第11页第五章留数及其应用中证明：: Q(z)= 0及Q'(z.) ± 0,的单极点: z为Q(z)的单零点从而z.为Q(z)11因此,(p(z)在zo处解析且p(z)±0)p(z)Q(z)Z- Zo1故f(z)(g(z)=(z)P(z)在z,解析,且g(z) ± 0);g(z)Z-Zo则z为f(z)的单极点,由规则1知道Re s[f(z), zoI = lim(z - zo)f(z)Z→Z0P(zo)P(z)(Q'(z) #0)Jim=证毕。Q(z) -Q(z)Q'(zo)Z→Z0Z-Zo结束回DO
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第11页 0 Re [ ( ), ] lim( ) ( ) 0 0 z z s f z z z z f z → = − 0 则z f z 为 ( ) , 的单极点由规则1知道 证毕. ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) 0 . ( ) ( ) '( ) z z P z P z Q z Q z Q z Q z z z → = = − − 证明: , ( ) 1 ( ) , ( ) 0 '( ) 0 0 0 0 0 为 的单零点 从 而 为 的单极点 及 ， Q z z Q z z Q z Q z = ( ) ( ( ) ( ) 0). 1 ( ) 1 , 0 0 0 − = z z z z Q z z z 因 此 在 处解析且 0 0 0 1 f z g z g z z P z z g z ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) , ( ) 0), z z = = − 故 在 解析 且
第12页第五章留数及其应用zez例1求Res[2+1”Ze?解：单极点，容易知道z=是f(z)z+ierzez:. Res[f(z),i) = lim(z -i)f(z) = lim2z→i z+iz→ieZe?另解:Res[f(z),i)-2(z2 +1)et练习题：求Res[其中n为自然数,0,n+17et提示：容易知道=0是f(z)：的(n+1)级极点，.二21+1[z"+ f(z)] =-limReslf(z),0l=n!z-→zo dz结0回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第12页 , ]. 1 [ 2 i z ze Res z + 例1 求 解: 容易知道 是 单极点， z i z e z i f z z + = = 2 ( ) . 2 R e [ ( ), ] lim( ) ( ) lim z i z i z i e z i ze s f z i z i f z = + = − = → → . ( 1)' 2 Re [ ( ), ] 2 i z i z e z ze s f z i = + 另解： = = [ ,0] . 练习题：求 1 ，其中n为自然数 z e Res n z + 提示：容易知道 = 0是 ( ) = +1 的(n + 1)级极点， z e z f z n z 0 1 1 Re [ ( ),0] lim ( ) ! n n n z z d s f z z f z n dz + → = 1 . n! =