引入α=云(()+ip(t),用α(t)表示位置，动量和哈密顿量,这就是以上对经典谐振子的讨论量子情形考虑期望值(X)(t)，《P)()，(H)(t).用升降算子表示位置，动量和哈密顿量11X= βX =P:(a+at)(a-at)2hβH接着考虑升降算子的期望值随时间的变化，dih (a) (t) = 《[a. H)) ()dt注意到[a,H]= ho[a,N] = hwa,有()()=()()()()=(a)(0)-ior其中(a)(0)由初条件决定, (a)(0)=云((X)(0)+i(P)(0)类似地，对于升算子at,有(at) (t) = (at) (t)eiot = (a)*(0) eiat位置和动量的期望值可以表示为[(a) (0)e-ior + (a) (0)e)(X) (0) = :[(a) (0)e-iot - (a)* (0)e/ar)(P) (t) =-o哈密顿量的期望值不随时间变化ho(H) = hw (ata) (O) +(19)2与经典情形比较经典谐振子量子谐振子[aoe-iol +teia][(a)(0)e-ior + (a)(0)ela]x(0) =(X) (t) =[aoe-iat - afelr][(a)(0)e-iot - (a)()ei](P) (0) = p(t) =2hwH = ho|aol?(H) = h (ata) (0) +2为了使得在任意时刻位置和动量的期望值都能对应于经典情形，就应该有(X) (0) =x(0),(P) (t) = p(0)这就是说，我们要找的量子态）应该给出(a) (0) = (a)=αo6
引入 ˛ = p 1 2 x˜(t) + ip˜(t) , 用 ˛(t) 表示位置, 动量和哈密顿量, 这就是以上对经典谐振子的讨论. 量子情形 考虑期望值 hXi(t), hPi(t), hHi(t). 用升降算子表示位置, 动量和哈密顿量. X˜ = ˇX = 1 p 2 (a + a ); P˜ = 1 „ˇ P = i p 2 (a a ) H = „! a a + 1 2 接着考虑升降算子的期望值随时间的变化, i„ d dt hai(t) = h[a; H]i(t) 注意到 [a; H] = „![a; N] = „!a, 有 i d dt hai(t) = ! hai(t) H) hai(t) = hai(0) e i!t 其中 hai(0) 由初条件决定, hai(0) = p 1 2 ˝X˜ ˛ (0) + i ˝ P˜ ˛ (0) . 类似地, 对于升算子 a , 有 ha i(t) = ha i(t)e i!t = hai (0) e i!t 位置和动量的期望值可以表示为 hX˜i(t) = 1 p 2 hai(0)e i!t + hai (0)e i!t hP˜i(t) = i p 2 hai(0)e i!t hai (0)e i!t 哈密顿量的期望值不随时间变化, hHi = „! ha ai(0) + „! 2 (19) 与经典情形比较. 经典谐振子 x˜(t) = 1 p 2 ˛0e i!t + ˛ 0 e i!t p˜(t) = i p 2 ˛0e i!t ˛ 0 e i!t H = „!j˛0j 2 量子谐振子 hX˜i(t) = 1 p 2 hai(0)e i!t + hai (0)e i!t hP˜i(t) = i p 2 hai(0)e i!t hai (0)e i!t hHi = „! ha ai(0) + „! 2 为了使得在任意时刻位置和动量的期望值都能对应于经典情形, 就应该有 hX˜i(t) = x˜(t); hP˜i(t) = p˜(t) 这就是说, 我们要找的量子态 j i 应该给出 hai(0) = h jaj i = ˛0 6
对于哈密顿量，我们看到（18）和（19)存在零点能的差异，这是经典力学与量子力学的本质上差异.我们只能希望(ata) (0) = [αo/2这也就是(ata)=[o12于是有确定1少）的两个条件（可以有相因子的差异）：(20)()=([ata)=[αo/2(21)目前并不能说这两个条件是等价的.如果/）是α的本征态，那么这两个条件等价，现在根据这两个条件确定），将看到）确实是α的本征态相干态是α的本征态定义b(αo)=a-αol以下省略1.bt(αo)b(αo)=ata-oat-αga+agao计算b(αo))的模方,((())=(a)(a)ocf. (20) and (21)2=0表明b(αo)[)的模为零,因此b(αo))=0 )=o)于是，得到这样的结论：能够对应于经典谐振子运动行为的量子态是降算子α的本征态以下，用α）表示α的本征态，又称为相干态.相干态满足本征方程a[α) =α[α)在进一步讨论相干态的性质之前，考虑电磁场与谐振子的关系，来自电磁场的考虑无源空间中的Maxwell方程，aBV×E=at7
对于哈密顿量, 我们看到 (18) 和 (19) 存在零点能 „! 2 的差异, 这是经典力学与量子力学的本质上差异. 我们只能希望 ha ai(0) = j˛0j 2 这也就是 h ja aj i = j˛0j 2 于是有确定 j i 的两个条件 (可以有相因子的差异): h jaj i = ˛0 (20) h ja aj i = j˛0j 2 (21) 目前并不能说这两个条件是等价的. 如果 j i 是 a 的本征态, 那么这两个条件等价. 现在根据这两个条件确定 j i, 将看到 j i 确实是 a 的本征态. 相干态是 a 的本征态 定义 b(˛0) = a ˛01 以下省略 1. b (˛0)b(˛0) = a a ˛0a ˛ 0 a + ˛ 0˛0 计算 b(˛0)j i 的模方, h jb (˛0)b(˛0)j i = h ja aj i ˛0 h ja j i ˛ 0 h jaj i + ˛ 0˛0 cf. (20) and (21) =j˛0j 2 ˛0˛ 0 ˛ 0˛0 + ˛ 0˛0 =0 表明 b(˛0)j i 的模为零, 因此 b(˛0)j i = 0 H) a j i = ˛0 j i 于是, 得到这样的结论: 能够对应于经典谐振子运动行为的量子态是降算子 a 的本征态. 以下, 用 j˛i 表示 a 的本征态, 又称为相干态. 相干态满足本征方程 a j˛i = ˛ j˛i 在进一步讨论相干态的性质之前, 考虑电磁场与谐振子的关系. 来自电磁场的考虑 无源空间中的 Maxwell 方程, r E = @B @t 7
