p=1,故nx0 定理4在有限维空间中,强收敛和弱收敛是一致的 证明只须证明其中任一弱收敛序列是强收敛的.实际上,若 ,y0∈④",x)-"→x0,由于(@)→Φ”,取线性泛函f, 当x={x1…x}时,月(x)=x,(=1…,n)。则f∈(@”), 由于(x“)→(x)甲x→x(k→)(=1…m),换句话说 x)依坐标收敛于x0,故x)必依范数收敛于x 尽管一般来说弱收敛序列不必强收敛,但下面定理反映出弱收敛 与强收敛的联系是紧密的
2 f ( ) λnn n n x fx fx f x = →= λλ λ ( ) ( ) ( ) ， 即是所要的结论. 定理 3 若 s n x → x ，则 w n x → x . 证明 对于每个 f X ∗ ∈ ， f ( ) x fx f x x n n −≤ − ( ) ， 若 0 n x x − → ，则 f ( ) x fx n → ( ) ，故得之. 例 1 弱收敛的序列可能不是强收敛的 . 设 ( ) p n elp ∈ ＞1 ， 0, ,01,0, n n e = " " ，n ≥1. 对于每个 ( ) ( ) 1 1 1 p q f l lp q ∗ − − ∈ = += ，不 妨设 ( ) 1 2 f = η η, ," ，其中 1 q n n η ∞ = ∑ ＜∞ ，于是 0 ηn → . 此时 ( ) 0 n n f e = → η ,故 0 w n e → . 但 1 n p e = ，故 0 n e → . 定理 4 在有限维空间中，强收敛和弱收敛是一致的. 证明 只须证明其中任一弱收敛序列是强收敛的. 实际上，若 ( ) k x ， (0) n x ∈Φ ， (k ) w (0) x →x ，由于 ( ) n n ∗ Φ → Φ ，取线性泛函 i f ， 当 x = {x x 1, , " n} 时， fi i ( ) x x = ， (i n =1, , " ) 。则 ( ) n i f ∗ ∈ Φ ， ( ) ( ) k k( ) i i f x x = ， ( ) ( ) 0 0( ) i i f x x = , 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) k 0 i i f x fx → 即 ( ) ( ) ( )( ) 0 1, , k i i x → →∞ = xk i n " ，换句话说， ( ) k x 依坐标收敛于 ( ) 0 x ，故 (k ) x 必依范数收敛于 (0) x . 尽管一般来说弱收敛序列不必强收敛，但下面定理反映出弱收敛 与强收敛的联系是紧密的
定理5若xn"x,则存在{x}中元素的凸组合构成的序列 yn}(即y=∑x:n20,∑=1),y一→x 证明考虑集合E=Co{xnn≥l,只须证明x∈E 由凸集的隔离定理,对于紧集{x}和闭凸集E,存在∫∈x”和两 实数1,2(K<)使得 Ref(x)<K≤F<Ref(y),vy∈E 特别地,取y=xn可知这是与ⅵ∈X",∫(xn)→f(x)矛盾的 为了进一步刻划弱收敛,让我们引入自然嵌入算子的概念.首先 我们有 定理6对于每个x∈X,在X'上定义泛函x”,使 x()=f(x),Vf∈X 则x“∈X”并且||=对 证明由定义,V1,2∈X,a,B∈Φ, (af+Bf2)=(af+B52)() af(x)+B2(x) ax"()+Bx"(2), 故x*是线性泛函.由于 x(O)=|(x)s1|
3 定理 5 若 0 w n x → x ，则存在 {xn} 中元素的凸组合构成的序列 {yn} （即 1 n i i k n nn i y rx = = ∑ ； 0 i nr ≥ ， 1 1 n i k n i r = ∑ = ）， 0 s n y x → . 证 明 考虑集合 E co x n = { n ; 1 ≥ }，只须证明 0 x ∈E . 由凸集的隔离定理，对于紧集 {x0} 和闭凸集 E ，存在 f X ∗ ∈ 和两 实数 1 2 r r, （ 1 2 r r ＜ ）使得 Re Re f ( ) x r r fy 0 12 ＜＜＜ ( ) ， ∀y E ∈ . 特别地，取 n y x = 可知这是与 f X ∗ ∀ ∈ ， 0 () () n f x fx → 矛盾的. 为了进一步刻划弱收敛，让我们引入自然嵌入算子的概念. 首先 我们有 定理 6 对于每个 x X ∈ ，在 X ∗ 上定义泛函 x∗∗ ，使 x ( ) f fx( ) ∗∗ = ， f X ∗ ∀ ∈ ， 则 x X ∗∗ ∗∗ ∈ 并且 x x ∗∗ = . 证 明 由定义， 1 2 f , f X ∗ ∀ ∈ ， α, β ∈Φ ， x (αβ αβ f f f fx 12 12 ) ( )( ) ∗∗ + =+ = + α β f1 2 ( x fx ) ( ) α β x ( f xf 1 2 ) ( ) ∗∗ ∗∗ = + ， 故 x∗∗ 是线性泛函. 由于 x ( ) f fx x f ( ) ∗∗ = ≤