aE×B=0F0V-B=0V-E=0从中可以得到12E1 a?BV?E-V?B= 0, =0(22)c2at2c2at2其中c是光速,c=VMOEO驻波首先考虑被限制在长度为L的共振腔中的电磁场，如图2所示.电磁波的传播方向设为方向，即波失k=kez.这里只讨论最简单的情况：电磁波处于简正模(normalmode)，电场方向沿x方向，E(r.t)=Ex(z,t)ex简正模指的是满足驻波条件的波，即波长入=入n=2L，n=1,2,..,如图2所示，或者用角频率表示为nTcW =Wn =LN'L图2从方程(22)可以解出E=E（z.t)1/220~m2元0Ex(z.t) (23)q(t)sin(kz)k=入VeoC这里的k和の分别是简正模的波矢大小和角频率，省略了下标n注（关于电场表达式中的振幅）在电场的表达式（23中，振幅着起来很繁杂.之所以有如此形式，是为了将电磁场的能量和谐振子的能量进行比较首先希望电场的表达式中出现具有长度量纲的量，而且，在得到电磁场能量的时候，需要计算积分10E(z,t)d2J其中du=dxdydz.希望得到的结果是mの~q2.正是为了这个目的，才有如此形式的振幅，其中，·m是一个具有质量量纲的常数，引入该常数的目的是为了和谐振子比较，8
r B = 00 @E @t r B = 0 r E = 0 从中可以得到 r 2E 1 c 2 @ 2E @t 2 = 0; r 2B 1 c 2 @ 2B @t 2 = 0 (22) 其中 c 是光速, c = p 1 00 驻波 首先考虑被限制在长度为 L 的共振腔中的电磁场, 如图 2 所示. 电磁波的传播方向设为 ´ 方向, 即波矢 k = ke´. 这里只讨论最简单的情况: 电磁波处于简正模 (normal mode), 电场方 向沿 x 方向, E(r; t) = Ex(´; t)ex. 简正模指的是满足驻波条件的波, 即波长 = n = 2L n , n = 1; 2; , 如图 2 所示, 或 者用角频率表示为 ! = !n = nc L 2.1 Quantization of a single-mode field 11 x y z L Fig. 2.1. Cavity with perfectly conducting walls located at z = 0 and z = L. The electric field is polarized along the x-direction. where ω is the frequency of the mode and k is the wave number related to the frequency according to k = ω/c . The boundary condition atz = L yields the allowed frequencies ωm = c(m π/L), m = 1, 2,. We assume that ω in Eq. (2.5) is one of these frequencies and ignore the rest for now. V in Eq. (2.5) is the effective volume of the cavity and q(t) is a time-dependent factor having the dimension of length. As we shall see, q(t) will act as a canonical position. The magnetic field in the cavity, from Eq. (2.5) and Eq. (2.2) is B(r, t) = ey By (z, t) where By (z, t) = µ0ε0 k 2ω2 Vε0 1/2 q˙ (t) cos(kz) . (2.6) Here, q˙(t) will play the role of a canonical momentum for a “particle” of unit mass, i.e. p(t) = q˙(t). The classical field energy, or Hamiltonian H, of the single-mode field is given by H = 1 2 d V ε0E2 (r, t) + 1 µ0 B2 (r, t) (2.7) = 1 2 d V ε0E2 x (z, t) + 1 µ0 B2 y (z, t) . From Eqs. (2.5) and (2.6) it is straightforward to show (and is left as an exercise) that H = 1 2 (p2 + ω2 q2 ), (2.8) from which it is apparent that a single-mode field is formally equivalent to a harmonic oscillator of unit mass, where the electric and magnetic fields, apart