所以()|,x”ex 对于x≠0,由Hahn一 Banach定理的推论,存在∫∈x”,/=1并 且f(x)=|,从而 x|2x(O)=|/(x)=|对 故||= 当x=0时,取 定义2称算子J:X→X”,J=x”, "(=f(),f 是从X到X”的自然嵌入算子 若J(X)=X”,称X是自反空间 定理7自然嵌入算子是从X到X”的子空间上的等距同构 证明若Jx=x”,2=x”,则∈X,x”()=f(x) x2"()=f(x2),从而由定义 (ax”+Bx2“)(0)=ax"()+Bx“() (x)+Bf(x2) f(ax,+Bx2) 即J(ax+Bx2)=ax”+Bx2”=ax+B/x2,J是线性的
4 所以 x ( ) f x ∗∗ ≤ ， x X ∗∗ ∗∗ ∈ . 对于 x ≠ 0 ，由 Hahn－Banach 定理的推论，存在 f X ∗ ∈ , f =1并 且 f ( ) x x = ，从而 x x f fx x ( ) ( ) ∗∗ ∗∗ ≥ == , 故 x x ∗∗ = . 当 x = 0 时，取 x 0 ∗∗ = . 定义 2 称算子 JX X : → ∗∗ ， Jx x∗∗ = ， x ( ) () f fx ∗∗ = ， f X ∗ ∀ ∈ (321 − − ) 是从 X 到 X ∗∗ 的自然嵌入算子. 若 JX X ( ) ∗∗ = ，称 X 是自反空间. 定理 7 自然嵌入算子是从 X 到 X ∗∗ 的子空间上的等距同构. 证 明 若 1 1 Jx x ∗∗ = ， 2 2 Jx x ∗∗ = ，则 f X ∗ ∀ ∈ ， x1 1 ( f fx ) () ∗∗ = ， x2 2 ( ) f fx( ) ∗∗ = ，从而由定义 (αβ α β x12 1 2 x f xf xf )( ) ( ) ( ) ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ + =+ = + α β f ( x fx 1 2 ) ( ) = + f (α β x x 1 2 ) , 即 ( ) 12 1 2 Jx x x x αβ α β ∗∗ ∗∗ +=+ 1 2 =αJx Jx + β ， J 是线性的
由定理1知==1设y={x,x∈x},则y<X”为线 性子空间,J是从X到y上的等距同构 将等距同构的空间看作同一空间,我们可以将X看作X”的线性 子空间,即XcX”,容易知道,当X是 Banach空间时,X是X”的 闭线性子空间.若X不是完备的,考虑X”的闭子空间J(X),一方 面J(X)为 Banach空间,另一方面X(即J(X)在J(x)中稠密,故 可以将J(X)看成x的完备化空间.这样,借助于二次共轭空间,我 们得到了线性赋范空间的一种完备化方法 定义3设X为线性赋范空间,X是X的共轭空间.称集合 EcX是弱()有界集,若对于每个∫∈X”,存在M>0使得 |x≤M/,Vx∈E 定理8集合ECX是w有界集,当且仅当E是有界集 证明若E有界,即存在M>0,|x≤M,x∈E,则对于每个 f∈X", (x)s|sfM=My,wx∈E E是w有界集 反之,若E是w有界的,J是从X到X”的自然嵌入,则J/(E)是 X"的子集对于每个∫∈X”, x()=|(x)sMn,vx∈(E) J(E)在X上点点有界,根据共鸣定理(注意X”为 Banach空间),存
5 由定理 1 知 Jxx x ∗∗ = = . 设 Y Jx x X = ∈ { , }, 则 Y X ∗∗ ⊂ 为线 性子空间， J 是从 X 到 Y 上的等距同构. 将等距同构的空间看作同一空间，我们可以将 X 看作 X ∗∗ 的线性 子空间，即 X X ∗∗ ⊂ . 容易知道，当 X 是 Banach 空间时， X 是 X ∗∗ 的 闭线性子空间. 若 X 不是完备的，考虑 X ∗∗ 的闭子空间 J X( ) ，一方 面 J X( ) 为 Banach 空间，另一方面 X (即 J X( ))在 J X( ) 中稠密，故 可以将 J X( ) 看成 X 的完备化空间. 这样，借助于二次共轭空间，我 们得到了线性赋范空间的一种完备化方法. 定义 3 设 X 为线性赋范空间， X ∗ 是 X 的共轭空间. 称集合 E ⊂ X 是 弱 ( ) w 有界集，若对于每个 f X ∗ ∈ ，存在 0 M f ＞ 使 得 f x ≤ M ， ∀x E ∈ . 定理 8 集合 E ⊂ X 是 w 有界集，当且仅当 E 是有界集. 证明 若 E 有界，即存在 M＞0， x ≤ M ， x E ∈ ，则对于每个 f X ∗ ∈ ， ( ) f f x f x fM M ≤≤= ， ∀x E ∈ E 是 w 有界集. 反之，若 E 是 w 有界的，J 是从 X 到 X ∗∗ 的自然嵌入，则 J E( ) 是 X ∗∗ 的子集.对于每个 f X ∗ ∈ ， ( ) ( ) f x f fx M ∗∗ = ≤ , x J E( ) ∗∗ ∀ ∈ ， J E( ) 在 X ∗ 上点点有界，根据共鸣定理(注意 X ∗ 为 Banach 空间)，存