from some scale factors, play the roles of canonical position and momentum. Every elementary textbook on quantum mechanics discusses the quantization of the one-dimensional harmonic oscillator. Here we take the approach that having identified the canonical variables q and p for the classical system, we simply use the correspondence rule to replace them by their operator equivalents qˆ and pˆ where operators will be distinguished from c-numbers by the caret. These operators must satisfy the canonical commutation relation [qˆ, pˆ] = i h ˆI. (2.9) 图 2 从方程 (22) 可以解出 E = Ex(´; t), Ex(´; t) = 2! 2m V0 1/2 q(t) sin(k´); k = 2 = ! c (23) 这里的 k 和 ! 分别是简正模的波矢大小和角频率, 省略了下标 n. 注 (关于电场表达式中的振幅) 在电场的表达式 (23) 中, 振幅看起来很繁杂. 之所以有如此形式, 是为了将电磁场的能量 和谐振子的能量进行比较. 首先希望电场的表达式中出现具有长度量纲的量, 而且, 在得到电磁场能量的时候, 需要计算积分 1 2 Z V 0E 2 x (´; t)dv 其中 dv = dxdyd´. 希望得到的结果是 1 2m!2q 2 . 正是为了这个目的, 才有如此形式的振幅, 其中, • m 是一个具有质量量纲的常数, 引入该常数的目的是为了和谐振子比较. 8
·（t）是简正模的振幅，具有长度量纲.将(23)代入（22)，可以得到g（t）满足的方程q(t)+w~q(t)=0这个方程形如谐振子的位置满足的微分方程注意到(23）式具有驻波的特点：在空间任何一点，振幅不随时间变化，保持为sin(kz）空腔中磁场的磁感应强度B的方向沿y方向，B(r，t）=By（z.t)ey，从Maxwell方程可以得到20-m(μ0E0 )q(t)cos(kz)By(z,t) =其中g(t)具有速度的量纲，令p=mg,将p视作正则动量.磁场B(z.t)重新表示为LOEO p(t) cos(kz)By(z.t) =(24) Veom空腔中电磁场的哈密顿量是do[oE(z,t)+=B3(z.t)H =2uop2(0) +moaq?(t)(25)2m电磁场的哈密顿量具有谐振子的形式行波将上述关于驻波情形的讨论推广到行波情形.仍然假设电磁场被限制在长度为L的区域内，电场方向沿x方向.电磁波满足周期性条件，即2元nL=na,k=kn=n=1,2,...L可以从电场E的方程（22）出发，将电场表示为右行波和左行波的叠加.也可以考虑量势A（r，）满足的方程1a2AV?A.=0c2a12选择Coulomb规范V.A=0给出A(r,t)= Ax(z.t)ex,其中Ax(z,1)= A(0)eikz + A(t)e-ikz复振幅A(t）由谐振动方程确定PA() + 2A() =0. (26)，w=ckdt?A(t) = Ae-ior.:A=A(0)(27)所以Ax(z, t) = Aei(kz-@1) + A*e-i(kz-ol)9
• q(t) 是简正模的振幅, 具有长度量纲. 将 (23) 代入 (22), 可以得到 q(t) 满足的方程, q¨(t) + ! 2 q(t) = 0 这个方程形如谐振子的位置满足的微分方程. 注意到 (23) 式具有驻波的特点: 在空间任何一点, 振幅不随时间变化, 保持为 sin(k´). 空腔中磁场的磁感应强度 B 的方向沿 y 方向, B(r; t) = By(´; t)ey, 从 Maxwell 方程可以得到 By(´; t) = 2! 2m V0 1/2 00 k q˙(t) cos(k´) 其中 q˙(t) 具有速度的量纲, 令 p = mq˙, 将 p 视作正则动量. 磁场 By(´; t) 重新表示为 By(´; t) = 2! 2 V0m 1/2 00 k p(t) cos(k´) (24) 空腔中电磁场的哈密顿量是 H = 1 2 l V dv 0E 2 ´ (´; t) + 1 0 B 2 y (´; t) = 1 2m p 2 (t) + 1 2 m!2 q 2 (t) (25) 电磁场的哈密顿量具有谐振子的形式. 行波 将上述关于驻波情形的讨论推广到行波情形. 仍然假设电磁场被限制在长度为 L 的区域内, 电场方向沿 x 方向. 电磁波 满足周期性条件, 即 L = n; k = kn = 2 n L ; n = 1; 2; 可以从电场 E 的方程 (22) 出发, 将电场表示为右行波和左行波的叠加. 也可以考虑矢量势 A(r; t) 满足的方程, r 2A 1 c 2 @ 2A @t 2 = 0 选择 Coulomb 规范 r A = 0 给出 A(r; t) = Ax(´; t)ex, 其中 Ax(´; t) = A(t)e ik´ + A (t)e ik´ 复振幅 A(t) 由谐振动方程确定, d 2A(t) dt 2 + ! 2A(t) = 0; ! = ck (26) A(t) = Aei!t ; A = A(0) (27) 所以 Ax(´; t) = Aei(k´!t) + A e i(k´!t) 9